工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)課后答案--同濟(jì)第五版

1、習(xí)題解答L利用對角線法則計算下列三階行列式:解 (1)原式= 2x( - 4)乂3+ 0*(-1)乂(- 1) + ix ixg-lx(-4)x(-l)-2X(l)X80xix3=-4；(2)原式=。由 + bac + cba - c'- 0* - b， 3abc - a3 - b3 c3 (3)原式-i*b'c1 a1 a* b1 -l*b* a1 - I* c'b2 a-c1 =be* + co1 + abl ba2 cb2 acl=c2(b - a) a/(b - a) - c(b2 -= (a - b)(b - c)(c - a)(4)原式=?(工+ 3)7 +

2、>(工+獷)+(工+ 了)>-(工+ 了)3-工,一:/ =-2(/ + y).2.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，求下列各排列的逆序數(shù)：(I) 12S 4；(2) 4132i(3) 342 I；(4) 2413；(5) 13(2n)2 4(2 ?1)；(6) 13(2n-L)(2n)(2n- 2)2.解(1)此排列為自然排列，其逆序數(shù)為必(2)此排列的首位元素的逆序數(shù)為01第2位元素1的逆序數(shù)為1 ;第3位元 素3的逆序數(shù)為1 :末位元素2的逆序數(shù)為2,故它的逆序數(shù)為0+ 1 +1 + 2 = 4；(3)此排列的前兩位元素的逆序數(shù)均為0;第3位元素2的逆序數(shù)為2；末 位元素1的逆序數(shù)

3、為3,故它的逆序數(shù)為0 + Q + 2 + 3 = 5;(4)類似于上面，此排列的從首位元素到末位元素的逆序數(shù)依次為0,0,2, 1,故它的逆序數(shù)為0 + 0 + 2+ 1 = 3；(5)注意到這2制個數(shù)的排列中，前h位元素之間沒有逆序?qū)?第對+ 1位 元素2與它前面的算-I個數(shù)構(gòu)成逆序?qū)?，故它的逆序?shù)為界-1;同理，第« +2 倍元素4的逆序數(shù)為廿-2； ,、末位元素2的逆序數(shù)為0.故此排列的逆序數(shù)33為1)+("- 2) + + 0 二/打(1)；(6)與(5)相仿*此排列的前n + 1位元素沒有逆序?qū)?；第? 2位元素 (2n - 2)的逆序數(shù)為2;第抬+ 3位元素2

4、打- 4與它前面的2n - 3t2h - lr2n t 2"-2構(gòu)成逆序?qū)?故它的逆序為4；末位元素2的逆序數(shù)為2(療-1),故此 排列的逆序數(shù)為2 + 4 + 2(打- 1)=屋，-1).3.寫出四階行列式中含有因子的項.解 由行列式定義知這項必還含有分別位于第3行和第4行的某兩元素, 而它們又分別位于第2列和第4列，即。豆和或。注和。心.注意到排列1324與1342的逆序數(shù)分別為1與"n鼻U曰* a42 ,4.計算下列各行列式4 12 4,、12 0 210 5 2 0 0 117一皿ac（3） bd cd bfcfi/.,解rif41D!_ _與2,故此行列式中含有以

5、"如j的項為-白“叫通股鼻乜» n21 4 1,3-121 ;12 3 250 6 2口100ae,1-1bI0de ;（4）.0-1c1- ef.00 -1 dIr 1. 02|1120224n - 4h 0-12- 4lu 3zu n|0 11.112-02r4 f 01170-152-20|0-72-4=0 （因第3、4行成比例）； 2 14 1r2 + ri 5 0 6 2D =012 3 25 0 6 2MlU - 1J 一小01 17II1202Irj + I3r；01L7i7t001785100945*11H.（因宥西行相同）；I,.1.,100 7dIx +

