最新新課標高考數學考點專練22橢圓

1、 考點22 橢圓 1.（20xx·福建高考文科·1）若點o和點f分別為橢圓的中心和左焦點，點p為橢圓上的任意一點，則的最大值為（ ）(a)2 （b）3 （c）6 （d）8【命題立意】本題考查橢圓的基本概念、平面向量的內積、利用二次函數求最值.【思路點撥】先求出橢圓的左焦點，設出點p坐標，依題意寫出的表達式，進而轉化為求解條件最值的問題，利用二次函數的方法求解. 【規(guī)范解答】選c.設，則，又因為，又， ，所以 .2.（20xx·廣東高考文科·7）若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率是（ ）（a） （b） （c） （d）【命題立

2、意】本題考查橢圓的基本性質以及等差數列的定義.【思路點撥】由橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，列出，的關系，再轉化為，間的關系，從而求出.【規(guī)范解答】選. 橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列, ， ，即： ，又 ， ，即 ， （舍去）或 ， ，故選.3（20xx·陜西高考理科·20）如圖，橢圓c：.()求橢圓c的方程. ()設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于p點、與橢圓相交于a,b兩點的直線，是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【命題立意】本題考查了橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查

3、了學生綜合運用知識解決問題的能力.其中問題（）是一個開放性問題，考查了觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力. 【思路點撥】已知的方程組橢圓c的方程假設存在直線l使命題成立結論【規(guī)范解答】（）由知a2+b2=7, 由 又， 由 解得故橢圓c的方程為（）設a,b兩點的坐標分別為（x1,y1），(x1,y1 )，假設存在直線l使成立，（）當l與x軸不垂直時，設l的方程為y=kx+m,由l與n垂直相交于p點且得因為，由根與系數的關系得： 將代入上式并化簡得（）當l與x軸垂直時，滿足的直線l的方程為，4.（20xx·海南高考理科·t20）設分別是橢圓e:（a>b>

4、;0）的左、右焦點，過斜率為1的直線與e 相交于兩點，且,成等差數列.（)求e的離心率.（）設點p（0,-1）滿足,求e的方程.【命題立意】本題綜合考查了橢圓的定義、等差數列的概念以及直線與橢圓的關系等.解決本題時，一定要靈活運用根與系數的關系以及弦長公式等知識.【思路點撥】利用等差數列的定義，得出,滿足的一個關系，然后再利用橢圓的定義進行計算.【規(guī)范解答】（)由橢圓的定義知，又，得 ，的方程為，其中.設，則兩點坐標滿足方程組 化簡得，則 ，.因為直線ab斜率為1，所以，得，故,所以e的離心率.（）設兩點的中點為，由（)知，.由，可知,即，得，從而.橢圓e的方程為.【方法技巧】熟練利用圓錐曲線

5、的定義及常用的性質，從題目中提取有價值的信息，然后列出方程組進行相關的計算.5. （20xx·陜西高考文科·20）如圖，橢圓c：.()求橢圓c的方程. ()設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于p點、與橢圓相交于a,b兩點的直線，是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【命題立意】本題考查了橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力.其中問題（）是一個開放性問題，考查了觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力. 【思路點撥】已知的方程組橢圓c的方程假設存在直線l使命題成立結論【規(guī)

6、范解答】（）同理科.（）設a,b兩點的坐標分別為（x1,y1），(x2,y2)，假設存在直線l使成立，（）當l與x軸不垂直時，設l的方程為y=kx+m,由l與n垂直相交于p點且得由得由根與系數的關系得： 將代入上式并化簡得（）當l與x軸垂直時，滿足的直線l的方程為，6.（20xx·江蘇高考·8）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為a，b，右焦點為f.設過點t（）的直線ta，tb與此橢圓分別交于點m，其中m>0,.（1）設動點p滿足,求點p的軌跡.（2）設，求點t的坐標.（3）設,求證：直線mn必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）.【命題立意】本題主要考查求

7、曲線的方程，考查直線與橢圓的方程及其相關的基礎知識.考查運算求解能力和探究問題的能力.【思路點撥】（1）設出p點的坐標，然后代入，化簡即可.(2) 點t為直線mt和nt的交點.（3）聯立直線mat、直線nbt和橢圓方程，求出m和n的坐標，從而求出直線mn的方程,進而求證結論.【規(guī)范解答】（1）設點p（x，y），則：f（2，0），b（3，0），a（-3，0）.由，得 化簡得，故所求點p的軌跡為直線.（2）將分別代入橢圓方程，以及得：m（2，），n（，），直線mta方程為：，即，直線ntb 方程為：，即.聯立方程組，解得：所以點t的坐標為.（3）點t的坐標為直線mta方程為：，即，直線ntb 方程

