第十章曲線、曲面積分小結(jié)

1、第十章曲線、曲面積分第十章曲線、曲面積分小結(jié)小結(jié)一一 基本要求基本要求1理解兩類曲線和曲面積分的概念理解兩類曲線和曲面積分的概念, ,了解了解兩類積分的性質(zhì)以及兩類積分的關(guān)系兩類積分的性質(zhì)以及兩類積分的關(guān)系. .2掌握計(jì)算兩類曲線、曲面積分的方法掌握計(jì)算兩類曲線、曲面積分的方法.3掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件與路徑無關(guān)的條件.4. 掌握高斯公式掌握高斯公式,并會(huì)用公式求曲面積分并會(huì)用公式求曲面積分.5會(huì)用曲線積分和曲面積分求一些幾何會(huì)用曲線積分和曲面積分求一些幾何量與物理量（弧長(zhǎng)量與物理量（弧長(zhǎng),質(zhì)量質(zhì)量,重心重心,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,引力、功

2、和流量等）引力、功和流量等）. . 二二. .要點(diǎn)提示要點(diǎn)提示( ),( ),xtytt 22( , )( ),( )( )( ),lf x y dsftttt dt 22( )( ),dstt dt 弧微分弧微分設(shè)設(shè)l：（1）對(duì)弧長(zhǎng)（第一類）對(duì)弧長(zhǎng)（第一類）1.曲線積分的計(jì)算曲線積分的計(jì)算化為定積分計(jì)算化為定積分計(jì)算 （2）對(duì)坐標(biāo)（第二類）對(duì)坐標(biāo)（第二類）( ),( ),xtyt ( , )( , )( ),( )( )( ),( )( )lp x y dxq x y dyptttqttt dt 設(shè)設(shè)l： ,ab 從從到到有方向有方向2曲面積分的計(jì)算曲面積分的計(jì)算（化為二重積分）（化為二重積

3、分）( , , )f x y z ds :( , ),zz x y 22:( , ),1,yzxx y z dsxx dydz 22:( , ),1,xzyy x z dsyy dxdz 若若（1）對(duì)面積（第一類）的曲面積分）對(duì)面積（第一類）的曲面積分 22 , , ( , )1( , )( , )xyxydf x y z x yzx yzx y dxdy 向向xoy面的投影為面的投影為 則則,xydyzd投影投影xzd投影投影（2）對(duì)坐標(biāo)（第二類）的曲面積分）對(duì)坐標(biāo)（第二類）的曲面積分 ( , , ), , ( , )xydr x y z dxdyr x y z x y dxdy 若若 上側(cè)

4、，則上側(cè)，則:( , )zz x y ( , , ), , ( , )xydr x y z dxdyr x y z x y dxdy ( , , )( , ), ,yzdp x y z dydzp x y zy z dydz :( , ),xx y z :( , ),yy x z ( , , ). ( , ),zxdq x y z dzdxq x y z xz dzdx 若若 下側(cè)，則下側(cè)，則:( , )zz x y 有方向有方向()dlqpdxdypdxqdyxy 3.格林公式格林公式 - 平面上曲線積分與二重積分的關(guān)系平面上曲線積分與二重積分的關(guān)系4.曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑

5、無關(guān)的條件l取正向取正向.以及等價(jià)關(guān)系以及等價(jià)關(guān)系.qpxy 設(shè)有界閉區(qū)域設(shè)有界閉區(qū)域d由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線l圍成圍成, ,p x yq x yd函函數(shù)數(shù)在在 上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有5. .高斯公式高斯公式 曲面積分與三重積分的關(guān)系曲面積分與三重積分的關(guān)系()pqrdvpdydzqdzdxrdxdyxyz . 為為外外側(cè)側(cè) ()( , , )( , , )( , , )p x y zq x y zr x y z 設(shè)設(shè)空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域是是由由光光滑滑 或或分分片片光光滑滑曲曲面面 所所圍圍成成，函函數(shù)數(shù)、在在上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則

