全國大學(xué)數(shù)學(xué)競賽析幾何知識培訓(xùn)

1、1 1、相關(guān)知識要點(diǎn)、相關(guān)知識要點(diǎn)2 2、往年實(shí)際賽題演練、往年實(shí)際賽題演練3 3、模擬模擬賽題演練賽題演練1.1.1 1.1.1 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程而而m0 m =x x0, y y0, z z0,得得:a(x x0) +b( y y0) +c( z z0) = 0稱方程稱方程(1) 為平面的為平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程.(1) yxzm0mno對于平面上任一點(diǎn)對于平面上任一點(diǎn)m(x, y, z), 向量向量m0m與與n垂直垂直.n m0 m = 0設(shè)平面設(shè)平面 過定點(diǎn)過定點(diǎn) m0(x0, y0, z0), 且有法向量且有法向量n=a,b, c.1.1. 1.1. 平面的方程平

2、面的方程1. 定理定理1: 任何任何x, y, z的一次方程的一次方程ax +by +cz +d = 0都表示平面都表示平面,且此平面的一個(gè)法向量是且此平面的一個(gè)法向量是: n = a, b, c注：一次方程注：一次方程: ax + by + cz + d = 0 (2)稱為平面的稱為平面的一般方程一般方程.1xyzabc (3)即平面的即平面的截距式方程截距式方程。(3)1.1. 4 平面方程的幾種特殊情形平面方程的幾種特殊情形(1) 過原點(diǎn)的平面方程過原點(diǎn)的平面方程由于由于o(0, 0, 0)滿足方程滿足方程, 所以所以d = 0. 于是于是, 過原點(diǎn)的平面方程為過原點(diǎn)的平面方程為:ax

3、+ by + cz = 0(2) 平行于坐標(biāo)軸的方程平行于坐標(biāo)軸的方程考慮平行于考慮平行于x軸的平面軸的平面ax + by + cz + d = 0, 它的法向量它的法向量n = a, b, c與與x 軸上的單位向量軸上的單位向量 i =1, 0, 0垂直垂直, 所以所以n i = a 1 + b 0 + c 0 = a = 0于是于是:平行于平行于x 軸的平面方程是軸的平面方程是 by + cz + d = 0;平行于平行于y 軸的平面方程是軸的平面方程是 ax + cz + d = 0; 平行于平行于z 軸的平面方程是軸的平面方程是 ax + by + d = 0.特別特別: d = 0時(shí)

4、時(shí), 平面過坐標(biāo)軸平面過坐標(biāo)軸.(3) 平行于坐標(biāo)面的平面方程平行于坐標(biāo)面的平面方程平行于平行于xoy 面面的平面方程是的平面方程是平行于平行于xoz 面的平面方程是面的平面方程是平行于平行于yoz 面的平面方程是面的平面方程是cz + d = 0;by + d = 0;ax + d = 0. 一一.2 空間直線的方程空間直線的方程xyzo1 2 空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa11112222040a xb yc zda xb yc zd （ ）(4)稱為空間直線的一般方程稱為空間直線的一般方程l1.2.1 空間

5、直線的一般方程空間直線的一般方程1.2.2 1.2.2 直線的對稱式方程直線的對稱式方程已知直線已知直線l過過m0(x0, y0, z0)點(diǎn)點(diǎn)方向向量方向向量 s =m, n, p所以得比例式所以得比例式000 xxyyzzmnp(5)稱為空間直線的稱為空間直線的對稱式方程或點(diǎn)向式方程對稱式方程或點(diǎn)向式方程.,lm smm0/,pnms ,0000zzyyxxmm ),(zyxmxyzosl0m m 1.2.3 1.2.3 空間直線的參數(shù)式方程空間直線的參數(shù)式方程得得:(6)稱為空間直線的稱為空間直線的參數(shù)方程參數(shù)方程.(6)tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線

6、的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)定理定理 如果兩個(gè)平面如果兩個(gè)平面 2：a2x+b2y+c2z+d2=0 1：a1x+b1y+c1z+d1=0交于一條直線交于一條直線l，則以直線，則以直線l為軸的有軸為軸的有軸平面束的平面束的方程為方程為m(a1x+b1y+c1z+d1)+n(a2x+b2y+c2z+d2)=0其中其中m,n是不全為零的任意實(shí)數(shù)。（證略）是不全為零的任意實(shí)數(shù)。（證略） 一一.3 平面束平面束解解: 所求直線所求直線l看以看做看以看做過過 l1且垂直于且垂直于的平面的平面1與平面與平面的交線的交線.例例1* 求直線求直線 在平面在平面 內(nèi)的投影直線內(nèi)的投影直線l的方程的方程. 則則

