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1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 10-5 古典概型與幾何概型但因為測試 新人教b版1.(20xx·浙江文,8)從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球,則所取的3個球中至少有1個白球的概率是() a. b. c. d.答案d解析3個紅球記為a,b,c,2個白球記為1,2.則從袋中取3個球的所有方法是abc,ab1,ab2,ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12.共10個基本事件,則至少有一個白球的基本事件是ab1,ab2,ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12共9個來源:z|xx|k.com至少有一個白球的概率為.故選d.點評(1)a
2、“至少有一個白球”的對立事件是b“全是紅球”,故所求概率為p(a)1p(b)1.(2)解決這類問題的基本方法就是給小球編號,用列舉法寫出基本事件空間(或用計數(shù)原理計算基本事件空間中基本事件的個數(shù)),然后數(shù)(或求)出所求事件中含的基本事件的個數(shù),再求概率,請再練習(xí)下題:(20xx·德州模擬)一個袋子中有5個大小相同的球,其中有3個黑球與2個紅球,如果從中任取兩個球,則恰好取到兩個同色球的概率是()a. b. c. d.答案c解析從5個球中任取兩個,有c10種不同取法,其中兩球同色的取法有c14種,p.2(文)(20xx·福建文,7)如圖,矩形abcd中,點e為邊cd的中點,若
3、在矩形abcd內(nèi)部隨機取一個點q,則點q取自abe內(nèi)部的概率等于()a. b.c. d.答案c解析本題屬于幾何概型求概率問題,設(shè)矩形長為a,寬為b,則點q取自abe內(nèi)部的概率為p.(理)(20xx·膠州三中)已知函數(shù)f(x)x2bxc,其中0b4,0c4,記函數(shù)f(x)滿足條件的事件為a,則事件a發(fā)生的概率為()a. b. c. d. 答案c解析由得,畫出0b4,0c4表示的平面區(qū)域和事件a所表示的平面區(qū)域,由幾何概型易知,所求概率p.3(文)有5條長度分別為1、3、5、7、9的線段,從中任意取出3條,則所取3條線段可構(gòu)成三角形的概率是()a. b. c. d.答案b解析構(gòu)不成三角形
4、的為(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(3,5,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),能構(gòu)成三角形的有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9),所求概率為.(理)在圓周上有10個等分點,以這些點為頂點,每3個點可以構(gòu)成一個三角形,如果隨機選擇3個點,剛好構(gòu)成直角三角形的概率是()a. b. c. d.答案c解析從10個點中任取三個有c種方法,能構(gòu)成直角三角形時,必須有兩點連線為直徑,這樣的直徑有5條,能構(gòu)成直角三角形5×840個,概率p.4(文)(20xx·北京學(xué)普教育中心聯(lián)考版)在棱長為2的正方體abcda1b1c1d1中,點o為底面a
5、bcd的中心,在正方體abcda1b1c1d1內(nèi)隨機取一點p,則點p到點o的距離大于1的概率為()a. b1 c. d1 答案b解析以點o為圓心,半徑為1的半球的體積為v×r3,正方體的體積為238,由幾何概型知:點p到點o的距離大于1的概率為p(a)11,故選b.(理)已知正三棱錐sabc的底面邊長為4,高為3,在正三棱錐內(nèi)任取一點p,使得vpabc<vsabc的概率是()a. b. c. d.答案a解析當(dāng)p在三棱錐的中截面及下底面構(gòu)成的正三棱臺內(nèi)時符合要求,由幾何概型知,p1,故選a.5(20xx·濰坊二檢)若在區(qū)間,上隨機取一個數(shù)x,則cosx的值介于0到之間的
6、概率為()a. b. c. d.答案a解析當(dāng)x時,由0cosx,得x或x,根據(jù)幾何概型的概率計算公式得所求概率p.6(20xx·山東臨沂)連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n,記向量a(m,n)與向量b(1,1)的夾角為,則(0,的概率為()a. b. c. d.答案d解析,cos0,mn,滿足條件mn的概率為,m>n的概率與m<n的概率相等,m>n的概率為×,滿足mn的概率為p.7(20xx·浙江寧波八校聯(lián)考)已知kz,(k,1),(2,4),若|4,則abc是直角三角形的概率是_答案解析|4,k,kz,k3,2,1,0,1,2,3,當(dāng)abc為直
7、角三角形時,應(yīng)有abac,或abbc,或acbc,由·0得2k40,k2,(2k,3),由·0得k(2k)30,k1或3,由·0得2(2k)120,k8(舍去),故使abc為直角三角形的k值為2,1或3,所求概率p.8(文)(20xx·如皋模擬)連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6),記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件a,則p(a)最大時,m_.答案7解析連續(xù)拋擲一枚骰子2次,共有36個基本事件,兩次向上的點數(shù)之和及次數(shù)如表:和23456789101112次數(shù)12345654321顯然當(dāng)兩次向上的點數(shù)之和為7時概率p(a)最