8、為：，即.兩直線分別與橢圓聯立方程組，同時考慮到，解得：，.方法一：當時，直線mn方程為： 令，解得：.此時直線必過點d（1，0）；當時，直線mn方程為：，與x軸交點為d（1，0）.所以直線mn必過x軸上的一定點d（1，0）.方法二：若，則由及，得，此時直線mn的方程為，過點d（1，0）.若，則，直線md的斜率，直線nd的斜率，得，所以直線mn過d點.因此，直線mn必過軸上的點（1，0）.【方法技巧】由于定點、定值是變化中的不變量，引進參數表述這些量，不變的量就是與參數無關的量，通過研究何時變化的量與參數無關，找到定點或定值的方法叫做參數法，其解題的關鍵是用合適的參數表示變化的量. 當要解決動

9、直線過定點問題時，可以根據確定直線的條件建立直線系方程，通過該直線過定點所滿足的條件確定所要求的定點坐標.7.of2f1axy（20xx·安徽高考理科·19）已知橢圓經過點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，離心率. (1)求橢圓的方程.(2)求的角平分線所在直線的方程.(3)在橢圓上是否存在關于直線對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由.【命題立意】本題主要考查橢圓的定義及標準方程，橢圓的簡單性質，點關于直線的對稱性等知識，考查考生在解析幾何的基本思想方法方面的認知水平，探究意識，創(chuàng)新意識和綜合運算求解能力【思路點撥】（1）設出橢圓的標準方程，再根據題設條件構建方程

10、（組）求解.（2）根據角平分線的性質求出直線的斜率或直線上的一個點的坐標，進而求得直線的方程.（3）先假設橢圓上存在關于直線對稱的相異兩點，在此基礎之上進行推理運算，根據推理結果做出判斷.【規(guī)范解答】（1）設橢圓的方程為（），由題意，又，解得：，橢圓的方程為.（2）方法一：由（1）得，又，易得為直角三角形，其中.設的角平分線所在直線與x軸交于點，根據角平分線定理可知：，可得，直線的方程為：，即.方法二：由（1）得，又，直線的方程為：，即.（3）假設橢圓上存在關于直線對稱的相異兩點，令，且的中點為.，又兩式相減得: ，,即，又在直線上，由解得：，所以點與點是同一點，這與假設矛盾，故橢圓上不存在關

11、于直線對稱的相異兩點.【方法技巧】1.求圓錐曲線的方程，通常是利用待定系數法先設出曲線的標準方程，再根據題設條件構建方程（組）求解.2.利用向量表示出已知條件，可以將復雜的題設簡單化，便于理解和計算.3.對于存在性問題，其常規(guī)解法是先假設命題存在，再根據題設條件進行推理運算，若能推得符合題意的結論，則存在性成立，否則，存在性不成立.8.（20xx·山東高考文科·22）如圖，已知橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為，.點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為，和，為坐標原點.（1）求橢圓的標準方程. （2）設直線，的斜率分別為，.證明：； 問直線上是否存在點，

12、使得直線，的斜率，滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由.【命題立意】本題主要考查橢圓的基本概念和性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查數形結合思想，分類討論思想以及探求解決新問題的能力.【思路點撥】(1)根據離心率和已知點構造含有的方程組，可求出橢圓的方程.（2）方法一：將點p的坐標用表示出來，再將點p的坐標代入直線進行化簡；方法二：設出點p的坐標，再將用點p的坐標表示，并利用點p在直線上進行化簡；利用根與系數的關系將用表示出來，將用表示出來，再由可得關于的方程，再聯立結論（1）可求出，最終可求出點p的坐標.【規(guī)范解答】（1）因為橢圓過點（），所以.又，所以，故 所求橢圓

13、方程為 . (2) 方法一：由于，的斜率分別為，且點p不在軸上，所以.又直線，的方程分別為，聯立方程組得由于在直線上，所以，因此即結論成立.方法二：設，則，因為點p不在軸上，所以，又，所以結論成立.:設 聯立直線與橢圓的方程得化簡得,因此 由于oa,ob的斜率存在,所以因此k12相似地可以得到,若，則有.當時，結合的結論可得，所以解得點p的坐標為（0,2）；當時，結合的結論可得（此時，不滿足，舍去），此時直線cd的方程為，聯立方程得，因此點p的坐標為.綜上所述，滿足條件的點p的坐標分別為（0,2），.【方法技巧】解析幾何中的存在判斷型問題1.基本特征：要判斷在某些確定條件下的某一數學對象(數值

