數(shù)學(xué)分析(第82節(jié)換元積分法與分部積分法)

1、第第8 8章章 不定積分不定積分 不定積分概念與基本積分公式不定積分概念與基本積分公式 換元積分法與分部積分法換元積分法與分部積分法 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分定積分第第8.28.2節(jié)節(jié) 換元積分法與分部積分法換元積分法與分部積分法 第一換元積分法（湊微分法）第一換元積分法（湊微分法） 第二換元積分法第二換元積分法 分部積分法分部積分法一、第一換元積分法（湊微分法）一、第一換元積分法（湊微分法）1. 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 xdx2cos,2sincx 解決方法解決方法而而利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量. .令令2ux 1,2dxdu x

2、dx2cos1cos2udu 1sin2uc.2sin21cx cxxdxsincos我們知道我們知道若若),()(ufuf 則則.)()( cufduuf設(shè)設(shè))(xu (且可微，根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法且可微，根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法)dxxxfxdf)()()( cxfdxxxf)()()( )()(xuduuf 于是可得下述定理于是可得下述定理在一般情況下：在一般情況下：注意注意 使用此公式的關(guān)鍵在于將被積表達(dá)式湊成使用此公式的關(guān)鍵在于將被積表達(dá)式湊成( )( ( )( ) ( )= ( )( ( )uxfx dxf u duf ucfxc 則則 原原式式則則第一換元公式第一換元公式定理定理1 1（

3、第一換元積分法第一換元積分法）( ),( )uxf u du 以以便便選選取取變變換換將將原原積積分分化化為為易易于于積積分分的的， ( )( )= ( ( )( )fxx dx fx dx 湊微分法湊微分法( )( )( ).f uiuxjji 設(shè)在 上有定義，又在 上可導(dǎo)，設(shè)在 上有定義，又在 上可導(dǎo)，且如果且如果( )d = ( ),f uu f uc ( )( )( ( )fxx dxfxc 證證( ( )( ( )( )( ( )( ).dfxfxxfxxdx例例1 1 求求.2sin xdx解一解一 xdx2sin1sin2(2 )2xdx 湊湊微微分分cu cos21基基本本積積

4、分分表表解二解二 xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxdcu 2解三解三 xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxdcu 2;2cos21cx 還還原原 uduxusin212 uduxu2sin ;sin2cx uduxu2cos .cos2cx dxxex 22例例2 2 求求解解)(2222xdedxxexx uue duec 2xec(1)dd();a xax(2) dd();xxa11(3)dd();1xxx (4) cos dd(sin );x xxx xx(5) sin dd( cos );1(6)dd(ln);xxx2(7) se

5、cdd(tan );x xx2d(8)d(arctan ).1xxx常見(jiàn)的湊微分形式有常見(jiàn)的湊微分形式有例例3 3 求求.dxx 231解解dxx 2311132232()dxx 3 2112uxduu 1ln2uc1ln 32.2xc例例4 4 求求.)ln51(1dxxx 解解dxxx )ln51(1)(lnln511xdx )ln51(ln51151xdx 15lnux令令 duu1511ln5uc熟練以后就不需要進(jìn)行熟練以后就不需要進(jìn)行)(xu 轉(zhuǎn)化了轉(zhuǎn)化了1ln 15ln5xc例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arc

6、tan1caxa 例例6 6 求求2cos xdx 1cos22xdx cxx 42sin22cos xdx 解解111cos2(2 )222dxxdx 例例7 7 求求解解dxx 3sincxxxdxxdxxdxx )cos(coscos)cos(sinsinsin3223311正、余弦三角函數(shù)積分偶次冪降冪奇次冪拆開(kāi)放在微分號(hào)正、余弦三角函數(shù)積分偶次冪降冪奇次冪拆開(kāi)放在微分號(hào)后面11xdxe 1(1)11xxxxxeeedxdxee1xxedxdxe ln(1)xxec 解解例例8 8 求求.11dxex 1(1)1xxdxdee 例例9 9 求求解解.cos11 dxx dxxcos11

7、 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotcxx 例例1010 求求解解.2cos3cos xdxx),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21cxx 利用三角學(xué)中的積化和差公式，得利用三角學(xué)中的積化和差公式，得解解 dxxsin1 xdxcsc )(coscos112xdx duu211 duuu11112111ln21ucu 11cosln.21cosxcx 類似地可推出類似地可推出例例1111 求求.csc xdx dxxx2sin