8、大(理)(20xx·江蘇金陵中學(xué))先后兩次拋擲同一枚骰子,將得到的點數(shù)分別記為a,b.將a,b,5分別作為三條線段的長,則這三條線段能構(gòu)成等腰三角形的概率是_答案分析本題有兩點要點:一是構(gòu)成三角形,須滿足較小的兩個數(shù)的和大于第三個數(shù);二是構(gòu)成等腰三角形,須有兩個數(shù)相等解析基本事件的總數(shù)為6×636.三角形的一邊長為5,當(dāng)a1時,b5符合題意,有1種情況;當(dāng)a2時,b5符合題意,有1種情況;當(dāng)a3時,b3或5符合題意,即有2種情況;當(dāng)a4時,b4或5符合題意,有2種情況;當(dāng)a5時,b1,2,3,4,5,6符合題意,即有6種情況;當(dāng)a6時,b5或6符合題意,即有2種情況故滿足條
9、件的不同情況共有14種,所求概率為p.9(文)從集合(x,y)|x2y24,xr,yr內(nèi)任選一個元素(x,y),則x、y滿足xy2的概率為_答案解析即圖中弓形面積占圓面積的比例,屬面積型幾何概型,概率為.(理)(20xx·黑龍江五校聯(lián)考)在體積為v的三棱錐sabc的棱ab上任取一點p,則三棱錐sapc的體積大于的概率是_ _答案解析由題意可知>,三棱錐sabc的高與三棱錐sapc的高相同作pmac于m,bnac于n,則pm、bn分別為apc與abc的高,所以>,又,所以>,故所求的概率為(即為長度之比)10已知函數(shù)f(x)x2axb.(1)若a,b都是從0,1,2,
10、3,4五個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述函數(shù)有零點的概率;(2)若a,b都是從區(qū)間0,4上任取的一個數(shù),求f(1)>0成立的概率解析(1)a,b都是從0,1,2,3,4五個數(shù)中任取的一個數(shù),則基本事件總數(shù)為n5×525個函數(shù)有零點的條件為a24b0,即a24b.因為事件“a24b”包含(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),所以事件“a24b”的概率為p,即函數(shù)f(x)有零點的概率為.(2)a,b都是從區(qū)間0,4上任取的一個數(shù),f(1)1ab>0,即ab>1,此為幾何概
11、型如圖可知,事件“f(1)>0”的概率為p.11.(文)(20xx·金華十校聯(lián)考)在一個袋子中裝有分別標(biāo)注1,2,3,4,5的5個小球,這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同,現(xiàn)從中隨機取出2個小球,則取出小球標(biāo)注的數(shù)字之差的絕對值為2或4的概率是()a. b. c. d.答案c解析從5個小球中隨機取出兩個小球,基本事件共10個:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)其中數(shù)字之差的絕對值為2的有:(1,3),(2,4),(3,5),數(shù)字之差的絕對值為4的有:(1,5),故所求概率p.(理)(20xx
12、3;威海模擬)某同學(xué)同時擲兩顆骰子,得到點數(shù)分別為a、b,則橢圓1的離心率e>的概率是()a. b. c. d.答案d解析當(dāng)a>b時,e><a>2b,符合a>2b的情況有:當(dāng)b1時,有a3,4,5,6四種情況;當(dāng)b2時,有a5,6兩種情況,總共有6種情況,則概率是.同理當(dāng)a<b時,e>的概率也為,綜上可知e>的概率為.12(文)m2,1,0,1,2,3,n3,2,1,0,1,2,且方程1有意義,則方程1可表示不同的雙曲線的概率為()a. b1 c. d.答案d解析由題設(shè)知或,1°時有不同取法3×39種2°時有不
13、同取法2×24種,所求概率p.(理)從1、0、1、2這四個數(shù)中選出三個不同的數(shù)作為二次函數(shù)f(x)ax2bxc的系數(shù)組成不同的二次函數(shù),其中使二次函數(shù)有變號零點的概率為()a. b. c. d.答案a解析首先取a,a0,a的取法有3種,再取b,b的取法有3種,最后取c,c的取法有2種,共組成不同的二次函數(shù)3×3×218個f(x)若有變號零點,不論a>0還是a<0,均應(yīng)有>0,即b24ac>0,b2>4ac.首先b取0時,a、c須異號,a1,則c有2種,a取1或2,則c只能取1,共有4種b1時,若c0,則a有2種,若c1,a只能取2.若
14、c2,則a1,共有4種若b1,則c只能取0,有2種若b2,取a有2種,取c有2種,共有2×24種綜上所述,滿足b2>4ac的取法有442414種,所求概率p.13(文)在區(qū)間1,5和2,4分別各取一個數(shù),記為m和n,則方程1表示焦點在x軸上的橢圓的概率是_答案解析方程1表示焦點在x軸上的橢圓,m>n.由題意知,在矩形abcd內(nèi)任取一點p(m,n),求p點落在陰影部分的概率,易知直線mn恰好將矩形平分,p.(理)設(shè)集合ax|x23x10<0,xz,從集合a中任取兩個元素a,b且a·b0,則方程1表示焦點在x軸上的雙曲線的概率為_答案解析ax|2<x&l
15、t;5,xz1,0,1,2,3,4,由條件知,(a,b)的所有可能取法有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3),共20種,方程1表示焦點在x軸上的雙曲線,應(yīng)有a>0,b<0,滿足條件的有:(1,1),(2,1),(3,1),(4,1)共4種,所求概率p.14(20xx·淄博模擬)對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,隨機抽取m名學(xué)生作為樣本,得到這m名學(xué)生參加社區(qū)服