7、由例由例1可得可得l1l112210,:220,xyzlxyz 10 xyz投影直線投影直線l的方程為的方程為:3340,10.xzxyz 例例2、求與平面、求與平面3x+y-z+4=0平行且在平行且在oz軸上截距為軸上截距為-2的平面的方程。的平面的方程。解解：設(shè)所求平面的方程為設(shè)所求平面的方程為3x+y-z+=0因?yàn)槠矫嬖谝驗(yàn)槠矫嬖趏z軸上的截距為軸上的截距為-2，故平面過點(diǎn)，故平面過點(diǎn)(0,0,-2).由此得由此得2+=0, 即即 =- -2 故所求平面的方程為故所求平面的方程為3x+y-z-2=0例例3 3 求過直線求過直線l和點(diǎn)和點(diǎn)m0(1,2,3)的平面的平面方程方程. 032:0

8、12:21zyxzyx解解 設(shè)設(shè)的方程為：的方程為：)(220 不是不是m , 30133 , 2 , 10）（代入上式，得代入上式，得將將 m0)32(12 zxzyx (*). 01277(*)3 zyx：式得式得代入代入將將 例例4 4 試證兩直線試證兩直線在同一平面上的充要條件是在同一平面上的充要條件是1111122220,:0a xb yc zdla xb yc zd 與與3333244440,:0a xb yc zdla xb yc zd 11112222333344440.abcdabcdabcdabcd 證證因?yàn)橥ㄟ^因?yàn)橥ㄟ^ 的任意平面的方程為的任意平面的方程為1l 11111

9、222220,a xb yc zda xb yc zd其中其中12, 是不全為零的任意實(shí)數(shù)；是不全為零的任意實(shí)數(shù)；而通過而通過 的任意平面為的任意平面為2l 33333444440,a xb yc zda xb yc zd其中其中34, 是不全為零的任意實(shí)數(shù)。是不全為零的任意實(shí)數(shù)。 因此兩直線在同一平面上的因此兩直線在同一平面上的充要條件充要條件是存在是存在不全為零的實(shí)數(shù)不全為零的實(shí)數(shù)1234, 與與使使(1)與與(2)的左端僅相差的左端僅相差一個(gè)不為零的數(shù)因子一個(gè)不為零的數(shù)因子m，即，即化簡整理得化簡整理得 11111222223333344444,a xb yc zda xb yc zdm

10、a xb yc zda xb yc zd112233441122334411223344112233440,0,0,0;aamamabbmbmbccmcmcddmdmd所以所以112233441122334411223344112233440,0,0,0;aamamabbmbmbccmcmcddmdmd因?yàn)橐驗(yàn)?234, 不全為零，不全為零，所以得所以得12341234123412340,aamamabbmbmbccmcmcddmdmd 而而0,m 因此兩直線共面的因此兩直線共面的充要條件充要條件為為12341234123412340,aaaabbbbccccdddd 即即1111222233

11、3344440.abcdabcdabcdabcd 例例5 設(shè)設(shè)三平面的方程：三平面的方程：123:2310,:5230,:30.xyzxyzxyz 其中其中, 為參數(shù)，試求為參數(shù)，試求（1）三平面交于一點(diǎn)的充要條件；）三平面交于一點(diǎn)的充要條件；（2）三平面通過同一直線的充要條件；）三平面通過同一直線的充要條件；（3）三平面無公共點(diǎn)的充要條件。）三平面無公共點(diǎn)的充要條件。解解（1）三平面交于一點(diǎn)，就是由三平面的方程構(gòu)成的）三平面交于一點(diǎn)，就是由三平面的方程構(gòu)成的方程組有惟一解的問題，方程組有惟一解的問題， 從代數(shù)學(xué)中知道，其充要條件從代數(shù)學(xué)中知道，其充要條件為其系數(shù)行列式不為零。為其系數(shù)行列式不

