多元函數(shù)微分學的幾何應用23888

1、6.5 多元函數(shù)微分學的幾何應用多元函數(shù)微分學的幾何應用6.5.1 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面6.5.2 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線6.5 多元函數(shù)微分學的幾何應用多元函數(shù)微分學的幾何應用6.5.1 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 設空間曲線的方程設空間曲線的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三個函數(shù)均可導式中的三個函數(shù)均可導.m.),(0000tttzzyyxxm 對應于對應于;),(0000ttzyxm 對應于對應于設設m 1 空間曲線由參數(shù)方程給出時空間曲線由參數(shù)方程給出時 考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置 切

2、線的過程切線的過程zzzyyyxxx 000 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxmm 割線割線 的方程為的方程為mm ,000tzzztyyytxxx ,0,時時即即當當 tmm 曲線在曲線在m處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 注注 上式中的分母不能全為零。如其中某一個分上式中的分母不能全為零。如其中某一個分母為零，則相應的分子也為零。母為零，則相應的分子也為零。切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. )(),(),(000tttt 法平面法平面：過：過m點且與切線垂直的平面點且與切線垂直的平面.)()(00

3、00yytxxt 0)(00 zzt 1. 空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxm,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切線方程為切線方程為特殊地：特殊地：. 0),(),(00 mzyzymggffzygf 點點m0(x0，y0，z0)是是 上一點，又設上一點，又設f，g對各對各變量有連續(xù)偏導數(shù)，且變量有連續(xù)偏導數(shù)，且 )1( 0),(0),(:zyxgzyxf 2 當曲線當曲線 由交面式方程給出時由交面式方程給出時 由本章第五節(jié)所講隱函數(shù)存在定理由本章第五節(jié)所講隱函數(shù)存在定

4、理3知，在知，在m0的某鄰域確定了一組連續(xù)可導的函數(shù)的某鄰域確定了一組連續(xù)可導的函數(shù))(),(xzxy 上式等于兩端對上式等于兩端對x求導數(shù)，得求導數(shù)，得 00dxdzzgdxdyygxgdxdzzfdxdyyfxf 0)(),(,0)(),(,xxxgxxxf 代入代入( (1) )式得恒等式式得恒等式切線方程為切線方程為)2(,000000yxyxxzxzzyzyggffzzggffyyggffxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(000000 zzggffyyggffxxggffyxyxxzxzzyzy (ii) 我們推出（我們推出（2）式是在（）式是在（2）式中的第一）式中的

5、第一個分母不為零的條件下將個分母不為零的條件下將y、z視作的視作的x函數(shù)而推函數(shù)而推出的，如（出的，如（2）式中的第一個分母為零，而第二）式中的第一個分母為零，而第二或第三個分母不為零，這時可視或第三個分母不為零，這時可視y或或z為自變量，為自變量，同樣可推出公式（同樣可推出公式（2）。）。注注(i) 如如(2)式中有的分母為零式中有的分母為零,則相應分子為零。則相應分子為零。解解, 2, 1, 0, 0 zyxt當當,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)

6、1(2 zyx. 0832 zyx即即 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz ,1, 0, 1 t所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz1 設曲面方程為設曲面方程為0),( zyxf)(),(),(000tttt 曲線在曲線在m處的切向量處的切向量 在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點過點m的曲線的曲線,)()()(: tztytx ntm曲面曲面上過點上過點m0且具有切線的任何曲線，它們在點且具有切線的任何

7、曲線，它們在點m0處的切線都位于同一平面上。處的切線都位于同一平面上。 6.5.2 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx 過過m0而垂直于切平面的直線稱為曲面而垂直于切平面的直線稱為曲面在點在點m0處的法線。法線方程為處的法線。法線方程為 )()()(000000mfzzmfyymfxxzyx 稱為曲面稱為曲面在點在點m0處處的一個法向量的一個法向量),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 2 空間曲面方程形為空間曲面方程形為),(yxfz 曲面在曲

8、面在m處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在m處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxf 令令01,myxff n法向量法向量01 ,myxff n或或)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點的上點的豎坐標豎坐標的增量的增量的全微分的全微分在點在點函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz 因為曲面在因為曲面在m處的切平面方程為處的切平面方程為3 全微分的幾何意義全微分的幾何意義 ),(yxfz 在在),(00yx的全微分

9、，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在點在點),(000zyx處的處的切平面上的點的豎坐標的增量切平面上的點的豎坐標的增量. 4 曲面法向量的方向角、方向余弦曲面法向量的方向角、方向余弦 假定取法向量的方向是向上的，則假定取法向量的方向是向上的，則 1 ,yxff n,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff ,11cos22yxff 式中式中fx=fx(x0，y0)， fx=fy(x0，y0)。 思考思考如果取如果取n向下時，方向余弦應如何求？向下時，方向余弦應如何求？如方程為如方程為f( (x，y，z)=0)=0時，如何求方向余弦？時，如何求方向余弦？如方程為如方程為x

10、=g(y, ,z)時時, ,或或y=h(z, ,x)時如何求方向時如何求方向余弦？余弦？解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx解解, 32),( xyezzyxfz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yfx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xfy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzef令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx解解設設(x0 ,y0 z0 )為曲面上的切點為曲面上的切點,切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412