6、則有有6.兩類積分之間的關(guān)系：兩類積分之間的關(guān)系： =coscosllpdxqdypqdscos,dxds cos.dyds pdydzqdzdxrdxdy =coscoscospqrds cos,dydzds cos,dzdxds cos,dxdyds (cos ,cos,cos )n 的法向量的法向量(cos ,cos)t l的切向量的切向量曲線曲線:曲面曲面:三三.兩類曲線兩類曲線( (曲面曲面) )積分的典型問題積分的典型問題一般曲線積分化成定積分計(jì)算，一般曲線積分化成定積分計(jì)算，一般曲面積分化成二重積分計(jì)算，一般曲面積分化成二重積分計(jì)算，封閉曲線的積分利用格林公式化為二重積分封閉曲線

7、的積分利用格林公式化為二重積分.封閉曲面的積分利用高斯公式化為三重積分封閉曲面的積分利用高斯公式化為三重積分.第一類曲線積分的求法第一類曲線積分的求法1.基本方法：基本方法：由積分曲線的表達(dá)式求出由積分曲線的表達(dá)式求出弧微分元素弧微分元素，定積分定積分定限定限：下限小于上限：下限小于上限. 22 ( ), ( )( )( ) ,ftttt dt ( , )lf x y ds ( ),:(),( ),xtltyt 將積分曲線將積分曲線代入代入被積函數(shù)，被積函數(shù)，2.利用積分性質(zhì)利用積分性質(zhì):ldsl 的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度 2222, :nlxydslyax 例例求求下下半半圓圓周周 222nnllxyd

8、sads解解 221nnladsa 3.計(jì)算中注意利用對(duì)稱性計(jì)算中注意利用對(duì)稱性:奇偶性、輪換性奇偶性、輪換性因?yàn)榉e分曲線因?yàn)榉e分曲線l關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱，函數(shù)，函數(shù) 2xcosy是是221,43xy 22(2 cos34)dlxyxys 222 cos d(34)dllxy sxys 2 cos d0lxy s 22(34)d12d12llxyssa 22(2 cos34)d12lxyxysa 例例 設(shè)設(shè)l為橢圓為橢圓其周長(zhǎng)為其周長(zhǎng)為a，求，求解解 原式原式=x的奇函數(shù)的奇函數(shù)，因此有，因此有而而所以所以 第二類曲線積分的求法第二類曲線積分的求法1.基本方法：基本方法：由積分曲線的表達(dá)式

9、確定定積分的由積分曲線的表達(dá)式確定定積分的積分變量積分變量，將積分曲線將積分曲線代入代入被積表達(dá)式，被積表達(dá)式，定積分定積分定限定限：起點(diǎn)對(duì)應(yīng)下限，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)上限：起點(diǎn)對(duì)應(yīng)下限，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)上限. ( ), ( ) ( ) ( ), ( )( )p x ty t x tq x ty ty t dt ( , )( , )lp x y dxq x y dy :( ),( ),l xx tyy t:t從從 變變到到2.利用格林公式利用格林公式(1)積分曲線為封閉曲線積分曲線為封閉曲線,直接化為二重積分直接化為二重積分（滿足定理?xiàng)l件）（滿足定理?xiàng)l件）(2)積分曲線為非封閉曲線積分曲線為非封閉曲線,添加曲線添

10、加曲線(較簡(jiǎn)單較簡(jiǎn)單)使之成為封閉曲線使之成為封閉曲線, 原曲線積分化為一個(gè)原曲線積分化為一個(gè)二重積分減去在添加曲線上的曲線積分二重積分減去在添加曲線上的曲線積分.()ldqppdxqdydxdyxy.l其其中中 取取正正向向1xy2(2)d()dyxlxyeyyyex 記記l所圍的區(qū)域?yàn)樗鶉膮^(qū)域?yàn)閐，易知，易知d是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為 的正方形區(qū)域的正方形區(qū)域.22211.qpyyxy2(2)()12.yxldxyedyyyedxdxdy 例例1 1 設(shè)設(shè)l l為為 的反時(shí)針方向，則的反時(shí)針方向，則 (a)0； (b)2； (c)4； (d)1解解由已知，由已知，則則由格林公式，得由格林公式，得