16、務(wù)的次數(shù)根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:分組頻數(shù)頻率10,15)10 0.2515,20)24n20,25)mp25,30)20.05合計m1(1)求出表中m,p及圖中a的值;(2)若該校高三學(xué)生有240人,試估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間10,15)內(nèi)的人數(shù);(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次學(xué)生中任選2人,求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間25,30)內(nèi)的概率解析(1)由分組10,15)內(nèi)的頻數(shù)是10,頻率是0.25知,0.25,所以m40.因為頻數(shù)之和為40,所以1024m240,m4.p0.10.因為a是對應(yīng)分組15,20)的頻率與組距
17、的商,所以a0.12.(2)因為該校高三學(xué)生有240人,分組10,15)內(nèi)的頻率是0.25,所以估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60人(3)參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生共有m2426人,設(shè)在區(qū)間20,25)內(nèi)的人為a1,a2,a3,a4,在區(qū)間25,30)內(nèi)的人為b1,b2則任選2人有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)共15種情況,而兩人都在25,30)內(nèi)只能是(b
18、1,b2)一種,所以所求概率為p1.15(文)(20xx·天津文,15)編號分別為a1,a2,a16的16名籃球運動員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下:運動員編號a1a2a3a4a5a6a7a8得分1535212825361834運動員編號a9來源:z_xx_k.coma10a11a12a13a14a15a16得分1726253322123138(1)將得分在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格:區(qū)間10,20)20,30)30,40人數(shù)(2)從得分在區(qū)間20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人用運動員編號列出所有可能的抽取結(jié)果求這2人得分之和大于50的概率解析(1)4,6,6.(2)得分在區(qū)間
19、20,30)內(nèi)的運動員編號為a3,a4,a5,a10,a11,a13,從中隨機抽取2人,所有可能的抽取結(jié)果有:a3,a4,a3,a5,a3,a10,a3,a11,a3,a13,a4,a5,a4,a10,a4,a11,a4,a13,a5,a10,a5,a11,a5,a13,a10,a11,a10,a13,a11,a13,共15種“從得分在區(qū)間20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人,這2人得分之和大于50”(記為事件b)的所有可能結(jié)果有:a4,a5,a4,a10,a4,a11,a5,a10,a10,a11,共5種所以p(b).(理)(20xx·江西文,16)某飲料公司對一名員工進(jìn)行測試以便
20、確定考評級別,公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共5杯,其顏色完全相同,并且其中3杯為a飲料,另外2杯為b飲料,公司要求此員工一一品嘗后,從5杯飲料中選出3杯a飲料若該員工3杯都選對,測評為優(yōu)秀;若3杯選對2杯測評為良好;否測評為合格假設(shè)此人對a和b飲料沒有鑒別能力(1)求此人被評為優(yōu)秀的概率;(2)求此人被評為良好及以上的概率解析將5杯飲料編號為:1,2,3,4,5,編號1,2,3表示a飲料,編號4,5表示b飲料,則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為:(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234)(235),(245),(345),共有10種令d表示此人被評為優(yōu)秀
21、的事件,e表示此人被評為良好的事件,f表示此人被評為良好及以上的事件,則(1)p(d),(2)p(e),p(f)p(d)p(e).1(20xx·淮安模擬)在一次招聘口試中,每位考生都要在5道備選試題中隨機抽出3道題回答,答對其中2道題即為及格,若一位考生只會答5道題中的3道題,則這位考生能夠及格的概率為_答案解析5道題中該生會答的3道題記作1,2,3,其余2道題記作m、n,則從中抽取3道題,共有抽法10種:(1,2,3),(1,2,m),(1,2,n),(1,3,m),(1,3,n),(1,m,n),(2,3,m),(2,3,n),(2,m,n),(3,m,n),其中能使該生及格的有
22、7種,p.2(20xx·泉州、廣州模擬)圖(2)中實線部分是長方體(圖(1)的平面展開圖,其中四邊形abcd是邊長為1的正方形若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點,它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是,則此長方體的體積是_答案3解析設(shè)長方體的高為h,則圖(2)中虛線圍成的矩形長為22h,寬為12h,面積為(22h)(12h),展開圖的面積為24h;由幾何概型的概率公式知,得h3,所以長方體的體積是v1×33.3(20xx·湘潭模擬)已知集合a4,2,0,1,3,5,b(x,y)|xa,ya,在集合b中隨機取點m.求:(1)點m正好在第二象限的概率;(2)點m不在x軸上的概率;(3
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