6、12T2工+ 11 =0；' 11 上+ 11互不相等.1111x a b c2 ,2 a =0,其中 a,b,cQ o C/ J b2 cJ1 + 岫 a 0-1 c 10-1d| 1 十 3 a ad門+ M。校門展開,1 + aZ? ad-1 £ i+cd LL)(-1),-1 1 + c 0-10.=(1 + a6)(l + cd) + 心乩5 .求解下列方程:卜110解左式:(工+ 3) 2 j + 11門7上+3)I -t 1 工+I100Q + 3)2x -11T2z +11r -= G+3)h 1+ =("3)(43).于是方程的解為城 = -3逮產(chǎn)

7、內(nèi)逐廣-73；(2)注意到方程左式為4階范德蒙德行列式，由例12的結(jié)果得 (工一口)(工-6)(工-c)(a - b)(a - c)(b - c) = 0, 因a , 6 , c互不相等，故方程的解為：皿=o.，工* = b ,科=J6 .證明:aba +節(jié)2b1ax by ay + bz az bxay + bz az + bx ajc + byaz + bxax + by = (a3 + A3)ay + bz(況 + I > (6 +1)2 (c + 1)1 (d + 1 尸(a + 2)， (6 + 2)z (c + 2)2 (d + 2 尸(a + 3)z (6 + 3)2 (c

8、 + 3 > (d + 3>1(4)C dc2 d1(s-6)(a-c)(a-d)(6 c)(6 d)(c-d)(a + b + c + d);=%I"十%_|工*- + -* + at r + aa.證(1)左式工a1 -辦*2(a - b)0ab - ba - b02b1Ci -2r2ab - b2b2261a ay + bz az + bxIby ay + bz az + bxay az bx ax + by+bz az + bx ax + bya z cu: + by ay + bzbx ax + by ay + bz=aD| + bD21左式="右式;

9、(2)將左式按第1列揖開得其中.TDt = y zaz + bT工 + by ay + bzay +az+b工 ax + byJCyay + bz az bx a jr + byz az + bxx aj： by y 坦y+九ty ay + bz + bxD之二 z az + bx cit + by x az + 仙 ay + bz于是(3)左式j(luò)c y zD = 口口* + bD2 = (©"十 y z x =右式.2a + 12b f I2 c+ 12d + 12日 + 3 2« + 5 26+3 2"5 2r + 3 2c + 5 2d + 3 2

10、d + 52a + 126 + 12c + 1=0 (因有兩列相同h2d<4)左式n - &口ri - ari力一理b(b a) a3)(r1 - a1)各列里取公因子-(b -a)(c - a )(tf - a)d - a-4)-J)1K (b + u) J (<: + )( d +臼)(&-«)( c-a )(d - a)j y其中 iH = d(c + &)(Ar)(6 + a)jNl +"一/一處)=+ 6 +- 6”y = d2(d a) - bd(b + a) = d(a + b+d)(d-&).1 1c(a + i

11、+ c) d(a + b + d)故 c b d b* y= (r 一以+ b + d) - c(a + 6+ c)=(£ - 6)<d Z?)(M - u)(fj + fr) + d3 - c1 (c - b)d b)d cMg + 5 + c + d), 因此，左式= (E ci)(c 。)(日餐日)(。一- c)(a + b + c+ d) =右式.(5)證一 遞推法.按第1列展開，以建立遞推公式，-1x -10D.* 產(chǎn)工。+ (-1 產(chǎn),. ,*a 工 -1=血十(-1尸&=血+斯.又，歸納基礎(chǔ)為：口 = & (注意不是1,于是De =血+/=H (工

12、。+ fl ) + d0= j'2DPj_i + aiJr + aJ=x"D + aB_( jr"'1 + + 口高 + 小 =tty +工+口士工* 十, + "n*” .證二按最后一行展開得=2（_>0=>：口加=口°。工+ 4工工'4-+ flH_1 01 + 明工”，7.設(shè)H階行列式D = <kt（%）,把D上下翻轉(zhuǎn)，或逆時針旋轉(zhuǎn)90、或依副 對角線翻轉(zhuǎn),依次得irrruniJ IP證明D產(chǎn)r=（-1）-口，。產(chǎn)D,證（1）先計算口 ,為此通過交換行將口變換成D,從而找出口與D 的關(guān)系.D的靛后一行是D的

