635函數展開為冪級數

1、6.3.4 6.3.4 冪級數冪級數 一、冪級數的定義一、冪級數的定義 稱稱為為冪冪級級數數，其其中中 , , , ,10naaa 稱稱為為冪冪級級數數的的系系數數。 nnnnnxxaxxaaxxa)()() (001000 二二、冪冪級級數數的的收收斂斂半半徑徑和和收收斂斂區(qū)區(qū)間間 三三、冪冪級級數數的的性性質質 1 1冪級數的代數運算冪級數的代數運算設設 00 nnnnnnxbxa與與的收斂半徑為的收斂半徑為)0,( 2121 rrrr 與與， 和函數為和函數為)()(21xsxs與與，),min(21rrr ，則當則當) ,(rrx 時，可作如下運算：時，可作如下運算： （2 2）乘法）

2、乘法 0021)()(nnnnnnxbxaxsxs 2211211)()(xbababaxbababa nnnnxbababa)(11 （1 1）加加法法和和減減法法 00021)()()(nnnnnnnnnnxbaxbxaxsxs， 2 2冪冪級級數數的的分分析析性性質質定理定理 9（內閉一致收斂性）（內閉一致收斂性） 若冪級數若冪級數 0nnnxa的收斂半徑的收斂半徑0 r，則，則冪級數在冪級數在 任意閉區(qū)間任意閉區(qū)間) ,( ,rrrr 上都一致收斂。上都一致收斂。 定定理理 10 若若 0nnnxa的的收收斂斂半半徑徑為為則則和和函函數數為為 ),( ),0(xsrr （2 2）),(

3、 )(rrxs 在在內內可可導導，且且 1100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxs， 逐項求導所得的冪級數與原級數有相同的逐項求導所得的冪級數與原級數有相同的r 收斂半徑收斂半徑。 反反復復應應用用此此結結論論得得: :),( )(rrxs 在在內內具具有有任任意意階階導導數數。 （1 1）),( )(rrcxs ，若若冪冪級級數數在在) ( rxrx 或或處處 也收斂，則也收斂，則) , )( ,( )(rrcxsrrcxs 或或。 （3 3）),( )(rrxs 在在內內可可積積，且且 100 0 0 0 0 1 )( nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxs，

4、 逐逐項項積積分分所所得得的的冪冪級級數數與與原原級級數數有有相相同同的的r 收收斂斂半半徑徑。 12)1()(1211 nnnxnxs),1 , 1( ,11)()1(22020 xxxxnnnnn)1(211)1( nnnx 1 , 1x 1 , 1x 011)(nnnxxxs， xxnxxxsnnnn 11)1( )(001， xxdttxxs 0 )1ln(11)(， 故故 0. , 1 10 ),1ln(1)(xxxxxs 10 )(s又 )()()1()1()(1111111 nnnnnnnnxxxxxnnxxnnxs).1 , 1( ,)1(2)1(32 xxxxxx.)1()1

5、n(n11的和函數的和函數及及求冪級數求冪級數 nnnnnnxx 例例3.3.（2） 1)1(nnnnx 解：收斂域為解：收斂域為1 , 1 ，設和函數為，設和函數為.1 , 1 ,)1()(1 xnnxxsnn 11111)111()1()(nnnnnnnnnxnxxnnnnxxs 11111nnnnnxxnx1)1ln(1)1ln( xxx . 1 , 1, 0 , 0),1 , 0()0 , 1 , 1)1ln(1)(xxxxxxxs ).1 , 0()0 , 1, 1)1ln(1 xxxx0)0( s，1)1(1)1(1 nnns， 例例4求數項級數求數項級數 2)12(1nn的和。的

