第四章分部積分法

1、分部積分法分部積分法 前面我們在復合函數(shù)微分法的基前面我們在復合函數(shù)微分法的基礎上，得到了換元積分法。換元積分礎上，得到了換元積分法。換元積分法是積分的一種基本方法。本節(jié)我們法是積分的一種基本方法。本節(jié)我們將介紹另一種基本積分方法將介紹另一種基本積分方法分部分部積分法，它是兩個函數(shù)乘積的微分法積分法，它是兩個函數(shù)乘積的微分法則的逆轉(zhuǎn)。則的逆轉(zhuǎn)。問題問題 ?dxxex解決思路解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.設設函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部積分公式分部

2、積分公式一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容注注分部積分公式的特點：等式兩邊分部積分公式的特點：等式兩邊 u,v 互換位置互換位置分部積分公式的作用：當左邊的積分分部積分公式的作用：當左邊的積分 udv不易求得，而右邊的積分不易求得，而右邊的積分 vdu容易求得容易求得利用分部積分公式利用分部積分公式化難為易化難為易例例1 1 求積分求積分.cos xdxx解（一）解（一） 令令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當選擇不當，積分更難進行，積分更難進行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos

3、 xxdsin xdxxxsinsin.cossincxxx 分部積分公式運用成敗的關鍵是恰當?shù)剡x擇分部積分公式運用成敗的關鍵是恰當?shù)剡x擇u,v 一般來說，一般來說， u,v 選取的原則是：選取的原則是：（1）積分容易者選為）積分容易者選為v （2）求導簡單者選為）求導簡單者選為u分部積分法的分部積分法的實質(zhì)實質(zhì)是：將所求積分化為兩個積分是：將所求積分化為兩個積分之差，積分容易者先積分。之差，積分容易者先積分。實際上是兩次積分。實際上是兩次積分。例例2 2 求積分求積分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22cexeexxxx （再次使用

4、分部積分法）（再次使用分部積分法）,xu dvdxex 總結(jié)總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設冪函就考慮設冪函數(shù)為數(shù)為 , 使其降冪一次使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))u例例3 3 求積分求積分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22cxxxx 若被積函數(shù)是

5、冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為數(shù)或反三角函數(shù)為 .這樣使用一次分部積分這樣使用一次分部積分公式就可使被積函數(shù)降次、簡化、代數(shù)化、公式就可使被積函數(shù)降次、簡化、代數(shù)化、有理化。目的、宗旨只有一個：容易積分。有理化。目的、宗旨只有一個：容易積分。u例例4 4 求積分求積分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144cxxx 總結(jié)總結(jié)例例5 5 求積分求積分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln

6、)sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2cxxx 注注：本題也可令：本題也可令xtln 分部積分過程中出現(xiàn)循環(huán)，實質(zhì)上是得到待求積分分部積分過程中出現(xiàn)循環(huán)，實質(zhì)上是得到待求積分的代數(shù)方程，移項即可求得所求積分。注意最后一的代數(shù)方程，移項即可求得所求積分。注意最后一定要加上積分常數(shù)定要加上積分常數(shù)c例例6 6 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(s

7、insinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式例例7dxx 3sec解解dxx 3sec xxd tansecdxxxxx sectantansec2 xdxxdxxx3secsectansec xdxxxxx3sec)tanln(sectanseccxxxxxdx )tanln(sec21tansec21sec3例例8)(sinnnxdxn 解解xdxxdxnncossinsin1 xdxnxxxn

8、n221sin)1(coscossin xdxnxxnn21sin)1(cossin xdxnnsin)1( xdxnnxxnxdxnnn21sin1cossin1sin若設若設 xdxinnsin則上述計算公式可表為則上述計算公式可表為211cossin1 nnninnxxni遞推公式遞推公式反復使用遞推公式，最后歸結(jié)為求反復使用遞推公式，最后歸結(jié)為求xsin的一次冪或零次冪的不定積分的一次冪或零次冪的不定積分例例9dxeexx arctan解一解一令令xeu dxeexx arctanduuuu 1arctan )1(arctanuudduuuuu2111arctan1 duuuuuu11

9、arctan12cuuuu )1ln(21lnarctan12cexeexxx )1ln(21arctan2解二解二直接分部積分直接分部積分dxeexx arctan xxdeearctandxeeeeexxxxx21arctan dxeeexxx 211arctan對對 dxex211分子分母同乘以分子分母同乘以xe dxex211dxeeexxx )1(2令令xeu duuu )1(12)1ln(21ln2uu 或或分子分母同乘以分子分母同乘以xe2 dxex211 dxeeexxx)1(222)()1(121222xxxedee 令令xet2 dttt)1(121 dttt11121)1

10、ln(ln21tt 解三解三徹底換元徹底換元令令xetarctan 則則txtanln tdttdx2sectan1 dxeexx arctantdtttt2sectan1tan dttt2sin1 tdttdcot tdtttcotcotcttt sinlncotceeeexxxx 21lnarctancexeexxx )1ln(21arctan2例例10dxxexxx )1(1分析分析需要將需要將xxe作為整體來考慮作為整體來考慮解解分子分母同乘以分子分母同乘以xedxxexxx )1(1dxxexeexxxx )1()1(令令xxet dttt)1(1ctt )1ln(lncxexxx

11、)1ln(ln例例1111 求積分求積分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecctt )tanln(seccxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2cxx 例例12 xdxex cos解解 xdxex cos xxde cos1 xdxexexx sincos1 xxxdexe sincos12 xdxexexexxx cossincos1222 cxxexdxexxsincoscos22 類似地有類似地有 cxxexdxexxcossinsin22 例例1 13 3 已已 知知)(xf的的 一一 個個 原原 函函 數(shù)數(shù) 是是2xe , 求求 dxxfx)(. 解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 cedxxfx ),()(xfdxxf 兩邊同時對兩邊同時對 求導求導, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2cex 合理選擇合理選擇 ，正確使用分部積，正確使用分部積分公式分公式vu