新課標高中數(shù)學 3.2.2一元二次不等式的解法的應用一教學設計 新人教A版必修5

1、人教版高中數(shù)學必修精品教學資料3.2.2一元二次不等式的解法的應用(一)從容說課本節(jié)課由師生共同分析日常生活中的實際問題來引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步驟、求解一元二次不等式的程序框圖.確定一元二次不等式的概念和解法,通過具體例題的分析和求解,在這些例題中設置思考項,讓學生探究,層層鋪設,在學生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法以及一元二次不等式解法與一元二次函數(shù)的關系和一元二次不等式解法的步驟、一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系的基礎上,再輔以新的例題鞏固.一元二次不等式的解法的應用(一)這節(jié)課通過對一元二次不等式的概念

2、、一元二次不等式的解法以及一元二次不等式解法與一元二次函數(shù)的關系和一元二次不等式解法的步驟、一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系的正確理解.用可以直接或間接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式、二次函數(shù)的知識來解決的問題,作為對一元二次不等式的概念、解法以及解法與二次函數(shù)的關系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系的知識能力的延伸和補充.本節(jié)課通過復習引入課題,通過例題的講解和學生的練習,不斷地發(fā)現(xiàn)、深入、探究,步步為營.層層鋪墊既有利于一元二次不等式的概念、解法和解法與二次函數(shù)的關系以及一元二次不等式解法與一元二次函數(shù)的關系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系知識的鞏固和延伸,更有利于學生的自主學習,充分體現(xiàn)了新課標的理念

3、.整個教學過程,更深入揭示一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關系本質(zhì),繼續(xù)一元二次不等式解法的步驟和過程,及時加以鞏固,同時讓學生體驗數(shù)學的奧秘與數(shù)學美,激發(fā)學生的學習興趣.教學重點 1.從實際問題中抽象出一元二次不等式模型.2.圍繞一元二次不等式的解法展開,突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.3.分式不等式與簡單的高次不等式如何根據(jù)實數(shù)運算的符號法則,把它們轉(zhuǎn)化為與其等價的兩個或多個不等式(組)(由表示成的各因式的符號所有可能的組合決定),于是原不等式的解集就是各個不等式組的解集的并集.同時注意分式不等式的同解變形有如下幾種:(1)0f(x)·g(x)0;(2) 0f(x)·g(x)0;

4、(3) 0f(x)·g(x)0且g(x)0;(4) 0f(x)·g(x)0且g(x)0.解簡單的高次不等式一般有兩種思路,即轉(zhuǎn)化法和數(shù)軸標根法.其中轉(zhuǎn)化法就是運用實數(shù)乘法的運算性質(zhì),把高次不等式轉(zhuǎn)化為低次的不等式組.數(shù)軸標根法的基本思路是:整理(分解)標根畫線選解.教學難點 1.深入理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關系.2.分式不等式與簡單的高次不等式在轉(zhuǎn)化為一次或二次不等式組時,每一步變形,都應是不等式的等價變形.在等價變形時,要注意什么時候取交集,什么時候取并集.帶等號的分式不等式,要注意分母不能為零.由于各個不等式組的解集是本組各不等式解集的交集,計算較繁

5、,且容易出錯,同學們一定要細心.另外,在取交集、并集時,可以借助數(shù)軸的直觀效果,這樣可避免出錯.教具準備 多媒體及課件三維目標一、知識與技能1.鞏固一元二次不等式的解法和解法與二次函數(shù)的關系、一元二次不等式解法的步驟、解法與二次函數(shù)的關系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系；2.能熟練地將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式(組),正確地求出分式不等式的解集；3.會用列表法,進一步用數(shù)軸標根法求解分式及高次不等式；4.會利用一元二次不等式,對給定的與一元二次不等式有關的問題,嘗試用一元二次不等式解法與二次函數(shù)的有關知識解題.二、過程與方法1.采用探究法,按照思考、交流、實驗、觀察、分析得出結(jié)論的方法進行啟發(fā)式教學；2.

6、發(fā)揮學生的主體作用,作好探究性教學；3.理論聯(lián)系實際,激發(fā)學生的學習積極性.三、情感態(tài)度與價值觀1.進一步提高學生的運算能力和思維能力；2.培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力；3.強化學生應用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想和分類討論的數(shù)學思想.教學過程導入新課師 上節(jié)課我們已經(jīng)知道,一元二次不等式的解與相應的一元二次方程的解和二次函數(shù)的圖象的關系.如果一個一元二次方程ax 2+bx+c=0有兩個根x1x 2,則x 1、x 2就把實數(shù)（x軸）分成了三部分,要解ax2+bx+c0,就要找這三部分中使ax 2+bx+c大于0的部分；同樣,解ax 2+bx+c0,就是要找這三部分中使ax2+bx+c小于0的部分.解一元

