復(fù)變函數(shù)與積分變換第1章函數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1、華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系 復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué), , 自然科自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用, , 是解決是解決諸如流體力學(xué)諸如流體力學(xué), , 電磁學(xué)電磁學(xué), , 熱學(xué)熱學(xué), , 彈性理論中彈性理論中的平面問題的有力工具的平面問題的有力工具. . 而自然科學(xué)和生而自然科學(xué)和生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展又極大地推動了復(fù)變函數(shù)的產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展又極大地推動了復(fù)變函數(shù)的發(fā)展發(fā)展, ,豐富了它的內(nèi)容豐富了它的內(nèi)容. .1.zxiyi：將形如 的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其復(fù)中 數(shù) 為211iixy 虛數(shù)單位，并規(guī)定或， 與 為任意實數(shù)，z分別稱為復(fù)數(shù) 的實部與虛部，記

2、為re( ),im( )xzyz0yzxiyx當時，為實數(shù)；00 xyzxiyiy當，時，為純虛數(shù)；第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1 復(fù)數(shù)1112222.zxiyzxiy：數(shù)等，相設(shè)復(fù)，則121212,zzxxyy4.xiyzxiy：稱復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)的共共軛復(fù)數(shù)軛復(fù)數(shù)，, zzxiy記為 即1112223.zxiyzxiy復(fù)數(shù)的，運算：設(shè)，則121212(1)()()();zzxxi yy1 212121221(2)()()();z zx xy yi x yx y112122112222222222(3)zx xy yx yx yizxyxy1212(1)()zzzz；5.共軛復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)：1 21

3、2(2)();z zzz1122(3);zzzz2222(4)re( )im( ) ;zzxyzz(5)2re( );zzz(6)im( )2zzzi12例1：設(shè)z ,z 為任意兩個復(fù)數(shù)，求證：12121 22re()z zz zz z132re( ),im( )1izzzzzii 例 ：設(shè)，求及12122155 ,34 .zzzi zizz 例3：設(shè) 求及1 22345iizii例1 設(shè) 2244xy例 ：將方程 化為復(fù)數(shù)形式。6.( , )zxiyx y復(fù)平面：復(fù)數(shù) 與實數(shù)對一一對應(yīng)，用橫軸（稱為實軸）上的點表示實數(shù)，縱軸（稱為虛軸）上的點表示純虛數(shù)，坐標平面稱為復(fù)平面。( , )x y而

4、實數(shù)對與直角坐標平面上的點一一對應(yīng)，故復(fù)數(shù)z與直角坐標平面上的點一一對應(yīng)。故注：復(fù)數(shù)z與復(fù)平面上的點一一對應(yīng)，故以后將不加區(qū)分。1.z ：復(fù)數(shù) 與平面向量oz復(fù)數(shù)的模與輻角一一對應(yīng)，|;zz 復(fù)數(shù) 所對應(yīng)的向量oz的長度稱為復(fù)數(shù)的，記為模.zargz 復(fù)數(shù) 所對應(yīng)的向量oz的方向角稱為復(fù)數(shù)的，記為輻角arg , z介于- 與 之間的輻角稱為復(fù)數(shù)，記為主輻角的即arg,arg2,(0, 1, 2,)zargzzkk -且(2)| |,| |,xzyz| |;zxy22|;zzzz1.2 復(fù)數(shù)的三角表示121212(3)| | |zzzzzz性質(zhì)：22(1),zxyargz可由下列關(guān)系確定：arg

5、tg.22yx其中arctg,0;,0,0;2argarctg,0,0;arctg,0,0;,0,02yxxxyyzxyxyxyxxy :im( )0zz 例6：表示上半復(fù)平面 :0re( )1,0im( )1zzz例7：求下列方程所表示的曲線1)| 2;zi2)|2 | |2|;ziz3)im()4.iz2.(cossin ),zri復(fù)數(shù)的三角表：復(fù)數(shù)示|rz其中， 為復(fù)數(shù)z的任意輻角。12313,54 ,34zizi zi 例8：寫出的三角形式。1 2121 212| |,()( )()z zzzarg z zarg zarg z即11112222|,()( )()|zzzargarg z