12、為零。即即231152031 0. （2）三平面通過同一直線，）三平面通過同一直線， 由由(1)知必有知必有0, 且平面且平面3 屬于以屬于以12與與的交線的交線l為軸的平面束，為軸的平面束，因此有因此有 3231523 ,xylxyzm xyz 由此得由此得23,351,20,3,lmlmlmlm 解得解得2,1,1.lm 因此三平面通過同一直線的充要條件為因此三平面通過同一直線的充要條件為0,1.（3）由）由(1)與與(2)知，三平面無公共點(diǎn)的充要條件為知，三平面無公共點(diǎn)的充要條件為0,1.觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程: 定義定義4.1.14.1.1 平行于定直線并沿定曲線移動平行

13、于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為的直線所形成的曲面稱為柱面柱面. .這條定曲線這條定曲線c叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線l叫叫柱面的柱面的母線母線.1.41.4 柱面柱面母線母線準(zhǔn)準(zhǔn)線線母線母線準(zhǔn)線準(zhǔn)線一般一般注意：注意：設(shè)柱面的準(zhǔn)線為設(shè)柱面的準(zhǔn)線為12( , )0(7)( , )0fx y zfx y z 母線的方向數(shù)為母線的方向數(shù)為x,y,z。如果。如果m1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則過點(diǎn)上一點(diǎn)，則過點(diǎn)m1的母線方程為的母線方程為111(8)xxyyzzxyz 且有且有f1(x1,y1,z1)=0,f2(x1,y1,z1)=0 (10)從（從（9）（）（

14、10）中消去）中消去x1,y1,z1得得f(x,y,z)=0這就是以這就是以（7 7）為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為x，y，z的的柱面柱面的方程。的方程。111(9)xxyyzzxyz 例例1.4.1解法一解法一母線的方向數(shù)即為軸的方向數(shù)母線的方向數(shù)即為軸的方向數(shù)1，2，2.問題也就解決了問題也就解決了.因?yàn)閳A柱面的母線平行于其軸，因?yàn)閳A柱面的母線平行于其軸，所以所以如果能如果能求出求出圓柱面的圓柱面的準(zhǔn)線圓準(zhǔn)線圓，那么再運(yùn)用前面的解法，那么再運(yùn)用前面的解法，因?yàn)榭臻g的圓因?yàn)榭臻g的圓,總可以看成是某一總可以看成是某一球面球面與某一與某一平面平面的交線的交線. 已知圓柱面的軸為已知

15、圓柱面的軸為 ，11122xyz 在此圓柱面上，求這個(gè)圓柱面的方程在此圓柱面上，求這個(gè)圓柱面的方程. 1, 2,1 點(diǎn)點(diǎn)(0,1, - 1)（1,-2,1）這里的圓柱面的這里的圓柱面的準(zhǔn)線圓準(zhǔn)線圓，可以看成可以看成是是(0,1,-1)為中心，為中心，以軸上的點(diǎn)以軸上的點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)(0,1,-1)到已知點(diǎn)到已知點(diǎn)(1,-2,1)14)1()1(222zyx與與過已知點(diǎn)過已知點(diǎn)且垂直于軸且垂直于軸(1,2,1)1，2，2 0322zyx的交線的交線.的距離的距離為半徑的為半徑的球面球面14d 的的平面平面軸上的定點(diǎn)為軸上的定點(diǎn)為 而圓柱面上的為而圓柱面上的為 ，所以所以因此因此 到軸的距離為到軸的距離為

16、例例1.4.1 已知已知圓柱面圓柱面的軸為的軸為11,122xyz點(diǎn)點(diǎn)(1,-2,1)(1,-2,1)在此在此圓柱面上，求這個(gè)柱面的方程。圓柱面上，求這個(gè)柱面的方程。解法解法2：軸的方向向量為：軸的方向向量為v=（1,-2,-2),1,-2,-2), 11, 2,1m 11, 2,1m 011, 3,2m m 00,1, 1m0113.m mvdv m0(0,1,-1)m1(1,-2,1) , ,m x y zddv即準(zhǔn)線圓的方程為即準(zhǔn)線圓的方程為（11）222(1)(1)142230 xyzxyz 再設(shè)再設(shè) 為準(zhǔn)線圓（為準(zhǔn)線圓（11）上的任意一點(diǎn)，那么有）上的任意一點(diǎn)，那么有111(,)xy

17、 z14) 1() 1(212121zyx0322111zyx221111zzyyxx且過且過 的的母線母線為為111(,)xy z由上四式消去參數(shù)由上四式消去參數(shù) 即得所求的圓柱面的方程為即得所求的圓柱面的方程為 111,xy z2228554481818990.xyzxyxzyzyz, ,m x y z再設(shè)再設(shè) 為此為此圓柱面上的任意點(diǎn)，那么有圓柱面上的任意點(diǎn)，那么有013m mvv 22222111122211213122yzzxxy 即即化簡整理得化簡整理得所求所求圓柱面的方程為圓柱面的方程為2228554481818990 xyzxyxzyzyz柱面舉例柱面舉例xozyxozy22y