13、第L行，把它依次與前面的行交換，直至換到第1 行，共進(jìn)行打-1次交換；這畸酸后一行是。的第2行，把它依次與前面的行交 換，直至換到第2行,共進(jìn)行打-2次交換：，直至最后一行是D的第x-I 行,再通過一次交換將它換到第升- I行，這樣就把D,變換成D,共進(jìn)行（爐- I ） + （* - 2） + *, + 1 =百 r，（燈 T）次交換，故（-i'口.注r上述交換行列式的行（列）的方法，在解題時，經(jīng)常用到，它的特點是 在把最后一行換到某一行的同時，保持其余珅-i個行之間原有的先后次序（但 行的序號可能改變）.2*同理把D左右翻轉(zhuǎn)所得行列式為（-1小一"D（2）計算5,注意到D2

14、的第1,2,，"行恰好依次是D的第制，門-1,， 1列,故若把D2上下轉(zhuǎn)得萬則D.的第1,2,昨行依次是口的第1, 2,，售列，即萬廣口于是由（1）D, = （ - 1卅a=（-1）；470丁 = （ - I力x”.（3）計算注意到若把外逆時針旋轉(zhuǎn)90.得方則D,的第1,2le 列恰好是D的第門e-1,，1列，于是再把D,左右翻轉(zhuǎn)就得到D.由（1）之注 及，有5 =（一心心"瓦=口注 本例的結(jié)論值得記取，即對行列式D作轉(zhuǎn)置、依副對角線翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn) 180,所得行列式不變；作上下翻轉(zhuǎn)、左右翻轉(zhuǎn)、逆（順）時針旋轉(zhuǎn)90*所得行列式為 （-1 聲0，8,計算下列各行列式（D.為上階行

15、列式）： a1（1） Dn= 三，其中對角線上元素都是也，未寫出的元素都是0;1口a - n)"-提示：利用范德蒙德行列式的結(jié)果.，其中未寫出的元素都是0;(5) D. =det(%),其中 = Ii- jI;1 + «11,、 1 1 十% 1“ 一(6) D, .，其中 01s%K0.¥«*1 , 1 1 + 4(1)解一把D.按第一行展開得0 a0 * aI0按第一列展開 “+（-1）,，一二尸（J -1）.（2）本題中。是教材例8中行列式的一般形式，它是一個非常有用的行列式，在以后各章中有不少應(yīng)用.解 利用各列的元索之和相同,提取公因式,=(j

16、-a)" *x + (n - 1 )a*（3）解 把所給行列式上下翻轉(zhuǎn)，即為范德蒙德行列式，若再將它左右翻 轉(zhuǎn)，由于上下翻轉(zhuǎn)與左右翻轉(zhuǎn)所用交換次數(shù)相等，故行列式經(jīng)上下翻轉(zhuǎn)再左右翻 轉(zhuǎn)（相當(dāng)于轉(zhuǎn)180、參看題7）其值不變.于是按范德蒙德行列式的結(jié)果，可得(a - fi )* (a - w + 1（4）解 本題與例1】相仿，解法也大致相同，用遞推法,即有遞推公式= （口/-瓦c.）D.e另一方面，歸納基礎(chǔ)為5H% ? =5小-與,利用這些結(jié)果，遞推得 G出!WD?. = （口& -3© -演C） = 口（。區(qū)-兒G）.解3）解 將原行列式化為上三角形行列式，為此,從第2

17、行起.各行均減去 第1行,得與例1.3相仿的行列式其中b = 1 + / +與）,于是31-129,設(shè)-：:-:D的（i,j）元的代數(shù)余子式記作A廠求201- II -53-3A3I + 3An - 2A3J + 2An .解 與例13相仿.A，+3A普-2月總+2Aj,等于用1.3, -2,2替換D的第 3行對應(yīng)元素所得行列式，即T 13 -1-2 03 0-1 - 13 -27 3一-1 310.用克拉默法則解下列方程組；J1 + Tj +- 5 IXi + 2Xi -+ 4r4= -2;小2xi 3xt Xj = 5j* = -2,3x, + 沖 + 2-Tj + 1 l.Ti = 0