7、二次不等式的程序是什么？生 (1)將二次項系數(shù)化為“+”：y=ax2+bx+c0(或0)(a0).(2)計算判別式,分析不等式的解的情況：0時,求根x1x2,若y0,則xx1或xx2;若y0,則x1xx2;=0時,求根x1=x 2=x0,若y0,則xx0的一切實數(shù)；若y0,則x;若y=0,則x=x0；0時,方程無解,若y0,則xr;若y0,則x.(3)寫出解集.師 利用這種思想,我們來研究一元二次不等式的應用.【例1】 某種牌號的汽車在水泥路面上的剎車距離（剎車距離是指汽車剎車后由于慣性往前滑行的距離）s m和汽車車速x km/h有如下關系：.在一次交通事故中,測得這種車的剎車距離大于39.5

8、 m,那么這輛汽車剎車前的車速至少為多少？（精確到0.01 km/h）生 由題設條件應列式為,移項、整理、化簡得不等式x 2+9x-7 1100.推進新課師 因此這個問題實際就是解不等式x2+9x-7 1100的問題.因為0,方程x2+9x-7 110=0有兩個實數(shù)根,即x1-88.94,x279.94.然后,畫出二次函數(shù)y=x 2+9x-7 110,由圖象得不等式的解集為x|x-88.94或x79.94.在這個實際問題中x0,所以這輛汽車剎車前的車速至少為79.94 km/h.師 【例2】 一個車輛制造廠引進一條摩托車整車裝配流水線,這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x（輛）與創(chuàng)造的價值y（元）之間

9、有如下的關系：y=-2x 2+220x.若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6 000元以上,那么他在一星期內(nèi)大約應該生產(chǎn)多少輛摩托車？生 設在一星期內(nèi)大約應該生產(chǎn)x輛摩托車.根據(jù)題意,能得到-2x2+220x6 000.移項、整理得x2-110x+3 0000.教師精講因為=1000,所以方程x2-110x+3 000=0有兩個實數(shù)根x1=50,x2=60,然后,畫出二次函數(shù)y=x 2-110x+3 000,由圖象得不等式的解集為x|50x60.因為只能取整數(shù)值,所以,當這條摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51到59輛之間時,這家工廠能夠獲得6 000元以上的收益.知識

10、拓展【例3】 解不等式(x-1)(x+4)0.思路一：利用前節(jié)的方法求解.思路二：由乘法運算的符號法則可知,若原不等式成立,則左邊兩個因式必須異號,原不等式的解集是下面兩個不等式組與的解集的并集,即 x|-4x1=x|-4x1.書寫時可按下列格式：解：(x-1)(x+4)0或x或-4x1-4x1,原不等式的解集是x|-4x1.思路三：由于不等式的解與相應方程的根有關系,因此可求其根并由相應的函數(shù)值的符號表示出來即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0,解得x（從小到大排列）分別為-4,1,這兩根將x軸分為三部分：（-,-4）,（-4,1）,（1,+）.分析這三部分中原不等式左

11、邊各因式的符號：（-,-4）（-4,1）（1,+）x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知,原不等式的解集是x|-4x1.點評：此法叫區(qū)間法,解題步驟是：將不等式化為(x-x1)(x-x 2)(x-xn)0(0)的形式（各項x的符號化“+”）,令(x-x 1)(x-x2)(x-x n)=0,求出各根,不妨稱之為分界點,一個分界點把（實數(shù)）數(shù)軸分成兩部分,兩個分界點把數(shù)軸分成三部分按各根把實數(shù)分成的幾部分,由小到大橫向排列,相應各因式縱向排列（由對應較小根的因式開始依次自上而下排列）；計算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號,下面是乘積的符號；看下面積的符號寫出不等式的解集（你會發(fā)現(xiàn)符號的規(guī)律嗎

12、）.練習1：解不等式：(1)x 2-5x-60；(2)(x-1)(x+2)(x-3)0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)0.答案：(1)x|x2或x3；(2)x|-2x1或x3；(3)x|-1x0或2x3.教師書寫示范：如第(2)題：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)0.解：檢查各因式中x的符號均正；求得相應方程的根為-2,1,3；列表如下：（-,-2）（-2,1）（1,3）（3,+）x+2-+x-1-+x-3-+各因式積-+-+由上表可知,原不等式的解集為x|-2x1或x3.思路四：上面的區(qū)間法實際上是把看相應函數(shù)圖象上使y0或y0的x的部分數(shù)值化列成表了,我們試想若能畫出圖象（此

13、時我們只注意y值的正負不注意其他方面）,那么它相對于x軸的位置應是什么呢？可把表上各部分函數(shù)值的正負情況用下圖表示,由圖即可寫出不等式的解集.由此看出,如果不像上面那樣列表,就用這種方法也可以求這個不等式的解.你能總結(jié)一下用這種方法解不等式的規(guī)律嗎？將不等式化為(x-x1)(x-x2)(x-x n)0(0)的形式,并將各因式x的系數(shù)化“+”；求根,并在數(shù)軸上表示出來；由右上方穿線,經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點（為什么）；若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.這種方法叫數(shù)軸標根法.練習2：用數(shù)軸標根法解上述練習1中不等式（1）