6、和。 1n若將所給數項級數可看作是冪級數若將所給數項級數可看作是冪級數1212nnnx在在21x時所得的級數，其和函數就容易求了。時所得的級數，其和函數就容易求了。解：設解：設)1 , 1( ,12)(12 xnxxsnn， 則則.2)12(1)21(1 nnns xnnnnnndxnxxnxxnxxs011211212)12(1212)().1 , 1( ,11ln211)(020122 xxxxdxxxdxxxxxnn).21ln(21211211ln2212)12(1)21(1 nnns 一一、泰泰勒勒)(taylor級級數數 前面討論了冪級數的收斂域及其和函數的性質，前面討論了冪級數的

7、收斂域及其和函數的性質， 下面討論相反的問題，即給定下面討論相反的問題，即給定)( xf函數函數，是否能，是否能 找到這樣一個冪級數，它在某區(qū)間內收斂，且其找到這樣一個冪級數，它在某區(qū)間內收斂，且其 和函數恰好和函數恰好)( xf就是就是，若能找到這樣的冪級數，若能找到這樣的冪級數， 則稱則稱)( xf函數函數在該區(qū)間內能展開成冪級數。在該區(qū)間內能展開成冪級數。 6 63 35 5 函數展開為冪級數函數展開為冪級數1泰勒泰勒)(taylor公式公式 設設)( )(xnxf在在內內具具有有直直到到階階導導數數 )1( n， 則則在在)(xn內內有有 2)(! 2)()()()(xxxfxxxfx

8、fxf )()(! )()(xrxxnxfnnn 其其中中1)1()(! )1()()( nnnxxnfxr（之之間間與與在在 xx ） 。 復復 習習2 2. .麥麥克克勞勞林林( (maclaurin) )公公式式 在上式中令在上式中令0 x，得：，得： 2! 2)0()0()0()(xfxffxf )(! )0()(xrxnfnnn ， 1)1(! )1()()( nnnxnfxr（x與與在在0 之間） 。之間） 。 定義定義 設設)( )(xnxf在在內具有任意階導數，則稱內具有任意階導數，則稱 nnnxxnxf)(! )()(0 為為xxf )(點點在在處的處的泰勒級數泰勒級數， 記

9、為記為)(xfnnnxxnxf)(! )()(0 。 0 )( xxf點點在在處的泰勒級數，稱為處的泰勒級數，稱為麥克勞林級數麥克勞林級數， 記為記為)(xfnnnxnf! )0()(0 。 證明證明: :設設)( )(xnxf在在內能展開成泰勒級數，即內能展開成泰勒級數，即 0)()(!)()(nnnxxnxfxf， )(xnx nnnxxnxfxxxfxfxs)(! )()()()()(1 。 當當)( )(xnxf在在內具有任意階導數時，內具有任意階導數時，xxf )(點點在在 處的泰勒級數是否收斂？若收斂，是否一定以處的泰勒級數是否收斂？若收斂，是否一定以)(xf為為 和函數？對此，有

10、如下定理：和函數？對此，有如下定理： 定理定理 1111 設設)( )(xnxf在在內具有任意階導數，內具有任意階導數，)(xf則則 )( xn在在內能展開成泰勒級數的充分必要條件內能展開成泰勒級數的充分必要條件)( xf是是 x 點點在在的泰勒公式的余項的泰勒公式的余項)(xrn滿足滿足 0)(lim xrnn，)(xnx 。 )(xf在在x處的泰勒公式為處的泰勒公式為 )()(!)()()()()(xrxxnxfxxxfxfxfnnn 則則)()()(1xrxsxfnn , , ).(xnx )(xf在在x處的泰勒級數在處的泰勒級數在)(xnx 內收斂于內收斂于)(xf )()(lim1x