18、；+5七+ 6工3= 0 rjr2 + 5zj + 6上* = 0,解一32-3：；一;-1-5b-2 門0T-3211|10-2-1111必 + 5r* 1.0 T 1432-229-272332-22=-142；151115111 - 2 - 14n0-7-232 -2 - I - 5門-2口0 -12 -3 -730211。- 3rl0 -15 - I 8-7-12-15一 23-3-1823-13=-284；230T3330-3115-1833-31-2-2011-7-47-2914-2ft一 13一 4?由克拉默法則，得三=方j(luò)115I01-730a 5-12-70一 2-158ra

19、 -2r(-3ri77-2914= -426173-47-2915= 142.(* )于是 D = 325-114 = 211-114,06510065fir門展開0065按門展開=5 -114 =-109；D.=1001由（* ）式-1 + 65 = 64.:-19 + 180=161；5100由克拉歌法則，得1092TT1Dt_ _151_ D? = 161_D:為一方一 JTT與一萬F'科一方一II .間A取何值時，齊次線性方程組Xzj +%十%=0,s j| + 2工 + Xj 0,、工十2口工十工三二0有非零解?解 由定理5',此時方程組的系數(shù)行列式必須為0.故只有當(dāng)

20、？=0或4=1時，方程組才可能有非零解.當(dāng)寓=0,原方程組成為顯然 T = 1 i XjAx| + x2 + jj 0, l-i十工l-0*人心=-I是它的一個非零解;當(dāng)A =】原方程組成為J） += 0 ,“產(chǎn)+四工+ xj = 0,馬+2+孫=0,L,品* =0,%=1是它的一個非零解一因此，當(dāng)/ = 0或入=1時，方程組有非寄解一注 定理5（或定理5'）儀表明齊次線性方程組騫有非零解，它的系數(shù)行列式必為零.至于這條件是否充分將在第三章中予以解決.目前還是應(yīng)驗證它有非 琴解.下題也是同樣情形.12問A取何值時，齊次線性方程組f (1 - A )j: -2工工+4x3 = 0,* 2

21、j：i + (3-A)i1+j:5 = 0,孫 +X： + (1 - A>Jt3 =0有非零解?解 若方程組有非零解，由定理5,它的系數(shù)行列式D = 0.l-A II - 1-A - 2)( A - 3) .故D = 0=>A =0或A = 2或A=3,并且不難騙證;當(dāng)A =0時，工尸-2.%=1,%=h當(dāng)；I = 2時=-2w產(chǎn)3,工3 = 1：當(dāng) 1=3時，工L -1 .%=5,孫=2均是該方程組的非零解.所以當(dāng)4 0.2,3時 方程組有非零解.習(xí)題解答L計算下列乘3(2) 1,2,3) 2 ；L31-12-31 ,0 -22 1 (-L2);3(T.2)2I 3 4/工盟4I

22、I-21-3fl6J-3al2II« 121十"盤工工6 -720 5 一6x3 + fluXjXi + al2+ 0北工七+口封工工13 *口口工）=aitx + ajj + 2aa j| j2 +2ti|)Jr, jr3 + 22打工工工3-1 12.設(shè)盤二11J -1 求 34E-2A RatB. 解1 I I AB= 11T1 -1 1 0 于是 3AB-2A =3 0 2 0 =0，6123-1 -2 405L5 81(1一 591515276 -2 1- 221因=A即A為對稱陣澈860.-1-2-241322-1720 ；29 -2A B = AR =0012

23、5 8-5的9 Oj01分別為對應(yīng)的系數(shù)矩陣；* 二,B =這里矩陣3.已知兩個線性變換4 =+ yt»求從孫，叼，啊到孫，巧，力的線性變換，解 依次將網(wǎng)個線性變換寫成矩陣形式:X= A匕 y = HZ,在這些記號下，從孫，Q ,叫到事"2 "3的線性變換的矩X = AY = A(BZ)(AB)ZCZt即有X| = " 61L + 3ij工工=L2z1 - 4zj + 9zj一 lO2i 一念h +.* Q=C JAB = R4嗎？(2)(A + R)=A* + 2通B + B*鳴？(3) (A + 3)(4 - B)=力* 一日3嗎？解 (1)因4B工