14、、圖形)是否存在或某一結論和參數無關. 2.基本策略：通常假定題中的數學對象存在(或結論成立)，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定結論.其中反證法在解題中起著重要的作用.或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角式來證明該式是恒成立的.9.（20xx·天津高考理科·20）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.求橢圓的方程.設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為（），點在線段的垂直平分線上，且，求的值.【命題立意】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線的方程，平面向量等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的

15、性質及數形結合的思想，考查運算和推理能力.【思路點撥】（1）建立關于a,b的方程組求出a,b.（2）構造新的一元二次方程求解.【規(guī)范解答】（1）由，得，再由，得，由題意可知， .解方程組，得 a=2,b=1，所以橢圓的方程為.(2)由（1）可知a（-2,0）.設b點的坐標為（x1,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是a,b兩點的坐標滿足方程組由方程組消去整理，得,由得.設線段ab的中點為m，則m的坐標為.以下分兩種情況：（1）當k=0時，點b的坐標為（2,0）.線段ab的垂直平分線為y軸，于是（2）當k時，線段ab的垂直平分線方程為令x=0，解得由.整理得，.綜上.

16、10.（20xx·天津高考文科·21）已知橢圓（a>b>0）的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.（）求橢圓的方程.（）設直線l與橢圓相交于不同的兩點a，b，已知點a的坐標為（-a，0）. （i）若，求直線l的傾斜角； （ii）若點q在線段ab的垂直平分線上，且.求的值.【命題立意】本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、兩點間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質及數形結合的思想，考查綜合分析與運算能力.【思路點撥】（1）建立關于a,b的方程組求出a,b；（2）構造新方程綜合運用兩點間的距離公式

17、、平面向量等知識求解.【規(guī)范解答】（）由e，得.再由，得a2b.由題意可知，即ab2.解方程組得a=2，b=1. 所以橢圓的方程為.()(i)由（）可知點a的坐標是（-2,0）.設點b的坐標為，直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+2）.于是a，b兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得.由，得，從而.所以.由，得.整理得，即，解得k.所以直線l的傾斜角為或.（ii）設線段ab的中點為m，由（i）得到m的坐標為.以下分兩種情況：（1）當k=0時，點b的坐標是（2,0），線段ab的垂直平分線為y軸，于是由，得.（2）當時，線段ab的垂直平分線方程為.令，解得.由，整理得，故，所以.綜上y0=

18、或.11.（20xx·北京高考文科·9）已知橢圓c的左、右焦點坐標分別是，離心率是，直線與橢圓c交于不同的兩點m，n，以線段mn為直徑作圓p,圓心為p.（）求橢圓c的方程.（）若圓p與x軸相切，求圓心p的坐標.（）設q（x,y）是圓p上的動點，當變化時，求y的最大值.【命題立意】本題考查了求橢圓方程，直線與圓的位置關系，函數的最值.要求學生掌握橢圓標準方程中的關系，離心率.直線與圓相切問題轉化為圓心到直線的距離等于半徑來求解.第（）問中最大值的求法用到了三角代換，體現了數學中的轉化與化歸思想.【思路點撥】由焦點可求出，再利用離心率可求出.直線與圓的位置關系轉化為圓心到直線的

19、距離.用換元法求y的最大值.【規(guī)范解答】（）因為，且，所以，所以橢圓c的方程為.（）由題意知p由得，所以圓p的半徑為.由，解得.所以點p的坐標是（0，）.（）由（）知，圓p的方程為.因為點在圓p上，所以由圖可知.設，則，當，即時，取最大值2.【方法技巧】（1）直線與圓的位置關系：時相離；時相切；時相交.（2）求無理函數的最值時三角代換是一種常用的去根號的技巧.12.（20xx·遼寧高考文科·20） 設f1，f2分別為橢圓c:=1(a>b>0)的左右焦點，過f2的直線l與橢圓c相交于a,b兩點，直線l的傾斜角為60°,f1到直線l的距離為2.()求橢圓c

20、的焦距.()如果，求橢圓c的方程.【命題立意】本題考查了直線的點斜式方程，直角三角形中的邊角關系，考查了橢圓的離心率，橢圓的標準方程，平面向量的坐標以及推理運算能力.【思路點撥】（1）利用直角三角形中的邊角關系直接求解.（2）聯立直線方程和橢圓方程，消去x,解出兩個交點的縱坐標，利用這兩個縱坐標間的關系，求出a ,進而求出橢圓方程.【規(guī)范解答】【方法技巧】1.第（i）問利用直角三角形中的邊角關系比用點到直線的距離要簡單，做題時要根據題目特點，靈活選擇解題策略.2.直線方程與圓錐曲線方程聯立成方程組是一種常用的方法.13.（20xx·遼寧高考理科·20）設橢圓c：的右焦點為f