6、arg zzzz11113.(cossin),zri復(fù)數(shù)的三角表的：設(shè)示應(yīng)用2222(cossin)zri，則1 21 21212(cos()sin();z zrri11121222(cos()sin()zrizr22z21z1z1z21oxy1 2122z zzzargz相當于將 的模擴大| |倍,并旋轉(zhuǎn)一個角度11,z 例9：已知等邊三角形的兩個頂點分別為22,zi3求另外一個頂點z。(3)(13 )ii例10：用三角表示計算.12,nkrn1/22cossin0,1,1nnkkzrinnkn即4.(cossin ),zri復(fù)數(shù)的乘方開：設(shè)與方則(cossin )(cossin)nnnnz

7、rirnin(cossin ),niz 又若則3(13 ) i例11：用三角表示計算330.zi例12：求解方程412 . i例13：求1.3 1.3 平面點集的一般概念平面點集的一般概念0|1.zz：由不等式（任意正數(shù)）所鄰域確定的點集0z稱為 的鄰域；00 |zz由不等式所確定的點集稱0z去為 的心鄰域。2.內(nèi)點：0,zg若存在 的某個鄰域包含于點集 中 則稱0zg為 的內(nèi)點。3.開集：z0g若點集 的每一點都是它g的內(nèi)點，則稱 為開集。c3c2zg1g2c14.余集：gg復(fù)平面上不屬于點集 的全體稱為cg的余集，記為,開集的余集稱為閉集。5.邊界：0czgg若 的任意鄰域內(nèi)既有 中的點又

8、有中的點，0zg則稱 為 的邊界點，邊界點的全體稱為邊界。6.孤立點：000zgzz設(shè)，若在 的某個鄰域內(nèi)，除0gzg外不含 中的點，則稱 為 的孤立點。孤立點必為邊界點。7.有界集：gg若存在原點為圓心的圓盤包含 ，則稱 為有界集，否則稱為無界集。0 :|gzzzr例：開集0 :|gzzzr閉集xydo無界區(qū)域的例子無界區(qū)域的例子:xyxyxy上半平面:im z0角形域:0arg zab帶形域:aim zm的所有點的集的所有點的集合合, 其中實數(shù)其中實數(shù)m0, 稱為稱為無窮遠點的鄰域無窮遠點的鄰域.即它是圓即它是圓|z|=m的外部且包含無窮遠點本身的外部且包含無窮遠點本身. m0|z|m不包

9、括無窮遠點本身的僅滿足|z|m的所有點稱為無窮遠點的去心鄰域, 也記作m|z|.加法加法: a a+ = +a a= (a a)減法減法: a a = ， a a= (a a)乘法乘法: a a=a a= (a a 0) :0,(),(0,)0aaaaa= = n除但可法關(guān)于關(guān)于 的四則運算作如下規(guī)定的四則運算作如下規(guī)定:其它運算不確定。其它運算不確定。11. 復(fù)球面復(fù)球面nsoxypzz對任一點對任一點z, 將將z與與n相連相連, 與球面相交于與球面相交于p點點, 則則球面上除球面上除n點外，所有點外，所有點和復(fù)平面上所有點有一一點和復(fù)平面上所有點有一一對應(yīng)的關(guān)系對應(yīng)的關(guān)系, n點本身可代點

10、本身可代 表無窮遠點表無窮遠點, 記作記作 . 這樣的球面稱作這樣的球面稱作復(fù)球面復(fù)球面.1.,gzg 設(shè) 為復(fù)平面上的一個點集，若對變數(shù)：復(fù)復(fù)函函有確定的一個或幾個復(fù)數(shù) 與它對應(yīng)，則稱復(fù)變數(shù) 為( ).zf z復(fù)變數(shù) 的函數(shù)，記為,( )zgf z 若對有確定的一個復(fù)數(shù) 與它對應(yīng)，則稱為非單值的函數(shù)稱為單數(shù)，數(shù)值值函函多多值值函函. .,( )( , )( , )zxiyf zu x yiv x y由于 故相當于一對二元實變函數(shù)1.5 1.5 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)( , ),( , )uu x y vv x y21z：將復(fù)變函數(shù)化為一對二元實變函數(shù).例1： 將 下 列 函 數(shù) 化 為 復(fù) 變 函

