清華大學(xué)彈性力學(xué)馮西橋FXQChapter本構(gòu)關(guān)系PPT課件

1、目 錄Chapter 5 引言 彈性的定義 廣義胡克定律 應(yīng)變能和應(yīng)變余能 應(yīng)變能的正定性第1頁(yè)/共79頁(yè)Difference between solids and fluids. Mechanics of Solids, The New Encyclopedia of Britannica, 15th edition, Vol. 23, pp. 734-747, 2002.“A material is called solid rather than fluid if it can also support a substantial shearing force over the time

2、 scale of some natural process or technological application of interest.” J. R. Rice3Chapter 2.1彈性的定義第2頁(yè)/共79頁(yè)引 言Chapter 5,0ji jif 應(yīng)力張量 應(yīng)力平衡方程： 位移矢量 u 應(yīng)變張量 e 幾何方程： （應(yīng)變協(xié)調(diào)方程： ）, 0mjknilij kleee,()/2iji ji juue第3頁(yè)/共79頁(yè)本構(gòu)關(guān)系 材料的變形與所受應(yīng)力之間的關(guān)系； 是材料本身所固有的性質(zhì)； 本構(gòu)關(guān)系的研究是固體力學(xué)最重要的課題之一。引 言Chapter 5( , , ,.)ijijiifu

3、T x t H D第4頁(yè)/共79頁(yè)目 錄Chapter 5 引言 彈性的定義 廣義胡克定律 應(yīng)變能和應(yīng)變余能 應(yīng)變能的正定性第5頁(yè)/共79頁(yè)Chapter 5.1 由實(shí)驗(yàn)可知當(dāng)加載到A點(diǎn)后卸載，加載與卸載路徑并不完全重合，亦即應(yīng)力與應(yīng)變之間不是單值對(duì)應(yīng)的關(guān)系。OBACO稱為滯后回線。其所包含的面積稱為滯后面積。 彈性的定義第6頁(yè)/共79頁(yè)Chapter 5.1 對(duì)大多數(shù)材料來(lái)講，當(dāng)應(yīng)力加載幅值較小時(shí)，滯后回線非常窄小，可以認(rèn)為加載與卸載是重合的。因此應(yīng)力與應(yīng)變間可看作是單值對(duì)應(yīng)關(guān)系。彈性的定義第7頁(yè)/共79頁(yè)彈性本構(gòu)關(guān)系： T F,a其中 Fxa4Chapter 2.1 F 彈性的定義第8頁(yè)/

4、共79頁(yè)彈性本構(gòu)關(guān)系：l 應(yīng)力與應(yīng)變率無(wú)關(guān)，也不依賴于變形歷史；l 沒(méi)有遲滯效應(yīng)。 小變形彈性本構(gòu)關(guān)系 均勻材料的小變形彈性本構(gòu)關(guān)系 均勻材料的小變形線彈性本構(gòu)關(guān)系 ,T Ta a e e T C: :6Chapter 2.1彈性的定義第9頁(yè)/共79頁(yè)Chapter 5.1 各向同性彈性體 假設(shè)物體是均勻、連續(xù)、各向同性的，應(yīng)力和應(yīng)變間的關(guān)系只決定于物體的物理性質(zhì)，應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系與坐標(biāo)的位置和方向無(wú)關(guān)。 下面所研究的物體僅限于完全彈性體，即當(dāng)物體除去外力后變形完全消失而恢復(fù)原狀，而且應(yīng)力與應(yīng)變間成單值的線性關(guān)系。彈性的定義第10頁(yè)/共79頁(yè)兩個(gè)假設(shè)彈性體的響應(yīng)僅依賴于當(dāng)前的狀態(tài)；彈性體變

5、形可以用一個(gè)狀態(tài)張量關(guān)系表示。7Chapter 2.1 超彈性（Green）彈性的定義第11頁(yè)/共79頁(yè)線彈性: ijijWeklijijklCWee21廣義胡克定律:klijklijijCWee8Chapter 2.1 超彈性（Green）彈性的定義第12頁(yè)/共79頁(yè), 14Chapter 2.2 晶體彈性的定義第13頁(yè)/共79頁(yè), 15Chapter 2.2silicon 晶體彈性的定義第14頁(yè)/共79頁(yè), 16Chapter 2.2 晶體三斜單斜正交三角四方六方立方彈性的定義第15頁(yè)/共79頁(yè)17Chapter 2.2 長(zhǎng)鏈高分子彈性的定義第16頁(yè)/共79頁(yè)本構(gòu)關(guān)系Chapter 5 彈

