第十二章第二節(jié)1

1、1正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂constant term infinite series第二節(jié)第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法的審斂法 第十一章第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)21. 定義定義 1nnu nsss21收斂的充要條件收斂的充要條件部分和數(shù)列單調(diào)增加部分和數(shù)列單調(diào)增加.nsssnn lim,)1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n.1發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnu有上界有上界若若)2(nspositive term series0 nu常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法審斂法定理定理1 1正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂收斂部分和數(shù)列部分和數(shù)列有界有界

2、ns3 例例1 判定判定 的斂散性的斂散性. 1121nn解解121 nn211 與與一個(gè)一個(gè)已知已知斂散性的斂散性的正項(xiàng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)來(lái)來(lái)比較比較可以判定可以判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的的斂散性斂散性.,21n . 1 正項(xiàng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收級(jí)數(shù)收斂斂.正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂收斂部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列ns有界有界.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 nkkns1121 nkk12142. 比較審斂法比較審斂法證證定理定理2 2nnuuus 21 1nnv 設(shè)設(shè)nnvu 部分和數(shù)列有界部分和數(shù)列有界. 1nnunvvv 21,nnvu 若若收斂收斂 1nnv 1nnu收斂收斂發(fā)散發(fā)散 1nnu 1n

3、nv發(fā)散發(fā)散收斂收斂 0常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法5nns )( nsn設(shè)設(shè)nnuv 無(wú)界數(shù)列，無(wú)界數(shù)列， 1nnv比較審斂法的不便比較審斂法的不便: 須有參考級(jí)數(shù)須有參考級(jí)數(shù). 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnv發(fā)散發(fā)散發(fā)散。發(fā)散。推論推論,1收斂收斂 nnu)(nnukvnn 1nnv收斂收斂證證,0nnvu 若若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法6解解, 1 p設(shè)設(shè), 1 p設(shè)設(shè) pn1pppnns131211 nnppxxxx121dd1(1)(2)nnp11 nnpxx1d比較審斂法比較審斂法發(fā)散發(fā)散. . 11npnppxnnx11, 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nnpnx1d常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

4、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法例例2 2級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) p pppn131211)0( p npxdx11)11(1111 pnp111 p有界有界ns收斂收斂. . 11npn 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),1,1ppp7(1) 幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)正項(xiàng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判定法級(jí)數(shù)的比較判定法, 常用的比較級(jí)數(shù)常用的比較級(jí)數(shù)(2) p-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(3) 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù) 0nnq 時(shí)，發(fā)散時(shí)，發(fā)散當(dāng)當(dāng)時(shí)，收斂時(shí)，收斂當(dāng)當(dāng)11pp 11npn nnn13121111發(fā)散發(fā)散常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 時(shí)，發(fā)散時(shí)，發(fā)散當(dāng)當(dāng)時(shí)，收斂時(shí)，收斂當(dāng)當(dāng)11qq8;1收斂收斂 nnunun1 推論推論1,1 pn

5、upn.1發(fā)散發(fā)散 nnu定理定理2 2 比較審斂法比較審斂法,0nnvu 若若收斂收斂 1nnv收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnv常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法9例例3 討論討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的斂散性.nnn3sin2)1(1 解解 (1) nnnu3sin2 等比級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù) 收斂收斂. 1)32(nn 原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂.n)32( nn32 比較審斂法，比較審斂法，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法10解解3)1(1 nnun32)1(1 n 132)1(1nnp-級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散. 原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù) nn321 13)1(1)2(nnn 發(fā)散發(fā)散時(shí)

6、時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),1,1ppp,11 npn發(fā)散發(fā)散.2比較審斂法，比較審斂法，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法11解解xxnd10 1231nn, 123 p原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)xxxunnd1102 23132n xxxnnd1)3(1102 0收斂收斂.p-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù), 收斂收斂.比較審斂法，比較審斂法，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法12,11都都是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)與與設(shè)設(shè) nnnnvu如果如果,limlvunnn ,0)1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) l,0)2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) l,)3(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) l3.3.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式定理定理3 3,1收斂收斂若若 nnv;1收斂

7、收斂則則 nnu,1發(fā)散發(fā)散若若 nnv.1發(fā)散發(fā)散則則 nnu兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性?xún)杉?jí)數(shù)有相同的斂散性;常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法!的的階階數(shù)數(shù)實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)是是比比較較通通項(xiàng)項(xiàng)無(wú)無(wú)窮窮小小13證證,lim)1(lvunnn 02 l 取取,n ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nn 22llvullnn )(232nnvluvlnnn 即即比較審斂法，斂散性相同。比較審斂法，斂散性相同。,0)1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) l斂斂散散性性相相同同。,limlvunnn 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法14注注快速的審斂法快速的審斂法: (1)與與p-級(jí)數(shù)比較級(jí)數(shù)比較. 127223132nnnnn例如例如收斂收斂.123

8、p常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 12tan3nnn 例如例如發(fā)散發(fā)散., n,232tan3nnn 123nn發(fā)散發(fā)散.(2)與冪級(jí)數(shù)比較。與冪級(jí)數(shù)比較。,1231322/3272nnnnn 15解解)1(nnn 31limnn1sinlim 1 )2(nnn311lim 1 .311收斂收斂 nn原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)收斂收斂。原級(jí)數(shù)發(fā)散。原級(jí)數(shù)發(fā)散。n31例例4 判定下列判定下列級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的斂散性的斂散性 11sin)1(nn 131)2(nnn比較審斂法的極限形式，比較審斂法的極限形式，n1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法16.)cos1(1的斂散性的斂散性判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) nn 解解n