11、fxsnn 0)()(lim)(lim1 xsxfxrnnnn. . 定理成立。定理成立。 定理定理 1212 如果如果)( )(xnxf在在內能展開成內能展開成的冪級數的冪級數 xx nnnxxa) (0 ，則必有，則必有!)()(nxfann （ , 2 , 1 , 0 n） 。） 。 此此定定理理表表明明：)( xf若若能能展展開開成成冪冪級級數數，則則其其展展開開式式 是是唯唯一一的的，它它就就是是xxf )(點點在在處處的的泰泰勒勒級級數數。 ).(,)(!)()(0 xnxxxnxfxfnnn 稱為稱為)(xf在在x處的處的泰勒展開式泰勒展開式。 當當0 x時，得時，得)(xf的的

12、麥克勞林展開式麥克勞林展開式： ).0( !)0()(0)(nx,xnfxfnnn 二二、函函數數展展開開為為冪冪級級數數 1 1直接展開法直接展開法把把)(xf展展開開成成 x 的的冪冪級級數數，其其步步驟驟如如下下： （1 1）求出）求出)0()(nf， , 2 , 1 , 0 n （2 2）寫出）寫出)(xf nnxnfxfxff!)0(! 2)0()0()0()(2， 并求出并求出br 和收斂域和收斂域收斂半徑收斂半徑； （3 3）求出求出1)1(! )1()()( nnnxnfxrbxx ), 0 (之間之間與與在在； （4 4）若若0)(lim xrnn， 則則bxxnfxfxff

13、xfnn ,!)0(! 2)0()0()0()()(2。 （2 2）xe ! 3! 2132nxxxxn, ) ,( x. . （3 3）1)!1()( nnxnexr，) 0 (之之間間與與在在x 。 )!1()!1()(11 nxexnexrnxnn， 例例 2 2將將函函數數xexf )(展展開開成成的的冪冪級級數數 x。 解解： （1 1）) , 2 , 1 , 0( )()( nexfxn ， ) , 2 , 1 , 0( , 1)0(0)( nefn， 是是一一個個常常數數相相對對 nex， 又又級級數數 11)!1(nnnx收收斂斂， 0)!1(lim1 nxnn， 0)(lim

14、 xrnn， 從而從而0)(lim xrnn，) ,( x. . （4 4） ! 3! 2132nxxxxenx ，) ,( x. . 解解： （1 1）), 2 , 1( , )2sin()()( nnxxfn， , 0)0( , 1)0( , 0)0( fff , 0)0( , 1)0()4( ff （2 2）xsin ! )12()1(! 7! 5! 3121753nxxxxxnn ， ) ,( x. . 例例 3 3. .將將函函數數xxfsin)( 展展開開成成的的 x冪冪級級數數。 （4 4） ! )12()1(!7!5! 3sin121753nxxxxxxnn ) ,( x. （

15、3 3）122)!12(2)12(sin)( nnxnnxr) 0 (之之間間與與在在x 。 )!12()(122 nxxrnn， 而而級級數數 012)!12(nnnx收收斂斂，0)!12(lim12 nxnn， 0)(lim2 xrnn，從而，從而0)(lim2 xrnn，) ,( x. . 2 2間接展開法間接展開法 利用已知函數的冪級數展開式，經過適當的運算利用已知函數的冪級數展開式，經過適當的運算 （如（如四則運算、變量代換，逐項求導、逐項積分四則運算、變量代換，逐項求導、逐項積分等） ，等） ， 求出所給函數的冪級數展開式求出所給函數的冪級數展開式的方法稱為的方法稱為間接展開法。間

16、接展開法。 ! )12()1(! 7! 5! 3sin12753nxxxxxxnn， ) ,( x. 逐項求導得：逐項求導得： ! )2()1(! 6! 4! 21cos2642nxxxxxnn， ) ,( x. 1132)1(111nnxxxxx，)11( x. . nxxxxxxnn 1432)1(432)1ln( )11( x. 將上式從將上式從x 0到到逐項積分，得逐項積分，得 xx 換上式中的換上式中的以以 ，得，得 nxxxxxxn432)1ln(432，)11( x。 211)(arctanxx 221642)1(1nnxxxx， ) 1 , 1( x. . dttxx 0 2110arcta