18、x 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面定理定理1.4.1 在空間直角坐標(biāo)系中在空間直角坐標(biāo)系中,只含只含兩個(gè)元兩個(gè)元(坐標(biāo)坐標(biāo))的的三元方程所表示的曲面是一個(gè)三元方程所表示的曲面是一個(gè)柱面柱面,它的母線平行于所它的母線平行于所缺元缺元(坐標(biāo)坐標(biāo))的同名坐標(biāo)軸的同名坐標(biāo)軸.1.5 錐面錐面1.5.1 1.5.1 定義定義通過一定點(diǎn)且與定曲線相交的一族直線通過一定點(diǎn)且與定曲線相交的一族直線 所產(chǎn)所產(chǎn)生的曲面叫做生的曲面叫做錐面錐面. .這些直線都叫做錐面的這些直線都叫做錐面的母線母線. .那個(gè)定點(diǎn)叫做錐面的那個(gè)定點(diǎn)叫做錐面的頂點(diǎn)頂點(diǎn). .錐面的方程是一個(gè)三元方程錐面的方程是一個(gè)三元方程. .定曲線稱為

19、錐面的定曲線稱為錐面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線f(x,y,z)= 0 準(zhǔn)線準(zhǔn)線頂點(diǎn)頂點(diǎn) 錐面是直紋面錐面是直紋面x0z y 錐面的準(zhǔn)線錐面的準(zhǔn)線不惟一不惟一，和一切，和一切母線都相交的每母線都相交的每一條曲線都可以一條曲線都可以作為它的準(zhǔn)線作為它的準(zhǔn)線.12( , , )0(12)( , , )0f x y zf x y z 1.5.2 1.5.2 錐面的方程錐面的方程設(shè)錐面的準(zhǔn)線為設(shè)錐面的準(zhǔn)線為頂點(diǎn)為頂點(diǎn)為a(x0,y0,z0)，如果，如果m1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，為準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，則錐面過點(diǎn)則錐面過點(diǎn)m1的母線為：的母線為：000101010(13)xxyyzzxxyyzz12( , , )0

20、(12)( , , )0f x y zf x y z 設(shè)錐面的準(zhǔn)線為設(shè)錐面的準(zhǔn)線為頂點(diǎn)為頂點(diǎn)為a(x0,y0,z0)，如果，如果m1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，為準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，則錐面過點(diǎn)則錐面過點(diǎn)m1的母線為：的母線為：000101010(13)xxyyzzxxyyzz且有且有f1(x1,y1,z1)=0f2(x1,y1,z1)=0 （14）從（從（13）（）（14）中消去參數(shù)）中消去參數(shù)x1,y1,z1得三元方程得三元方程f(x,y,z)=0這就是以（這就是以（12）為準(zhǔn)線，以）為準(zhǔn)線，以a為頂點(diǎn)的錐面方程。為頂點(diǎn)的錐面方程。定理定理1.5.2 一個(gè)關(guān)于一個(gè)關(guān)于x,y,z的的齊次方程

21、齊次方程總表示頂點(diǎn)在坐標(biāo)總表示頂點(diǎn)在坐標(biāo) 原點(diǎn)的原點(diǎn)的錐面錐面。1.6.1 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義定義: 以一條平面曲線以一條平面曲線c繞其平面上的一條直線旋繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面, 這條這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸.曲線曲線c稱為放置曲面的稱為放置曲面的母線母線.oc緯線緯線經(jīng)線經(jīng)線1.6 1.6 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1.6.2 旋轉(zhuǎn)曲面的方程旋轉(zhuǎn)曲面的方程在空間坐標(biāo)系中，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：在空間坐標(biāo)系中，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：)1 (0),(0),(:21zyxfzyxfc旋轉(zhuǎn)軸為直線：旋轉(zhuǎn)軸為直線：)2(:000zzzyy

