一類求三角形面積的極值問題的解題思路與方法

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載一類求三角形面積的極值問題的解題思路與方法問題： 過點(diǎn) P 2,3 的直線與 x 軸、 y 軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A, B ，求ABO 的面積最小值，以及此時(shí)所對(duì)應(yīng)的直線方程。解答這類問題的思路是：建立函數(shù)關(guān)系，利用有關(guān)函數(shù)的基本理論以及不等式的知識(shí)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值。在研究函數(shù)的最值時(shí)， 要注意函數(shù)的定義域?qū)瘮?shù)值的限制； 在運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件是否具備。構(gòu)造一元二次方程，利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，判別式為非負(fù)數(shù)，求最值。解答這類問題的常用解題方法如下：一、利用三角函數(shù)的有界性求解解法1： 設(shè)過點(diǎn) P 2,3的直線方程為：xy1 ，則231 ，于

2、是可設(shè)23ababa， b。sin 2cos2記ABO 的面積為 S ，則 S1 ab =sin 23122cos2sin 22因?yàn)?0<sin 221 ,所以： S 12 ，當(dāng) sin 21時(shí)，45 ，面積的最小值是： S 12 ，此時(shí)， a24， b36sin 2 45cos2 45所求的直線方程為：xy146評(píng)注 ：若正實(shí)數(shù) m, n 滿足 m n1 ，我們可以設(shè)msin 2， ncos2，把二元轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元問題，可借助三角函數(shù)的有界性求解。二、利用均值不等式求解解法 2：設(shè)過點(diǎn) P 2,3的直線方程為：y3 k x2 ，直線與 x 軸、 y 軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A 232k

3、 . 由圖知 k 0,0 ,B0,3k記ABO 的面積為 S ，則 S1 2332k2k優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載即 S1 12 4k92k因?yàn)?k0 ，所以，4k 0 ，90 。k利用均值不等式得：( 4k ) ( 9 ) 24k912 。kk所以 S1124k911212122k2當(dāng)且僅當(dāng)4k9，即 k3時(shí)ABO 的面積有最小值，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的直線方程為：k23y 3x23x2 y122評(píng)注： 在利用均值不等式解題時(shí)，需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行恒等變形。變形原則是能使產(chǎn)生的幾個(gè)正數(shù)的積（或和）為定值。解法 3：設(shè)過點(diǎn) P 2,3 的直線方程為：xy1，則 231 ，于是 a2bababb 3因?yàn)橹本€與 x

4、 軸、 y 軸的正半軸相交，則 a0,b0。記ABO 的面積為 S ，則 S1 ab =12bbb2b39622b3b3b3因?yàn)椋?a2b0.所以 b3 .b>0, b3于是： b392 b396 。b 3b 3所以： S = b9612 。3b 3的直線方程為： xy解法 4：設(shè)過點(diǎn) P 2,31，則 231 ，于是 ab3a 2babab因?yàn)橹本€與 x 軸、 y 軸的正半軸相交，所以a0,b0 。利用均值不等式得：ab3a2b 26ab ，abab260 ，而ab0，所以 ab24 。記 ABO 的面積為 S ，則 S1 ab122當(dāng)且僅當(dāng)3a2b且ab24 時(shí)， a4,b6 。面積

5、有最小值S12 。優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載所求的直線方程為：xy416評(píng)注： 此題利用均值不等式，產(chǎn)生一個(gè)新的不等式，解這個(gè)不等式求出ab 的最小值，從而獲解。三、判別式法：設(shè)過點(diǎn) P2,3 的直線方程為： y3k x2 ，解法 5直線與 x 軸、 y 軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A23,0 ,B0,32k . 由圖知 k0k記 ABO 的面積為 S ，則S1332k22k化簡得： 4k 22s12 k90（ 1）將上式視為關(guān)于k 的一元二次方程，因?yàn)閗R ，所以，0 。即 2s 12 24490S12或 S0(舍去）。面積的最小值是：S12，代入（1）得： k323此時(shí)所對(duì)應(yīng)的直線方程為：y3x232y122x評(píng)注：上述方法就是構(gòu)造一元二次方程，利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，判別式為非負(fù)數(shù)，求解。解法 6：設(shè)過點(diǎn) P 2,3的直線方程為：xy1，則 231 ，于是 a2bababb 3因?yàn)橹本€與 x 軸、 y 軸的正半軸相交，則a0,b0。記 ABO 的面積為 S ，則 S1 ab =12bbb222b3b 3化簡得： b2Sb3S0（ 2）將上式視為關(guān)于b的一元二次方程，因?yàn)閎R ，所以，0 。即()2430S12。因?yàn)?/p>