24、f 2U 3工）1 01 2(3 3(2)(骨 + H> = (A 中 B)(A + B) = * + AB + BA + 修工， 但由(1),AB#A4，故AE 中 力建聲24B,從而(3)(小 +-8)二小工+- 4H 但由,故 -ABH。，從而(A + BMA - B)*上-B5.舉反例說明下列命題是錯誤的才（1）若 A*= O,則 4 = 0;（2）若A3 = A,則月=0或4 =芯；（3）著力X =力了，且AKO,則*= Y.解取.= （：；）有德=0但同中01（2）取. = （：；）,有力” =姓，但 AKO 且取 A = （： ：），*=（； ；）”. = （：»

25、 有且"。, 但*#*6,設(shè) 4 口 （；:求 4，大"04、解=C BO AO*(:制：H/JC:H；JJ(2.3)一般可得人（/J事實上，當(dāng)A = 1時，（2.3）式顯然成立；設(shè)當(dāng)* =打時,（2.3）式成立，那么當(dāng)E二熊十1時，（；）d%:）由史納法，知2.3）式成立一A107.設(shè) 4=0A1,求 A”.004,=A£ + B ,0101稠足fi2= 0解把,寫成兩個矩陣之和0 1其中三階矩陣B=OJ100 0 M = 0 (Q3L0 01于是 =（AE + B）* = CXE + CX'1 B犬C）0/»A "（）=0 r CW

26、 =L 3（4 2）,U Arir00，00 尸，8.設(shè)Ae為川階矩陣，且A為對稱陣，證明BTAB也是對稱陣. 證根據(jù)矩陣乘積的轉(zhuǎn)置規(guī)則，有（BtAB）t = Btj4t（Bt）t = BtAB（因 A 為對稱陣）r故由定義，知fiTAB為對稱陣一9,設(shè)4逮都是升階對稱輝.證明AB足對稱陣的充要條件是AB = B4.證因aJa,E： = B,故AB為對稱陣目（小JB）T=0於7丁= ABGBA = AB.10.求下列矩陣的逆陣二C I），（e； 一叱卜2 51sm 8 cos； 3 /&0a2/（叫叫&、了。）.,0a, ）1解（1）由二階方陣的求逆公式（教材例10）得G ；）

27、"（），2 5sin 0cos 6-sin 1 _1 I cos 0cos 6 / ccs: && 一 寫in Bcos d sin & -sin 6 cos 02 -14 -2 =2盧0,故4可逆，井旦-41Mh =Mn =Mjj =于是35354=-32t-7T7 ' = y Mi? 八4及 I A 11I -m訂-4 20 I12=- -13 6 .1= 一竽 1-32 14 -2) ,工MJrMn心,10、3 - X .'2 '7-1.(4 )因 d L 4？a* ¥。1 故 % # 0 , i = 1 +,”.于是矩

28、陣B =崛伐擊一會）是有意義的，并且因=diag(l J * .1) = E-由定理1的推論+知A可逆，且#T = B = di&gY卜注 11.本題結(jié)論值得記取，可當(dāng)作公式用. 解下列矩陣方程：2 5)1 3)4 - 621*1】0 L；01021 0, 0LXi010.1 一42 01 -2解（I）因矩陣，j的行列式=1,不為零.故它可逆,從而用它的逆矩陣 左乘方程兩邊.得，y :n; ：）乩；前一：H：鼻（2）記矩陣方程為=比小，因0 0J 0 =3 關(guān) 0,- 1 I2 Fdet A= 210 2故A可逆，用Ar右乘方程的兩邊科又，M”-MltM；-MuMZJ- M用M13-M