11、 數(shù) .例 22222222(0)xyixyxyxy2. 2. 映射的概念映射的概念函數(shù)函數(shù) w=f (z) 在幾何上可以看做是把在幾何上可以看做是把 z平面上的一個點平面上的一個點集集d(定義集合定義集合)變到變到 w平面上的一個點集平面上的一個點集g (函數(shù)值集合函數(shù)值集合)的的映射映射(或或變換變換). 如果如果 d 中的點中的點 z 被映射被映射 w=f (z) 映射映射成成 g中的點中的點 w, 則則 w 稱為稱為 z 的的象象(映象映象), 而而 z 稱為稱為 w 的的原象原象.xugzww=f(z)vywdz設(shè)函數(shù)w = z =x iy ; u=x , v=-yyouabcz1z

12、2abcw1w2ovx例例: : 函數(shù)函數(shù) 把傾角把傾角 得直線映射成得直線映射成平面上怎樣的曲線平面上怎樣的曲線.2z3z平面上傾角 的直線可看成是由 的射線與 的射線組成,而射線 的映像為 ,射線 的映像為 .故z平面上傾角 的直線的映像為平面上射線333323322332300( )0 |f zzzz設(shè)函數(shù)在 的去心鄰域義：定定(),0,0,a a 內(nèi)有定義,若存在復(fù)數(shù)對總存在00 |(0)zzz使對一切滿足的 有|( )|f za0( )af zzz則稱 為函數(shù)當 趨于 時的極限,記為00lim( )( )()zzf zaf zazz 或 當3.復(fù)變函數(shù)的極限xoz0zouaf(z)0

13、zz當變點極限的在 的一幾何意義：個充分小的鄰域時，它們的像點落在的一個給定的 鄰域內(nèi).20lim0zz：證明：例1.：若極限存注在，則必唯一。02.zz的方式是任意的。( )zf zz：問函數(shù)在原點的極限是否存在？例0z ：問下列函數(shù)在 的極限是否存在？例例re( )( )|zfzz證證 令 z = x + i y, 則22( ),xf zxy由此得22( , ), ( , )0.xu x yv x yxy讓 z 沿直線 y = k x 趨于零, 我們有2200()()lim( , )limxxy kxy kxxu x yxy22201lim.(1)1xxkxk 故極限不存在. 00lim(

14、 ),lim( ),zzzzf zag zb如果則01)lim ( )( )zzf zg zab02)lim( ) ( )zzf z g zab0( )3)lim(0)( )zzf zabg zb極限的四則運算：極限的四則運算：00( )( , )( , )f zu x yiv x yauiv 設(shè)函數(shù)，,定定理理1 10000lim( )zzzxiyf za,則的充分必要條件是000000lim ( , ), lim ( , ).xxxxyyyyu x yuv x yv00lim( )()zzf zf z如果成義立，則稱定定：( )f z若在區(qū)域d(閉區(qū)域d內(nèi)每一點都連續(xù)( )f z則稱在區(qū)域d(閉區(qū)域d)內(nèi)連續(xù).0( )f zz在 處連續(xù).( )arg (0)f zz z：求證：在全平面除去原點和例例負實軸的區(qū)域上連續(xù)，在負實軸上不連續(xù).4.4.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)復(fù)變函數(shù)的連續(xù)l例例 討論函數(shù) 的連續(xù)性.l解解 設(shè) 為復(fù)平面上任意一點，則l當 時， 在 無定義，故 在 處不連續(xù).l當 落在負實軸上時，由于 ，在 從實軸上方趨于 時， 趨于 ，在 從實軸下方趨于 時， 趨于 ，所以 不連續(xù).當 為其它情況時，由于 所以 連續(xù).zarg0z00zzarg0zzarg00z0zzargz0zzargz0zzargzarg0z0argarglim0zzzzzarg