8、sinsecln sectan.xdxxxc ln csccot.xxc 練習(xí)練習(xí) 242(1)2sin cos(2)1 sin21(3)1(4) cos cos2arctan(5)(1)xdxxxxdxxxdxxxxdxxdxxx 提示提示 222222221(2)(1)221sin(2)2 1 (sin)(1)(3)1113(4)(coscos )222arctan(5) 22 arctanarctan1d xxdxxdxdxxxxxdxxd xxdxx 二、第二換元積分法二、第二換元積分法 ( )( )( )fxx dxf u du 化為積分化為積分第一換元法是通過(guò)變量替換第一換元法是通

9、過(guò)變量替換( )ux 第二換元法則是通過(guò)變量替換第二換元法則是通過(guò)變量替換 將將( )xt ( ) ( )( )f x dxftt dt 化為積分化為積分將將例例1313 求求解解.dxex 11xet 令令,dttdx1 2(1)dtt t dttt 1112ctt )ln(ln12,lntx2 考慮到被積函數(shù)中的根號(hào)是困難所在，故考慮到被積函數(shù)中的根號(hào)是困難所在，故dxex 112ln.1xxece 第二換元公式第二換元公式定理定理2 2（第二類換元積分法第二類換元積分法）1( )d = ( )( )( )( )f xxftt dt g tcgxc 證證1( )( )( ).( )( )(

10、 )d ( ) ( )( )f xixtjjixtjtxf xxiftt dt g tcji 設(shè)在 上有定義，又在 上可導(dǎo)，且設(shè)在 上有定義，又在 上可導(dǎo)，且如果在 上存在反函數(shù)，如果在 上存在反函數(shù)，且不定積分在 上存在，則當(dāng)不定積分且不定積分在 上存在，則當(dāng)不定積分在 上存在時(shí)，在 上有在 上存在時(shí)，在 上有( )d = ( )+.f xx f xc 設(shè)設(shè)1( )( )gxf x 只須證為的原函數(shù).只須證為的原函數(shù).事實(shí)上，事實(shí)上，( ( )( )( ( )( )( )( ( )( )( ( )( )0.dftg tfttg tdtfttftt,tj 有有111( ( )( ),( )(

11、),.ftg tctjgxf xcxi 即即因此，有因此，有11( )( )=( )= ( )ddgxf xcfxf xdxdx （）（）1( )( )gxf x 即為的原函數(shù)，得證.即為的原函數(shù)，得證.例例1414 求下列不定積分求下列不定積分)0(1)3()0(1)2()0(1222222adxaxadxxaadxxa）（利用適當(dāng)?shù)娜谴鷵Q化為易求的積分）（利用適當(dāng)?shù)娜谴鷵Q化為易求的積分）sin(),arcsin22tan(),arctan22secxxatttaxxatttaxat 如如從從而而有有單單值值函函數(shù)數(shù)從從而而有有單單值值函函數(shù)數(shù)等等解解2212dxax （）secln s

12、ectantdtttc 2tan22sec1sec1tanx atdx atdtatdtat 由輔助三角形（如圖）由輔助三角形（如圖）22sec,tanaxxttaa 222211lnln()(ln)axxcaaxaxccac 原原式式tax22ax 求求解解22(0).ax dx a tdtadxcos tdtatadxxacoscos2222,sin ttaxtataaxacossin22222 dttatdta22cos1cos222cttata cossin2222cxaxaxaaxt 222212arcsinarcsint22xa xa求求解解).0(122 adxax令令taxse

13、c 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecctt )tanln(sectax22ax .ln22caaxax 例例1515 用倒代換或根式代換求不定積分用倒代換或根式代換求不定積分22411,(2)12axdxdxxx （ ）解解12212222411(1)xtdxdttaxdxa tt dtx 令令（ ）11222 22 22 22001(1)(1)(1)2xta ttdta td a ta 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，從從而而原原式式322223(),0.3axcxa x 同同理理, ,時(shí)時(shí), ,結(jié)結(jié)果果相相同同22211(2)(1)1112tx

14、txdxtdttdxdtdtttx 令令即即ln(1)2ln(12 )ttcxxc 例例1616 求求dxxxn )(11令令tx1 ,12dttdx dxxxn )(11dttttn 2111 dtttnn11ctnn |ln 11.|lncxnn 111解解當(dāng)分母的階當(dāng)分母的階分子的階時(shí)分子的階時(shí), 可考慮試用可考慮試用倒代換倒代換.1tx 練習(xí)練習(xí) 323) 1()2(11xdxdxxx）（提示提示 tdtttdtdttttttdtttxtdtdxtxtxdttdxcossecsec) 2()111(66132tansec232562665令即令）（基基本本積積分分表表續(xù)續(xù);coslnt