29、mMg.1 / 一6 6了-8 1523 J記，=（_；）_；）（；）'則矩陣方程可寫為AXB= C.因|A|=6#0/H| = 2KO,故A,B均可逆.依次用餐一和B 左乘和右乘方程兩邊得的力:.:)(:31 01D 0和00 1J 100（4）本題與（3）相仿 因矩陣1 .00 010 1的行列式都是-1.故1 Oj-均是可逆陣，并且0 1 01 0 0.0 0 L01,00()0.0010J100 00 1 I 0,foI。01.0fo10-40-20OJ-3-402,0100一 4-2J利用逆矩陣解下列線性方程組工jcy + 2jt2 + 3j+j = 1, 2j：i + 2x

30、2 + 5jtj -2t3工1+ 5x3 + Xj = 3;將方程組寫作矩陣形式(2) 2xj * jtj -= 1 f卜工1+ 2xz -5xj = 0.這里那為系數(shù)矩陣.工二(廣Ax = b.與，工3)T為未知數(shù)矩陣5為常數(shù)矩陣.因lAl 二即有13=1*=0,工3 =3二3芋0,故A可逆，于是即有11112、3-7-2一 5-1-1221- 1-3-521,k1S1505,03于是H j - 5,伊=0,二=3.13 .已知線性變換工i =2?| +2y2 +”，A J1 = 33 1 + g + 5”，、國=3加 +2>i + 3口.求從變量工-4,6到變量3，泗的線性變換-解

31、記工=(4，工>4 = (贄，力，山廣,則線性變換的矩陣形式為上=2 2 I4其中4為它的系數(shù)矩陣.因出i A = 3 1 5 =1*0,故乩是可逆陣，于 3 2 3,是從變量工，工到變量“，力，”的線性變換的矩陣形式為j = A "1 X,.-7 - 4963 -732-4.即M = - 7T, 4jtz + 9x -% =611 + 31rl - 7小， 1y產(chǎn) 3Hl + 2r3 -4,rj.14 .設(shè)A為三階矩陣，14 I =J,求M2A)7 74' I.解 因lAl號聲。，故A可逆.于是由A* = | A I A '=；4 及2A)' = -4

32、'1 T 得(2小尸-5A二- pT = -2A' 兩端取行列式得|(24尸 74” | = | -24"11 = ( - 2)?lA C = - 16.注先化簡矩陣，再取行列式，往往使計算變得簡單，0 3 315 .設(shè) 4=1 1 0 ,AB = A+2B,求 B.1 2 3解由 AB =4 +2B=*(A -2E)B = A.|r-233,因A-2E=1 -1 0 ,它的行列式加t (A-2E)=2H。，故它是可逆陣.-12L用(4 -2E)7左乘上式兩邊得16.設(shè) A =0 3 31 1 01 2 30-2210 b660,30,，且 AH + E = A

33、9; + B,求解 由方程4B + E = A* +JS,合并含有未知矩陣B的項，得(“E)B = * - E=(A E)(#+E).00.，其行列式加t(A -)=-1#0,故A - E可逆，用(4左乘上式兩邊,即得2 0 1B = AE= 0 3 0 I.1,1 0 2,17 .設(shè) A = diag(l,-2J,A*BA=23A - 8E,求 B.解 由于所給矩陣方程中含有A及其伴隨陣A ，因此仍從公式AA"= 著手.為此，用4左乘所給方程兩邊，得AA' BA =2ABA -8A ,又，|A| = -2#。，故A是可逆矩陣，用從-1右乘上式兩邊，得I A|B = 24B-

34、8E>(2A + 2E)B = 8E=>(A + E)B=4E.注意到A + E = diaMl,-2,l)+diag(l ,l,D=diag-1是可逆矩陣，且(用十 E)”1 = diag伐，T 4 ) .于是B = 4(A + EL =dia虱2, -4,2).18 .已知矩陣A的伴隨陣A” =d途(1*1*1，且ABA'i =B%t +3E.求 B.解 先由A,來確定|4|.由題意知A 7存在，有A，= | A | A-1得 IT | = |A門"” =|4|二而|4"=8.故|A|=2.再化簡所給矩陣方程ABA1 =B4” +3E=>(A