14、（3）.教師書寫示范：如第（2）題：解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)0.解：將原不等式化為x(x-3)(x-2)(x+1)0；求得相應方程的根為-1,0,2,3；在數(shù)軸上表示各根并穿線（自右上方開始）,如右圖：原不等式的解集為x|-1x0或2x3.合作探究師【例4】 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)0.解：檢查各因式中x的符號均正；求得相應方程的根為-1,2,3（注意：2是二重根,3是三重根）；在數(shù)軸上表示各根并穿線,每個根穿一次（自右上方開始）,如下圖：原不等式的解集為x|-1x2或2x3.說明：3是三重根,在c處穿三次,2是二重根.在b處穿兩次,結(jié)果相當于沒穿.由此看出

15、,當左側(cè)f(x)有相同因式(x-x 1)n,n為奇數(shù)時,曲線在x 1點處穿過數(shù)軸；n為偶數(shù)時,曲線在x 1點處不穿過數(shù)軸,不妨歸納為“奇穿偶不穿”.【練習3】 解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)0.解：將原不等式化為(x-3)(x+1)(x+2)20；求得相應方程的根為-2（二重）,-1,3；在數(shù)軸上表示各根并穿線,如右圖：原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.點評：注意不等式若帶“=”,點畫為實心,解集邊界處應有等號；另外,線雖不穿-2點,但x=-2滿足“=”的條件,不能漏掉.教師精講師 由分式方程的定義不難聯(lián)想到：分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式.例如,等都是分式不

16、等式.師 分式不等式的解法.由不等式的性質(zhì)易知：不等式兩邊同乘以正數(shù),不等號方向不變；不等式兩邊同乘以負數(shù),不等號方向要變；分母中有未知數(shù)x,不等式兩邊同乘以一個含x的式子,它的正負不知,不等號方向無法確定,無從解起,若討論分母的正負,再解也可以,但太復雜.因此,解分式不等式,切忌去分母.解法是：移項、通分,右邊化為0,左邊化為f(x)g(x)的形式.【例5】 解不等式：.解法一：化為兩個不等式組來解.0或x或-7x3-7x3,原不等式的解集是x|-7x3.解法二：化為二次不等式來解.-7x3,原不等式的解集是x|-7x3.點評：若本題帶“=”,即(x-3)(x+7)0,則不等式解集中應注意x

17、-7的條件,解集應是x|-7x3.【例6】 解不等式：.解法一：化為不等式組來解(較繁).解法二：原不等式的解集為x|-1x1或2x3.練習：解不等式.答案：x|-13x-5.方法引導講練結(jié)合法通過講解強化訓練題目,加深對分式不等式及簡單高次不等式解法的理解,提高分析問題和解決問題的能力.針對不同類型的不等式,使學生能靈活有效地進行等價變形.上述過程以學生自主探究為主,教師起引導作用,充分體現(xiàn)學生的主體作用,新課程的理念.該過程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設的作用,激起學生學習的興趣,勇于探索的精神.課堂小結(jié)1.關于一元二次不等式的實際應用題,要注意其實際意義.2.求解一般的高次不等式的解法

18、.特殊的高次不等式即右邊化為0,左邊可分解為一次或二次式的因式的形式不等式,一般用區(qū)間法解,注意：左邊各因式中x的系數(shù)化為“+”,若有因式為二次的（不能再分解了）二次項系數(shù)也化為“+”,再按我們總結(jié)的規(guī)律做；注意邊界點（數(shù)軸上表示時是“?！边€是“ .”）.3.分式不等式,切忌去分母,一律移項通分化為 (或的形式,轉(zhuǎn)化為,（或,即轉(zhuǎn)化為一次、二次或特殊高次不等式形式.布置作業(yè)完成第90頁習題3.2a組第5、6題,習題3.2b組第4題.板書設計一元二次不等式的解法的應用（一）例題例題 練習一元高次不等式解題步驟備課資料備用例題【例1】 已知關于x的方程2x 2+4mx+3m-1=0有兩個負數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.探路:列出方程有兩個負根的等價條件（不等式組）,然后解不等式組.解:已知方程有兩個負根的等價條件是m或m1.m的取值范圍是（, 1,）.點評:1.方程有兩個負根包含兩個負根相等的情形,故0,因此列成0是錯誤的.又若只列成0也是錯誤的,0只能保證方程有實根,而不能保證有兩個負根,所以還要聯(lián)立x1x20,x 1+x 20的條件.2.利用不等式討論方程的根的情況,是不等式的重要應用.【例2】 已知a=x|x2-3