唐山第二中學(xué)教案首頁

1、唐山市第二中學(xué)教案（首頁）教師劉海玲學(xué)科數(shù)學(xué)班級(jí)講課時(shí)間課題求空間成角問題課時(shí)安排1課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握空間兩條直線(特別是異面直線)。2空間直線和平面(特別是斜線和平面)。3空間兩平面所成的角的概念及求法。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：空間各種成角概念及求法；難點(diǎn)：二面角的平面角的作法教法手段多媒體與傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合板書設(shè)計(jì)例1解法1解法2解法3例2.。解法1解法2解法3圖表練習(xí)：思考題：小結(jié)：作業(yè)：課后總結(jié)本節(jié)主要收獲與心得一題多解解決空間角問題作者:劉海玲工作單位:河北省唐山市第二中學(xué) 郵政編碼：063000郵政地址：河北省唐山市第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)組本節(jié)課題：空間成角問題本節(jié)教學(xué)目標(biāo)：掌握空間兩條直線(特別是

2、異面直線)、空間直線和平面(特別是斜線和平面)、空間兩平面所成的角的概念及求法：本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)：空間各種成角概念及求法；本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)：二面角的平面角的作法；本節(jié)教學(xué)過程：例1已知正四面體A-BCD，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)。(1)求異面直線AE和CF所成的角；(2)直線CF與面BCD所成的角；(3)求二面角A-BC-D的大小；解：(1)解法1：如下圖，把正四面體A-BCD補(bǔ)成正方體MCNB-ATDS設(shè)其棱長為1。連結(jié)MN，F(xiàn)N，則有平行四邊形AENF，F(xiàn)N/AE， CFN為異面直線AE和CF所成的角，在CFN中，CN=1，CF=FN=， cosCFN=, CFN=arccos.解法2：如上

3、圖，連結(jié)ED，在AED內(nèi)作FO/AE交ED于O，連OC，則CFO為異面直線AE與CF所成的角，令A(yù)D=1，則FC=， F為AD中點(diǎn)， FO=又ED=AE=CF=，又O為ED中點(diǎn)， OE=， 在RtOEC中，OE=，EC=， OC=， 在CFO中，且OC=，F(xiàn)C=，OF=有cosCFO=, CFO=arccos.解法3：如左圖，取AC中點(diǎn)O，在ABC內(nèi)作OM/AE交BC于M， 在ACD內(nèi)作ON/CF交AD于N，連MN，則MON或其補(bǔ)角為AE和CF所成的角，令A(yù)D=1，則NF=EM=，AD與BC公垂線段EF長為，又ON=OM=AE=，ADBC， 由異面直線AD、BC上任兩點(diǎn)間距離有MN2=NF2+

4、EM2+EF2=， MON中，cosMON=, MON為鈍角， 其補(bǔ)角為所求，且cos, =arccos.(2) 解法1： 如圖，作AS平面BCD于S，AB=AC=AD， SC=SB=SD， 又BC=CD=BD， S為BCD中心，連ED，則S在ED上。在AED內(nèi)作FO/AS交ED于O，則FO平面BCD，連結(jié)OC，則FCO為直線CF與平面CD所成的角。令A(yù)E=1，則CF=ED=1， SD=ED=， F為AD中點(diǎn)， O為SD中點(diǎn)，又AS2=AD2-SD2=， AS=， FO=AS=， RtFOC中，sinFCO=, FCO=arcsin.解法2：連結(jié)ED，正四面體， AEBC， EDBC， BC平

5、面AED， 平面AED平面BCD于ED， 在AED內(nèi)作FOED于O，則FO平面BCD,連結(jié)OC，則FCO為直線CF與平面BCD所成的角。 在AED內(nèi)作AS/FO交ED于S，則AS平面BCD， 其它過程同解法1。(3)解法1： 連結(jié)ED，正四面體各棱長相等，E為BC中點(diǎn)，AEBC，EDBC， AED為二面角A-BC-D的平面角，令A(yù)D=1，則AE=ED=，在AED中，cosAED=,AED=arccos.解法2：如右圖，作AO平面BCD于O， 正四面體，E為BC中點(diǎn)， AEBC， 連EO，則EOBC， AEO為二面角A-BC-D的平面角， AB=AC=AD， O為BCD的中心，連ED，則O在ED