35、- E)BA'1 =3E- E)B3A今 (E- 47)b = 3卮.由 |加=2,知盤-=擊從, =/dia£l,l J,8) = diag(；,；.；,4卜廠j./ 111 八A - diagl 2*212* "31.得（E A"）"=帆（2,22-撲于是 8 = 3（西-4一|尸=3出娓（2,22卜如虱6,6，-I）.19 .設(shè) PJP = A,其中 P=； -；）/=（一； I），求解 本陋與教材例13相仿.因pT#P= & .故A=PAP 于是 Au = PAnP''4C： -：）（；機(jī)"）1/ 1 +

36、2bJ 4 + 2h _ 12731 2 7町-1-4-2"J - I -683 -684/20.段 AF = M,其中 P= 1 ,1求中(A)= A&(5E -6A 十 111 解 因|P|二10-2 二 -6盧。，故E是可逆陣.于是,由4P=P4I -1 1 .得4 = PAP t,并且記多項式 何公= 2(5-6工十1) ,有 時 A)= JV")P1 因A是三階對角陣，故tp(A ) = di陽(甲(- 1), p(l),申 15) = diag(124*0). I 1 于是瓜4二：10 一：M -1 U 0 0 = -2100 I 0 0 10 0 =

37、-2100 .J 0 0=4II 1 1J注，由于6A）除（1,1）元外均是0,故在求P時，只需計算F的（1 J）元、2,1） 元<3,1）元的代數(shù)余子式4心和人21-設(shè)4+ = 口仆為正整數(shù)），證明E-4可逆，并且其逆矩陣（E-A）t=E + 4 + 4* + + A*-，證 由（E 4）（£+4 + #' + *、+'-'） = E + 4 + ," + 4*1 一 盤一A*=E - O = Ef由定理2之推論知E-A可逆，且其逆矩陣（E A）7 = e +A+ A*.注判斷矩陣由是否為力的逆矩陣,量直接，最簡單的方法就是驗證48， B .

38、F - . , " ! * 一 .（或者BA ）是否等于單位矩陣，就像判斷3是否為的逆只需驗證4 乂3是否等 'J于1 一樣.下一題及例2都是這一思想的應(yīng)用.22.設(shè)方陣A滿足A1-A-2EQt（2.4）證明A及A+2E都可逆，并求 及6+2E）t,解 先證4可逆.由（2.4）式得A（A-后）=2處：也就是4傳（4 - E）=E.由定理2之推論知4是可逆的,且一£八再證A +2E可逆.用例2.1的解法,由（A +2E）（A 3總）=4' 4= 6E = 2瓦6£= - 4E.即（.+2E）（3E - 4） j= E.同理，知 4+2E 可逆,且（A

39、 + 2E）t（3E-4），23,設(shè)矩陣A可逆，證明其伴隨陣A'也可逆,且（A，）i = （aT.證AA = I AlE及以IH0,由定理Z的推論知月,可逆，且6,尸二=7人 I A |另一方面，因 >TYaT）. = l4"lE，用A左乘此式兩邊得比較上面兩個式子，即知結(jié)論成立.24.設(shè)n階矩陣A的伴隨陣為4 .，證明:若以I =0,則 |A* I =0；（2） |AJ = |A|*'證（1）因(2.5)A* A = |A|E(逆矩陣，用(A* )7左乘上式等號兩邊，得A =O.于是推得 式，亦即A 的所有元素均為零.這導(dǎo)致A*二。.此與 一矛盾說明，當(dāng)14

40、1=0時1=0.(2)分兩種情形：情形1/以1=0.由1=0= Ml，結(jié)婚成立情形2:1 Al聲0.在(2.5)式的兩邊取行列式，得 |A*l|Al = |A'A|*|A|Ej = |Ar 于是|A'l = |4l.注本題(2)的結(jié)果值得記取.1 2 1 Olfl 031“、”0101012-1,1 0 0 2 1 0 0 -2 3Q 0 0 3)0 0 0 -3解與教材例15相同,本題練習(xí)分塊矩陣乘法.記“C :心則A的所有n- 1階子 為可逆矩陣矛盾.這(小當(dāng)|4| =0時，上式成為A" A = O.要證1=0,用反證法；設(shè)I"。,由矩陣可逆的充要條件知