11、bya xol si2ncos1xxleyxy dxeydy 計(jì)計(jì)算算例例 22(0)0,01,0lxyx yoa其其中中 ：從從到到的的上上半半圓圓周周. .解解 為用格林公式為用格林公式, :0,(:10)aoyx它與它與l所圍區(qū)域?yàn)樗鶉鷧^(qū)域?yàn)閐 , 則則原式原式(sin)d(cos1)dxxl aoeyxyxeyy (sin)d(cos1)dxxaoeyxyxeyy d添加輔助線段添加輔助線段原式原式(e sin)d(e cos1)dxxl aoyxyxyy d ddx y 01dxx (e sin)d(e cos1)dxxaoyxyxyy 182 ya xold1cose,cose y

12、ypyxqxx:0,:10aoyx3.利用曲線積分與路徑無關(guān)的條件利用曲線積分與路徑無關(guān)的條件(1)改變?cè)e分路徑，使得原積分簡(jiǎn)化改變?cè)e分路徑，使得原積分簡(jiǎn)化.(2)已知已知 是某函數(shù)的全微分，是某函數(shù)的全微分，pdxqdy 求出該函數(shù)，即求出該函數(shù)，即00( , )(,)( , )x yxyu x ypdxqdy 000, )0,)( ,)( , )x yyxyyp x y dxq x y dy00(,)xy( , )x yxyocossinxxleydxeydy 計(jì)計(jì)例例3 3算算 22(0)1,00,0lxyx yao其其中中 ：從從到到的的上上半半圓圓周周. .asin,xqpeyx

13、x 解解積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān):0,:10aoyx另選直線另選直線cossinxxleydxeydy 01cos01xedxe oxy4. 有奇點(diǎn)的曲線積分有奇點(diǎn)的曲線積分222:4lxya22()().lxy dxxy dyxy 例例4 設(shè)設(shè)取逆時(shí)針方向，取逆時(shí)針方向，求求解解 取取222,xyr構(gòu)造構(gòu)造l：順時(shí)針順時(shí)針已知已知2222,xyxypqxyxy 22222,pxyxyqyxyx220,xyxroy:0,2arr于是，于是，22()()lxy dxxy dyxy 2222()()()()l llxy dxxy dyxy dxxy dyxyxy 22()()0lxy dxxy

14、 dydvxy :cos ,sin , :20lxrt yrt t 20( 1)2dt 由格林公式由格林公式第一類曲面積分的求法第一類曲面積分的求法 22, , ,1xyxydfx y z dsfx y z x yzz d :,zz x y由積分曲面表達(dá)式確定曲面向一坐標(biāo)面由積分曲面表達(dá)式確定曲面向一坐標(biāo)面投影投影，將積分曲面將積分曲面代入代入被積函數(shù)，被積函數(shù)，求出求出曲面面積元素曲面面積元素向向xoy面面投影：投影：xyd1.基本方法：基本方法：2.計(jì)算中注意利用對(duì)稱性計(jì)算中注意利用對(duì)稱性:奇偶性、輪換性奇偶性、輪換性2 x ds 例例5 5 求求22220,0 xyzrxy：，. .22

15、21:0,0.zrxyxy，解解設(shè)設(shè)1222x dsx ds 關(guān)于關(guān)于xoy面對(duì)稱面對(duì)稱，被積函數(shù)，被積函數(shù)是是z的偶函數(shù)的偶函數(shù). 222222222:,0,0 xyxydrx dxdydxyr xyrxy 324222002cos3rrddrr 222221xyrdxdydszzdxdyrxy1222x dsx ds 解解 由對(duì)稱性（輪換性）由對(duì)稱性（輪換性）222x dsy dsz ds 222213x dsxyzds22241143386rr dsrr 2 x ds 例例5 5求求22220,0,0 xyzrxyz：，. . 222222()3xy dsxyzds22(),xy ds