15、an)16( cxxdx;sinlncot)17( cxxdx;)tanln(secsec)18( cxxxdx;)cotln(csccsc)19( cxxxdx;arctan11)20(22caxadxxa ;ln211)22(22cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22caxdxxa .)ln(1)24(2222caxxdxax ;ln211)21(22caxaxadxax 小結(jié)小結(jié)兩類積分換元法：兩類積分換元法： 湊微分湊微分三角代換、根式代換、倒數(shù)代換三角代換、根式代換、倒數(shù)代換三角代換常有下列規(guī)律三角代換常有下列規(guī)律22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可

16、令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 三、分部積分法三、分部積分法 (integration by parts)問(wèn)題問(wèn)題 ?dxxex解決思路解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則. .設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu uv dxuvu vdx.udvuvvdu或或分部積分公式分部積分公式關(guān)鍵關(guān)鍵.udvvduudv 恰恰當(dāng)當(dāng)選選取取 、使使比比原原積積分分易易積積出出處理兩類不同類型函處理兩類不同類型函數(shù)的乘積的不定積分?jǐn)?shù)的乘積的不定積分例例1 1 求積分求積分.cos xdxx

17、解解 若若 令令,cos xu 212xdxdxdv則則 xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當(dāng)選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行，積分更難進(jìn)行.vu ,令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossincxxx 例例2 2 求積分求積分. dxxex解解, xu 設(shè)設(shè),dvdedxexx dxxexcexedxexexxxx 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪函數(shù)為就考慮設(shè)冪函數(shù)為 u , 使其降冪一次使其降冪一次(假定冪指假定冪指數(shù)是正整數(shù)數(shù)是正整數(shù))解解過(guò)過(guò)程程表

18、表述述為為熟熟練練以以后后，可可將將以以上上求求 dxxex xxdecexedxexexxxx 例例3 3 求積分求積分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22cexeexxxx （再次使用分部積分法再次使用分部積分法）,xu dvdxex 例例4 4 求積分求積分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22cxxxx

19、 例例5 5 求積分求積分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144cxxx 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為或反三角函數(shù)為u .例例6 6 求積分求積分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)

20、sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2cxxx 有時(shí)候使用若干次分部積分可導(dǎo)出所求積分有時(shí)候使用若干次分部積分可導(dǎo)出所求積分的方程式，然后解此方程求出積分。的方程式，然后解此方程求出積分。例例7 7 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式 .cosi sini21bxdxebxdxeaxa

21、x及及同理可計(jì)算同理可計(jì)算例例8 8 求積分求積分. dxex解解tdtdxtxxt22 ,則則令令22xttedxte dttde2(1)te tc2(1).xexc例例9 9 求積分求積分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecctt )tanln(seccxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1l

22、n(2cxx 解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 cedxxfx ),()(xfdxxf 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2cex 例例1010例例1111（遞推法）遞推法）.dcosxxinn求不定積分求不定積分.sindcos1cxxxi1cosdcosdsinnnnix xxx122sincos(1) cossindnnxxnx x122sin cos(1) cos(1 cos)dnnxxnxx12sin cos(1) cosdnnxxnx xnnx x(1) cosd

23、,解解由此解出由此解出12sin,111sincos,2,3,.nnnxcninxxinnn 合理選擇合理選擇 正確使用分部積分式正確使用分部積分式vu ,dxvuuvdxvu 小結(jié)小結(jié)(1) 被積函數(shù)是冪函數(shù)與正被積函數(shù)是冪函數(shù)與正(余余)弦函數(shù)的乘積弦函數(shù)的乘積, 設(shè)冪函數(shù)為設(shè)冪函數(shù)為u (假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))一般地一般地(2)被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積, 設(shè)設(shè)冪函數(shù)為冪函數(shù)為 u, (假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))(4) 被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積,二二者皆可作為者皆可作為u,但作為但作為u的函數(shù)的類型不變。的函數(shù)的類型不變。(3) 被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)或被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)或反三角反三角函數(shù)函數(shù)的乘積，設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為的乘積，設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 u .降降冪冪法法升升冪冪法