工程力學教學課件 第8章應力狀態(tài)分析

1、1第八章第八章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2第八章第八章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念 用解析法分析二向應力狀態(tài)用解析法分析二向應力狀態(tài) 用圖解法分析二向應力狀態(tài)用圖解法分析二向應力狀態(tài) 主應力跡線主應力跡線 三向應力狀態(tài)三向應力狀態(tài) 廣義胡克定律廣義胡克定律目目錄錄3回顧與比較內(nèi)力內(nèi)力af應力應力pitfayfsm目錄zimy4低低 碳碳 鋼鋼 塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鑄 鐵鐵1 1、問題的提出、問題的提出81 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念5脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿4545螺旋面斷開？螺旋面斷開？低低

2、碳碳 鋼鋼鑄鑄 鐵鐵81 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念6 ppmmnnpnnkanmmppkcoscos/ananp2coscos p2sin2cossinsin p一、一點的應力狀態(tài)一、一點的應力狀態(tài)81 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念781 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念 881 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念981 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念yxz x y z xy yx yz zy zx xz1012381 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念 單元體上沒有切應力的面稱為單元體上沒有切應力的面稱為主平面主平面；主平面上的正應力；主平面上的正應力稱為稱為主應力，主應力，分別用分別用 表示，并且表示，

3、并且該單元體該單元體稱為稱為主應力單元體。主應力單元體。321,321 11123yxz x y z xy yx yz zy zx xz81 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念12123空間（三向）應力狀態(tài)：三個主應力均不為零空間（三向）應力狀態(tài)：三個主應力均不為零平面（二向）應力狀態(tài)：一個主應力為零平面（二向）應力狀態(tài)：一個主應力為零單向應力狀態(tài)：兩個主應力為零單向應力狀態(tài)：兩個主應力為零81 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念1381 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念 若三個主應力中，有兩個等于零，一個不等于零，稱若三個主應力中，有兩個等于零，一個不等于零，稱為為，如桿件軸向拉伸或壓縮。，如桿件軸向拉伸或

4、壓縮。pp 若三個主應力中，有一個等于零，兩個不等于零，稱若三個主應力中，有一個等于零，兩個不等于零，稱為為，或，或，如梁的彎曲。，如梁的彎曲。abpxxx14x xy yx y yx xya a1.1.斜截面上的應力斜截面上的應力 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài)yxxxxyyxyyxyyx15x xy yx y yx xya a1.1.斜截面上的應力斜截面上的應力 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài) 0 nf 0 tf y a a xyd da axyx16 0 nf0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(da

5、dadadadayyxxxy 0 tf0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dadadadadayyxxxy y a a xyd da axyx 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài)17利用三角函數(shù)公式利用三角函數(shù)公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化簡得化簡得xyyx 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài)182sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21

6、xyyx 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài) y a a xyd da axyx192sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài) y a a xyd da axyx20 x xy yx y yx xya a使微元順時針方向使微元順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負。轉(zhuǎn)動為正；反之為負。角：由角：由x x 軸正向逆時針轉(zhuǎn)軸正向逆時針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時為正；反到斜截面外法線時為正；反之為負。之為負。 y a a xyntxyxx 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀

7、態(tài)212sin2cos)(21)(21xyyxyx確定正應力極值確定正應力極值2cos22sin)(xyyxdd設設0 0 時，上式值為零，即時，上式值為零，即02cos22sin)(00 xyyx3. 正正應力極值和方向應力極值和方向0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2) )( (2 20 00 0 x xy y0 0y yx x即即0 0 時，切應力為零時，切應力為零 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài)22yxxy 22tan0 由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應力和最小正應力所

8、在平面。為最大正應力和最小正應力所在平面。 所以，最大和最小正應力分別為：所以，最大和最小正應力分別為： 22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 主應力按代數(shù)值排序：主應力按代數(shù)值排序：1 1 2 2 3 3 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài)23yxxy 22tan0 22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài)0900maxmin0900maxxy24 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài)1xyyx12tan224minmax22xyyx

9、）（)(minmax)90tan(2cot2tan20012cos2sin)(21xyyx25 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài))90tan(2cot2tan2001 4501n)/2()/2(minmaxyxn26試求試求（1 1） 斜面上的應力；斜面上的應力； （2 2）主應力、主平面；）主應力、主平面； （3 3）繪出主應力單元體。）繪出主應力單元體。例題例題1 1：一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。 y x xy 。30mpa，60 xmpa,30 xy,mpa40y已知已知 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力