21、，過點f的直線l與橢圓c相交于a，b兩點，直線l的傾斜角為60o,.求橢圓c的離心率.如果|ab|=，求橢圓c的方程.【命題立意】本題考查了直線的點斜式方程，考查了橢圓的離心率，橢圓的標準方程，考查了圓錐曲線中的弦長問題，以及推理運算能力.【思路點撥】（i）聯立直線方程和橢圓方程，消去x,解出兩個交點的縱坐標，利用這兩個縱坐標間的關系，得出a，b，c間的關系，求出離心率. （ii）利用弦長公式表示出|ab|，再結合離心率和，求出a，b，寫出橢圓方程.【規(guī)范解答】【方法技巧】1.直線、圓錐曲線的綜合問題，往往是聯立成方程組消去一個x(或y),得到關于y(或x)的一元二次方程，使問題得以解決. 2

22、.弦長問題，注意使用弦長公式，并結合一元二次方程根與系數的關系來解決問題.14.（20xx·福建高考理科·17）已知中心在坐標原點o的橢圓c經過點a（2 , 3），且點f（2 ，0）為其右焦點.（i）求橢圓c的方程.（ii）是否存在平行于oa的直線，使得直線與橢圓c有公共點，且直線oa與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.【命題立意】本小題主要考查直線、橢圓等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想.【思路點撥】第一步先求出左焦點，進而求出a,c,然后求解橢圓的標準方程；第二步依題意假設直線的方程為，聯

23、立直線與橢圓的方程，利用判別式限制參數t的范圍，再由直線oa與直線的距離等于4列出方程，求解出t的值，注意判別式對參數t的限制.【規(guī)范解答】（i）依題意，可設橢圓的方程為，且可知左焦點為，從而有又，故橢圓的方程為.（ii）假設存在符合題意的直線，其方程為，由，得，因為直線與橢圓c有公共點，所以，解得.另一方面，由直線oa與直線的距離等于4可得，由于，所以符合題意的直線不存在.【方法技巧】在求解直線與圓錐曲線的位置關系中的相交弦問題時，我們一定要注意判別式的限制，因為橢圓與直線有交點，注意應用進行驗證可避免增根也可以用來限制參數的范圍.15.（20xx·湖南高考文科·19）為

24、了考查冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川山上相距8km的a，b兩點各建一個考查基地，視冰川面為平面形，以過a，b兩點的直線為x軸，線段ab的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖4）.考查范圍為到a，b兩點的距離之和不超過10km的區(qū)域.求考查區(qū)域邊界曲線的方程.如圖4所示，設線段 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考查區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍.問：經過多長時間，點a恰好在冰川邊界線上？【命題立意】把直線和圓錐曲線的關系問題放在生活實際中考查充分體現了知識的應用性，能很好地體現學生應用知識的能力，而且打破了解

25、析幾何的固定命題模式.【思路點撥】題目的闡述比較新穎，把求曲線的方程闡述成求區(qū)域的邊界，不受表面闡述所干擾，還是利用定義法求軌跡即可.第二問是數列問題，巧妙地把解析幾何和數列的求和結合起來.【規(guī)范解答】 () 設邊界曲線上點p的坐標為（x,y），則由|pa|+|pb|=10知，點p在以a,b為焦點，長軸為2a=10的橢圓上.此時短半軸長.所以考查區(qū)域邊界曲線的方程為. () 易知過點p1,p2的直線方程為，因此點a到直線p1p2的距離為.設經過n年，點a恰好落在冰川邊界線上，則利用等比數列求和公式可得.解得n=5，即經過5年，點a恰好在冰川邊界線上.【方法技巧】1、求曲線的軌跡方程時常用的方法

26、有：直譯法，定義法，待定系數法，相關點法和參數法等.注意各種方法的使用條件以及步驟.2、曲線上的點到直線的最短距離的求法：直線和圓常常轉化為圓心到直線的距離；直線和橢圓（雙曲線、拋物線）常常利用平移直線，使直線和橢圓（雙曲線、拋物線）相切.當然也還有別的方法.16. （20xx·湖南高考理科·4）為了考查冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的a,b兩點各建一個考查基地.視冰川面為平面形，以過a,b兩點的直線為x軸，線段ab的的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖6）.在直線x=2的右側，考查范圍為到點b的距離不超過km的區(qū)域；在直線x=2的左側，考查范圍為到a,b兩點的距離之和不超過km的區(qū)域.（）求考查區(qū)域邊