41、，A*是可/ A11 E?、/ E)4 原式二.M;。A花八O t又Am+ B(： ；)(；.叱二HAjlBa = (o 3)(故1原式=° 0034 0 026.設(shè) A= ： -3。° ,求 1 00 2 0Q0 2 2，解若記於仁fl,其中A®22 /。4門/*/二卜：力 -23 /520 -3)-(2 -4卜23_/-430 -3/1 0 -9 卜252 '12- 40-43" 00-9j及 T.Y二卜(7)則A成為-35個分塊對角矩陣,于是1| = |4|=(|4/"/尸=|4/。陽=10、 O A；/25010 25.=25&

42、#163;,故箱=5"時/=2。北，故 A；=2*看習(xí)題6).代人即得92540000540000242fi0002*J27.設(shè)h階矩陣A與$階矩陣H都可逆，求1J (2)(1)因A和B均可逆，作分塊陣/ O B'' (a- O卜由分塊矩陣乘法規(guī)則，(：款工F弋：)=-于是力可逆回;求(")的逆陣.就是求$階方陣*，使/A O, 、(c日).6)為此，根據(jù)原矩陣的分塊情況，對X作一樣的分塊，7 xT其中X”，X1-Xm ,又匕是未知矩陣(為明確起見，它們依次是打X*"X h $X*5 X 5矩陣).把上式代入(2.6)式得到(E*_/4X”力，12

43、 o EJC B)u21 xJ-cX“+M CXlt + BxJ 比較上式兩端兩個矩陣，有AX” =Hax12 = o=>xn = o；.CX12 + BX2l = Et>BX21 = E.x22 = B1;CXit + BX2 = O=>BX21 = - C*u = -工 = - B 'CA于是得28.求下列矩陣的逆陣:210000S50032-(1)將分塊為A =2. 141O003 I0004，因=1,11 = 1,故它們均可逆.于是由分塊對角矩陣的性質(zhì)，有,/A；' O a4 =(?！?(d :卜其中“1一 200:(00/3002-5:)00-38,

44、D =2,1 Cl = 12,故B,C均是可逆陣,由27題(2)的結(jié)論，得-1B ' O-C 1 C*由丸-】1/ 4 0回-1 3.CDB12 4-3 5，得=2424-12-123012-4-5008-20006,習(xí)題解答1.用初等行變換把下列矩陣化為行最簡形矩陣:102.-1 2 0 3I t,3 0 43j0 2(2) 0 3.0 4-2 83 ；- L-3 7'-2 - 430431 0解2 0 (3 0102- I ：0 0 - I 3 ,0 0 -26,-3-4-7門一與- 02r, Io100001.00025-3 0-3一 121-3,3534- 4-4-2-

45、2300.01000-100010002-3-3-4-26JO2-2Q0OJ213232-2一31087-3-234-423-2-30187-2-30-2 F|解（樂用=343234八一坊+ 6口0、032-6 10-32«0，。，2*1-8-70187-2198rjM(-DJ020-2|1020L."n-2fi01-1-1T n+r)0I-10q+8門00014 r4-rj0001r* +7 rj：000140000，求一個可逆陣P,使PA為行鍛簡形.-4121L-23400.02-1一 63-2-1200 .4-3-18a P= 2 -1 0.并旦盤的行最筒形為=10 -1 - 2oo010,0 4 13、-110 1/，設(shè)4 = （-2 _1 ：） J1）求一個可逆陣凡使PA為行最筒形;（2）求一個可逆陣Q,使Q/T為行地筒形.解(1)(AtE) =門一坊-"II rrt - 1)0 4 1 31 7 2 5/r工0,0 1為4T的行最葡形.0 0.00L解記所給的矩陣為力.于是P=C 2'且P&q