10、狀態(tài)y x xy 27解：解： （1 1） 斜面上的應力斜面上的應力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060mpa02. 92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060mpa3 .58y x xy 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài)28（2 2）主應力、主平面）主應力、主平面2yxxyyx22)2(maxmpa3 .682yxxyyx22)2(minmpa3 .48mpa3 .48, 0mpa,3 .68321 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài)y x xy 29主平面的方位

11、：主平面的方位：yxxytg2206 . 0406060,5 .1505 .105905 .150y x xy 代入代入 表達式可知表達式可知 主應力主應力 方向：方向：15 .150主應力主應力 方向：方向：3 5 .1050 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài)30（3 3）主應力單元體：）主應力單元體：5 .1513 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài)y x xy 31n練習練習1求圖示單元體求圖示單元體ab 斜截面上的正應力和剪應力。斜截面上的正應力和剪應力。mpa80mpa4030解：解：已知已知,80mpax,40mpax 60,

12、0ympa64.54120sin40120cos2080208060mpa64.54120cos40120sin208060 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài)32練習練習2求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。標出主應力的方位。mpa80mpa40解：解：已知已知,80mpax,40mpax, 0y57.564040)2080(208022minmaxmpampa57.96, 0,57.16321mpa57.56)57.96(57.16(21max 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分

13、析二向應力狀態(tài)33mpa80mpa40108040220tg22545205 .675 .1125 .22033110=67.5 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài)34練習練習3求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。標出主應力的方位。mpa50mpa30mpa30解：解：已知已知,50mpax,30mpax,30mpay5010)30()23050(2305022minmaxmpampa40, 0,60321mpa50)40(60(21max 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應

14、力狀態(tài)35mpa50mpa30mpa3043)30(50)30(220tg87.21687.362043.10843.18011330=18.43 8-2 8-2 解析法分析二向應力狀態(tài)解析法分析二向應力狀態(tài)362cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx 由解析法知，任意斜截面的應力為由解析法知，任意斜截面的應力為 將第一式移項后兩邊平方與第二式兩邊平方相加將第一式移項后兩邊平方與第二式兩邊平方相加22)2sin2cos2()2(xyxyx22)2cos2sin2(xyx 8-3 8-3 圖解法分析二向應力狀態(tài)圖解法分析二向應力狀態(tài)得：得：2222)2()2(xyxyx37 取橫軸

15、為斜截面的正應力，縱軸為斜截面的剪應力，則取橫軸為斜截面的正應力，縱軸為斜截面的剪應力，則上式為一圓方程。上式為一圓方程。xxxyyntyo2/ )(yxcr圓心坐標為圓心坐標為);0 ,2(yx半徑為半徑為22)2(xyxr 8-3 8-3 圖解法分析二向應力狀態(tài)圖解法分析二向應力狀態(tài)382sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2( 這個方程表示一個圓，這個圓稱為應力圓這個方程表示一個圓，這個圓稱為應力圓 8-3 8-3 圖解法分析二向應力狀態(tài)圖解法分析二向應力狀態(tài)39xyyxyx2222)2()2(rcxyyxr22)2( 2

16、yx1. 1. 應力圓：應力圓： 8-3 8-3 圖解法分析二向應力狀態(tài)圖解法分析二向應力狀態(tài)402.2.應力圓的畫法應力圓的畫法d( x , xy)d/( y , yx)c xy 2rxyyxr22)2( y yx xyadx 8-3 8-3 圖解法分析二向應力狀態(tài)圖解法分析二向應力狀態(tài)41點面對應點面對應應力圓上某一點的坐標值對應著應力圓上某一點的坐標值對應著微元某一截面上的正應力和切應力微元某一截面上的正應力和切應力3 3、幾種對應關系、幾種對應關系d( x , xy)d/( y , yx)c xy 2 y yx xyxh ),(aah 2 8-3 8-3 圖解法分析二向應力狀態(tài)圖解法分