9、n cos1lim 12)(nn 1221nn 收斂收斂,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1)cos1 (nn 1 2cos12xx 0 x收斂收斂.2, pp級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法2)(21n 17.ln12的斂散性的斂散性判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) nnn解解2lnlimnnn 231nnnnlnlim 0 收斂收斂 1231nn.ln12收斂收斂 nnn常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法18證證 nnuu1定理定理4 4達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾,17171783, 法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、哲學(xué)家法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、哲學(xué)家,1 nnu設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) nnnuu1lim nnuu14.4.比值審斂法比值審

10、斂法( (達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾 判定法判定法) ) alembertd,收斂收斂發(fā)散發(fā)散 方法失效方法失效 1nnu 1nnu1 1 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法, 0 ,n ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nn 19,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 取取, 1 r使使,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nn ,1nnnuuru nnu lim發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 11nn收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 121nn例如例如,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 比值審斂法失效比值審斂法失效. nnuu10 nnnuu1lim1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,n , 0 取取,n ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nn ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 1 r 使使,1nnuru ,nkknuru 等比級(jí)數(shù)收斂等比級(jí)

11、數(shù)收斂202. 比值判別法判定級(jí)數(shù)發(fā)散，比值判別法判定級(jí)數(shù)發(fā)散，注注 方法失效方法失效.級(jí)數(shù)的通項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)un不趨于零不趨于零.3. 當(dāng)當(dāng)=1nnnuu1lim 或或 不存在時(shí)不存在時(shí),4. 條件是充分的條件是充分的,含有連乘積。含有連乘積。一般項(xiàng)一般項(xiàng)nu. 1不是必要的不是必要的.收斂收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nnu1lim1 nnnuu,1時(shí)時(shí) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法21nn2)1(2 nnuu1.a,a,nn2361122 nnnuu1lim 12)1(2nnn級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)例如例如n23 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂收斂 )1(22)1(21nnna不存在不存在 1nnu)0( nu收斂收斂

12、1lim1 nnnuu常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法22解解)( n)1( nnuu1101 n.10!1發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnn比值審斂法的優(yōu)點(diǎn)比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù)不必找參考級(jí)數(shù). . 例例5 判定下列判定下列級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的斂散性的斂散性 110!)1(nnn 12)12(1)2(nnn!1010)!1(1nnnn 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法23nnnuu1lim 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, )12(21lim nnn.)12(211收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnn解解)22()12(2)12(lim nnnnn21n41 改用比較審斂法改用比較審斂法的極限形式的極限

13、形式。 12)12(1)2(nnn常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法24例例6 討論級(jí)數(shù)討論級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性.)0(1 xnxnn解解nnnuu1lim 當(dāng)當(dāng)0 x1時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng) x=1時(shí)時(shí), xnnn1lim nxnxnnn1lim1 發(fā)散發(fā)散;發(fā)散發(fā)散.x 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù),收斂收斂;常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法25例例7 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性.3cos221 nnnn 解解3cos202 nnn nnnnn221lim1 收斂，收斂， 12nnn比較判別法，比較判別法，原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂.2121lim nnn1 nn2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

14、26例例8 利用級(jí)數(shù)收斂性，證明利用級(jí)數(shù)收斂性，證明. 0) !(lim2 nnnn證證 考慮級(jí)數(shù)考慮級(jí)數(shù),) !(12 nnnnnnnuu1lim nnnnnnn221) !()!1()1(lim nnnn1111lim0 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 收斂收斂. 12) !(nnnn必要條件，必要條件，. 0) !(lim2 nnnn1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法27例例9 證明證明:級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 發(fā)散發(fā)散. 1!nnnnne證證 nnuu1nnne)1( nne)11( , e . 11 nnuu.1nnuu . 0lim nnu級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件, 原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散.!)1()

15、!1(11nennnennnn nn)11( 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法28, 0 a設(shè)設(shè) 112102)1()1()1)(1)(1(nnnnaaaaa解解 nnnuu1lim 10 a01 a211 aa,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a發(fā)散發(fā)散.收斂收斂;,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a nnnaa1lim1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法討論級(jí)數(shù)的斂散性討論級(jí)數(shù)的斂散性。29.11 nnn級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)定理定理5 5柯西柯西(cauchy) (法法)17891857適用于適用于:以以n為指數(shù)冪的因子為指數(shù)冪的因子5. 根值審斂法根值審斂法 (柯西判別法柯西判別法),1 nnu設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 方法失效方法失

16、效收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu1 1 1 nnnulim常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法30例例10 討論級(jí)數(shù)討論級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性. 1)12(nnann解解annn)12(lim a)21( 當(dāng)當(dāng)a0時(shí)時(shí),a)21(級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂收斂;當(dāng)當(dāng)a0時(shí)時(shí),a)21(級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散;當(dāng)當(dāng)a=0時(shí)時(shí),根值法根值法失效失效, 11 n發(fā)散發(fā)散.nnnu limnnannn)12(lim , 1 , 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法31判定判定 的斂散性的斂散性. 1ln72nnn解解根值審斂法根值審斂法)(12 n. 0lnlim nnn級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散.nnln72 nnnnnuln72常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法32注注 1. 根值法條件是充分的根值法條件是充分的,不是必要的不是必要的. 1