16、2222xyzr：. .問題：?jiǎn)栴}： 22242284333rr dsrr , , ( , )xydr x y z x y dxdy 第二類曲面積分的求法第二類曲面積分的求法( , , )r x y z dxdy :,zz x y上側(cè)取上側(cè)取“+”,下側(cè)取下側(cè)取“ ” 對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo) x,y 的積分：的積分：積分曲面向積分曲面向xoy坐標(biāo)面坐標(biāo)面投影投影，將積分曲面將積分曲面代入代入被積函數(shù)，被積函數(shù)，由積分曲面的側(cè)確定二重積分的由積分曲面的側(cè)確定二重積分的符號(hào)符號(hào).pdydzqdzdxrdxdy 分三項(xiàng)計(jì)算分三項(xiàng)計(jì)算1.:( , ),xx y z yzddydzzyzyxpdydzzyxp,)

17、,(),(:( , ),yy z x zxddzdxzxzyxqdzdxzyxq),(,),(前側(cè)取前側(cè)取“+”,后側(cè)取后側(cè)取“ ” 右側(cè)取右側(cè)取“+”,左側(cè)取左側(cè)取“ ” 對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo) y,z 的積分：的積分：對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo) x,z 的積分：的積分：2.利用高斯公式利用高斯公式(1)積分曲面為封閉曲面積分曲面為封閉曲面,直接化為三重積分；直接化為三重積分；(2)積分曲面為非封閉曲面積分曲面為非封閉曲面,添加曲面添加曲面(較簡(jiǎn)單較簡(jiǎn)單)使之成為封閉曲面使之成為封閉曲面, 原曲面積分化為一個(gè)原曲面積分化為一個(gè)三重積分減去在添加曲面上的曲面積分三重積分減去在添加曲面上的曲面積分.pdydzqdzdx

18、rdxdy 1pdydzqdzdxrdxdy 1 2220 (0)xyzzzh h其其中中 為為錐錐面面介介于于平平面面及及 之之間間的的部部分分的的下下側(cè)側(cè). .222x dydzy dzdxz dxdy 例例6 6 計(jì)算計(jì)算解解2221:,()zhxyh補(bǔ)充補(bǔ)充曲面曲面 不是封閉曲面不是封閉曲面, , 為利用高斯公式為利用高斯公式1 取取上上側(cè)側(cè)，1 構(gòu)構(gòu)成成封封閉閉曲曲面面外外側(cè)側(cè)，1 圍圍成成空空間間區(qū)區(qū)域域，1 h xyzo 關(guān)于關(guān)于yoz面對(duì)稱面對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于被積函數(shù)關(guān)于x是奇函數(shù)是奇函數(shù),由由高高斯斯公公式式 得得11222x dydzy dzdxz dxdy12222()x

19、 dydzy dzdxz dxdyxyz dv0 xdv 0ydv y2zdv xoz 1 hxyzo原式原式 12222x dydzy dzdxz dxdyzdv222( , )|xydx yxyh 1 hxyd222xyhxyddxdyzdz 222()xydhxydxdy xyzo4412hh412h 12z dxdy xyddxdyh2.4h 故所求積分為故所求積分為421h 4h .214h 1222x dydzy dzdxz dxdy 1yozzox 在在和和面面上上投投影影面面積積為為零零1 原原式式1222x dydzy dzdxz dxdy 3. 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)轉(zhuǎn)換pdydzq

20、dzdxrdxdy xypzqzr dxdy ,xydydzzdxdy dxdzzdxdy :,zz x y)(2122yxz 下側(cè)下側(cè)xyzo2 z 把三個(gè)積分合并把三個(gè)積分合并,只向坐標(biāo)面只向坐標(biāo)面xoy投影投影分析分析解解2()zx dydz ,xxzxdydzzdxdy 2()zx dydzzdxdy 2()()zxx dxdy 2()()zxxz dxdy 把三個(gè)積分合并把三個(gè)積分合并, ,只向坐標(biāo)面只向坐標(biāo)面xoy投影投影pdydzqdzdxrdxdy xypzqzr dxdy 22()()()zx dydzzdxdyzxxz dxdy 22 22211 () ()()42xydxyxxxydxdy xyddxdyyxx)