17、析二向應力狀態(tài)428-4 8-4 梁的主應力及主應力跡線梁的主應力及主應力跡線124512345mm153111133332232214212421223443 梁的各點皆處于平面應力狀態(tài)，各點的主應力為拉主應梁的各點皆處于平面應力狀態(tài)，各點的主應力為拉主應力力 1和壓和壓主應力主應力 3。各點的拉主應力各點的拉主應力和壓和壓主應力的走向形成主應力的走向形成兩組互相正交的曲線族，此兩組互相正交的曲線稱為兩組互相正交的曲線族，此兩組互相正交的曲線稱為。過一點沿兩組主應力跡線的切線則表示該點兩個。過一點沿兩組主應力跡線的切線則表示該點兩個主應力的方向。主應力的方向。x11截面截面22截面截面33截

18、面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacd主應力跡線的畫法：主應力跡線的畫法：8-4 8-4 梁的主應力及主應力跡線梁的主應力及主應力跡線44拉力壓力 1 3 1 3 圖示為懸臂梁的主應圖示為懸臂梁的主應力跡線力跡線實線表示拉主應力跡線；實線表示拉主應力跡線；虛線表示壓主應力跡線。虛線表示壓主應力跡線。8-4 8-4 梁的主應力及主應力跡線梁的主應力及主應力跡線45q 1 3 3 1 圖示混凝土梁圖示混凝土梁自重下的主應力跡自重下的主應力跡線。線。 混凝土屬脆性混凝土屬脆性材料，抗壓不抗拉。材料，抗壓不抗拉。沿拉主應力跡線方沿拉主應力跡線方向鋪設鋼筋，可增向鋪設鋼筋，可增強混凝土梁的抗

19、拉強混凝土梁的抗拉強度。強度。8-4 8-4 梁的主應力及主應力跡線梁的主應力及主應力跡線46定義定義231三個主應力都不為零的應力狀態(tài)三個主應力都不為零的應力狀態(tài) 8-5 8-5 三向應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)47 1 2xyz 31231、空間應力狀態(tài)、空間應力狀態(tài) 8-5 8-5 三向應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)481232、三向應力圓、三向應力圓 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 8-5 8-5 三向應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)49123 max min231max3、最大剪應力、最大剪應力 1 2 3 最大剪應力所在的截面與最大剪應力所在的截面與 2平行，與第一、第三主平面平行，與第一、第三

20、主平面成成45角。角。 8-5 8-5 三向應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)501. 1. 基本變形時的胡克定律基本變形時的胡克定律xxe exxy xyx1 1）軸向拉壓胡克定律）軸向拉壓胡克定律橫向變形橫向變形2 2）純剪切胡克定律）純剪切胡克定律 g 8-6 8-6 廣義胡克定律廣義胡克定律512 2、三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律、三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律疊加法疊加法23132111e1231e1e2e3 8-6 8-6 廣義胡克定律廣義胡克定律5223132111e13221e21331e 8-6 8-6 廣義胡克定律廣義胡克定律53)(1zyxxe gxyxy 3 3、廣義胡克定律的一般形式、廣

21、義胡克定律的一般形式)(1xzyye )(1yxzze gyzyz gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz 8-6 8-6 廣義胡克定律廣義胡克定律54例例2邊長為邊長為a 的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為模量為e 、泊桑比為、泊桑比為 ，頂面受鉛直壓力，頂面受鉛直壓力p 作用，求鋼塊的作用，求鋼塊的應力應力 x 、 y 、 z 和應變和應變 x 、 y 、 z 。pxyz x y z解：解： 由已知可直接求得：由已知可直接求得：,2apany, 0z, 0 x 8-6 8-6 廣義胡克定律廣義胡克定律55pxyz x

22、y z,2apyx)0(10yxe)0(1xyye)(01yxze,)1 (1222eapeyyy2)1 ()(eapeyyz 8-6 8-6 廣義胡克定律廣義胡克定律56例例3已知已知e=10gpa、 =0.2，求圖示梁求圖示梁nn 截面上截面上 k 點沿點沿30方向的線應變方向的線應變 30。nnk1m 1m2mab2001507575kknp1230mknmn.6knqn6mpahbhmyimnkzn130206000341223bhqbbhhbhqbisqnnzzn89)8/3()4/(123* 8-6 8-6 廣義胡克定律廣義胡克定律57nnk1m 1m2mab2001507575kknp1230mknmn.6knqn6mpahbhmyimnkzn130206000341223mpabhqn1125. 030020086000989 8-6 8-6 廣義胡克定律廣義胡克定律58nnk1m 1m2mab2001507575kknp1230mpampaxyx1125. 0, 0,1 30 -6030-60mpaxxx8