22、yxxxl其中其中p0(x0,y0,z0)為軸為軸l上一定點(diǎn)，上一定點(diǎn)，x，y，z為旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸l的方向數(shù)。的方向數(shù)。設(shè)設(shè)m1(x1,y1,z1)為母線為母線c上的任意點(diǎn)，則上的任意點(diǎn)，則m1的緯圓總的緯圓總可以看成是過可以看成是過m1且垂直于旋轉(zhuǎn)軸且垂直于旋轉(zhuǎn)軸l的平面與以的平面與以p0為中為中心，心，|p0m1|為半徑的球面的交線。為半徑的球面的交線。所以過所以過m1的緯圓的方程為：的緯圓的方程為：111222222000101010()()()0(3)()()()()()()x xxy yyz zzxxyyzzxxyyzz 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)m1跑遍整個(gè)母線跑遍整個(gè)母線c時(shí)，就得到所有的緯圓，時(shí)

23、，就得到所有的緯圓，這些緯圓就生成旋轉(zhuǎn)曲面。這些緯圓就生成旋轉(zhuǎn)曲面。又由于又由于m1在母線上，所以又有：在母線上，所以又有：11112111(,)0:(4)(,)0fxyzcfxyz 從（從（3）（）（4）的四個(gè)等式中消去參數(shù)）的四個(gè)等式中消去參數(shù)x1,y1,z1,得到一得到一個(gè)三元方程：個(gè)三元方程：f(x,y,z)=0這就是以這就是以c為母線，為母線，l為旋轉(zhuǎn)軸的為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面的方程。的方程。規(guī)律：規(guī)律： 當(dāng)當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線坐標(biāo)平面上的曲線c繞此坐標(biāo)平面的一個(gè)繞此坐標(biāo)平面的一個(gè)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線曲線c在坐標(biāo)面里的

24、方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的在坐標(biāo)面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而以其它兩個(gè)坐標(biāo)平方和的平方根來代坐標(biāo)，而以其它兩個(gè)坐標(biāo)平方和的平方根來代替方程中的另一坐標(biāo)。替方程中的另一坐標(biāo)。1.6.3 特殊的旋轉(zhuǎn)曲面的方程特殊的旋轉(zhuǎn)曲面的方程同同理理：yoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf22(, )0fxyz 例例在空間直角坐標(biāo)系下在空間直角坐標(biāo)系下,由方程由方程 所表示的曲面叫做所表示的曲面叫做橢球面橢球面,或稱或稱橢圓面橢圓面,通常假定通常假定abc0.該方程叫做該方程叫做橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程橢球面的標(biāo)準(zhǔn)

25、方程. 2222221 ( , ,)xyza bcabc 為為 正正 數(shù)數(shù)oxyz1.7 橢球面橢球面2009年年2010年年（2011年）年）2012年年 非數(shù)學(xué)類非數(shù)學(xué)類 一一(2)(2)（6 6分）求通過直線分）求通過直線的兩個(gè)相互垂直的平面的兩個(gè)相互垂直的平面2320,:55430 xyzlxyz 12和和，使其中一個(gè)平面過點(diǎn)使其中一個(gè)平面過點(diǎn) 43,1 ，；解解設(shè)通過直線設(shè)通過直線l l的平面方程為的平面方程為 232+5543 =0 xyzxyz ，又因其中一個(gè)平面過點(diǎn)又因其中一個(gè)平面過點(diǎn) 43,1 ，所以所以 8332+201543 =0 ，即即4+4 =0 ，得得=1. 平面平

26、面 的方程為的方程為1 232+5543 =0 xyzxyz ，=1. 1 即即3410.xyz平面平面 的法向量為的法向量為2 225 ,15 , 34n 又因兩平面相互垂直，又因兩平面相互垂直，平面平面 的法向量為的法向量為1 13,4, 1 ,n 故故120.nn即即 325415340, 得得1=.3 平面平面 的方程為的方程為2 2530.xyz所以，所以，2012年年 數(shù)學(xué)類數(shù)學(xué)類 一（一（1515分）設(shè)分）設(shè) 為橢圓拋物面為橢圓拋物面22341.zxy求切錐面的方程求切錐面的方程解法一解法一于是有于是有并且這個(gè)關(guān)于并且這個(gè)關(guān)于 t t 的方程只有一個(gè)根的方程只有一個(gè)根 2224 340,zxy 從原點(diǎn)作從原點(diǎn)作 的切錐面，的切錐面， 設(shè)設(shè) 為切錐面上的點(diǎn)（非原點(diǎn)為切錐面上的點(diǎn)（非原點(diǎn)) )， , ,x y z存在存在唯一唯一 t t 使得使得 落在橢圓拋物面上落在橢圓拋物面上 , ,t x y z 22341,tztxty所以，判別式