6、上且EO=， 又ED=AE， RtADE中， cosAEO=, AEO=arccos.解法3：如左圖，作AO平面BCD于O， 正四面體A-BCD， AB=AC=AD=BC=CD=BD， OB=OC=OD， O為正三角形BCD中心。 連ED， O在ED上，連OB，OC AO平面BCD，BOC為ABC在平面BCD上的射影圖形。 令二面角A-BC-D的平面角大小為，SBOC，SABC分別表示三角形BOC，ABC的面積，則SBOC=SABC·cos。又O在ED上，且ED=AE， OE=ED=AE，又SABC=·AE·BC， SBOC=·BC·EO， &

7、#183;BC·EO=·AE·BC·cos cos=, =arccos.例2如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，ABC=90°，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=。 （I）求四棱錐S-ABCD的體積； （II）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值。解：（I）直角梯形ABCD的面積是M底面=(BC+AD)·AB=， 四棱錐S-ABCD的體積是V=×SA×M底面=×1×=。（II）解法一：延長BA、CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，則SE是所求二面角的棱。 AD/BC， BC=2AD

8、， EA=AB=SA， SESB， SA面ABCD， 面SEB面EBC， EB是交線，又BCEB， BC面SEB， 故SB是CS在面SEB上的射影， CSSE，所以 BSC是所求二面角的平面角。 SB=， BC=1， BCSB， tanBSC=。即所求二面角的正切值為。解法二：同解法1得棱SE， SA面ABCD， SACB， CBAB， CB面SEB。 作BFSE于F，連結(jié)CF。 CFSE， BFC是所求二面角的平面角,tanBFC=.解法三：同解法1得棱SE， DA/BC， BCAB， DAAB。 SA面ABCD， SADA。 DA面SEB。 作AFSE于F，連結(jié)DF。 DFSE， AFD是

9、所求二面角的平面角,tanAFD=。解法四： SA面ABCD， CBAB， CB面SAB， DA/CB， DA面SAB。SAB是SDC在面SAB內(nèi)的射影三角形。 SSAB=×1×1=，SD=， 作DGBC于G，DG=AB=1，CG= BG= DC=，連AC，AC=， SC=。 SSDC=。設(shè)所求二面角的大小為。 cos=. sec=. tan=.小結(jié)：1.異面直線成角的范圍：(0,，異面直線成角重點(diǎn)是通過平移轉(zhuǎn)化為平面角，最后成為解三角形問題；做異面直線成角的常用方法有：(1)直接平移；(2)中位線平移；(3)補(bǔ)體平移；異面直線成角問題的解題步驟：一作(圖)二證(明)三指(

10、角)四解(三角形)2.直線和平面所成角范圍：0,，斜線和平面所成角重點(diǎn)是通過在斜線上找一個(gè)不同于斜足的點(diǎn)做面的垂線，將其轉(zhuǎn)化為平面角，最后成為解直角三角形問題；做斜線和平面成角的重點(diǎn)：定斜線上的點(diǎn)在平面上的垂足，其常用方法有：(1)利用面面垂直定垂足位置；(2)利用四面體頂點(diǎn)在底面上射影的特殊位置定垂足位置：如1四面體的側(cè)棱相等 頂點(diǎn)在底面上射影是底面三角形的外心；2四面體的側(cè)棱和底面成角相等頂點(diǎn)在底面上射影是底面三角形的外心3四面體的頂點(diǎn)在底面上射影在底面三角形內(nèi)部，且頂點(diǎn)到底面三角形三邊距離相等頂點(diǎn)在底面上射影是底面三角形的內(nèi)心；4四面體的頂點(diǎn)在底面上射影在底面三角形內(nèi)部，且側(cè)面和底面成角相等頂點(diǎn)在底面上射影是底面三角形的內(nèi)心；5四面體的側(cè)棱兩兩垂直頂點(diǎn)在底面上射影是底面三角形的垂心；6I四面體的任意對(duì)棱垂直頂點(diǎn)在底面上射影是底面三角形的垂心；注意：斜線和平面成角是平面內(nèi)任意直線和斜線所成角中最小的，且有三余弦關(guān)系 COSCOS1·COS2斜線和平面所成角的解題步驟：一作(圖)二證(明)三指(角)四解(三角形)3.二面角成角范圍：(0, 二面角的三要素：兩個(gè)半平面一條棱；注意無棱二面角要先補(bǔ)棱；二面角成