6、性的定義 廣義胡克定律 應(yīng)變能和應(yīng)變余能 應(yīng)變能的正定性第17頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1 單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的胡克定律是 式中 E 稱為彈性模量。對(duì)于一種材料在一定溫度下，E 是常數(shù)。 xxEe 楊氏模量第18頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1 在單向拉伸時(shí)，在垂直于力作用線的方向發(fā)生收縮。在彈性極限內(nèi)，橫向相對(duì)縮短 和縱向相對(duì)伸長(zhǎng) 成正比，因縮短與伸長(zhǎng)的符號(hào)相反，有：yxee yexe 其中 是彈性常數(shù)，稱為泊松比。 泊松比第19頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1 先考慮在各正應(yīng)力作用下沿 x 軸的相對(duì)伸長(zhǎng)，它由三部分組成，即 xxxxeeee 線彈性

7、疊加原理第20頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1xxxxeeee其中 是由于x的作用所產(chǎn)生的相對(duì)伸長(zhǎng) xexxEe 是由于y的作用所產(chǎn)生的相對(duì)縮短 xeyxEe 是由于z的作用所產(chǎn)生的相對(duì)縮短 xezxEe 第21頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1 將上述三個(gè)應(yīng)變相加，即得在x、y、z同時(shí)作用下在x軸方向的應(yīng)變1yxzxxyzEEEEe 同理可得到在y軸和z軸方向的應(yīng)變11yyxzzzxyEEee第22頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1 根據(jù)實(shí)驗(yàn)可知，xy只引起 xy 坐標(biāo)面內(nèi)的剪應(yīng)變xy，而不引起 xz、yz，于是可得xyxyG同理 yzyzzxzxGG第

8、23頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1于是，得到各向同性材料的應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系：1 1 1 xyxxyzxyyzyyxzyzzxzzxyzxEGEGEGeee第24頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1楊氏模量，泊松比和剪切模量之間的關(guān)系為 EG =+ 2(1) 將彈性本構(gòu)關(guān)系寫成指標(biāo)形式為 1ijijkkijEEe 第25頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.11 1 1xxyzyyxzzzxyEEEeee1212xyzxyzxyzxyzEEeee 第26頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1如用應(yīng)變第一不變量代替三個(gè)正應(yīng)變之和，用應(yīng)力第一不變量 表示三個(gè)正應(yīng)

9、力之和，則123EK 1 2xyzxyzEeee其中 稱為體積模量。 3(12 )EK第27頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1112 ; ijijkkijEEEe 112112ijijijijijEEGee11 2E令2ijijkkijGee 則第28頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1彈性關(guān)系的常規(guī)形式為 2 ; 2 ; 2 ; xxxyxyyyyzyzxzzxzxGGGGGGeee 其中 G 和 稱為拉梅常數(shù)。第29頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1 將應(yīng)力和應(yīng)變張量分解成球量和偏量，得 0223ijijijijGG e233 1 2EKG 由于偏量和球量

10、相互獨(dú)立 ，所以有0; 2ijijKGe第30頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1 第一式說(shuō)明彈性體的體積變化是由平均應(yīng)力0引起的，相應(yīng)的彈性常數(shù)K稱為體積模量。(體積變化) 0; 2ijijKGe 第二式說(shuō)明彈性體的形狀畸變 是由應(yīng)力偏量 引起的，相應(yīng)的彈性常數(shù)是剪切模量G的二倍。(形狀變化) ijeij第31頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律常用的三套彈性常數(shù)E、單拉測(cè)定單拉測(cè)定Lam常數(shù)：常數(shù)：G、K、G靜水壓、純剪靜水壓、純剪（扭轉(zhuǎn)）測(cè)定（扭轉(zhuǎn)）測(cè)定Chapter 5.1第32頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1 對(duì)于給定的工程材料，可以用單向拉伸試驗(yàn)測(cè)定E和 ；用薄壁筒扭轉(zhuǎn)

11、試驗(yàn)來(lái)測(cè)定G；用靜水壓試驗(yàn)來(lái)測(cè)定K。實(shí)驗(yàn)表明，在這三種加載情況下物體的變形總是和加載方向一致的(即外力總在物體變形上做正功)，所以0; 0; 0EGK第33頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1故要上式成立必要求： 1EG =2( +)233 1 2EKG0; 0; 0EGK10; 12010.5 即第34頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.110.5 若設(shè)0.5，則體積模量K，稱為不可壓縮材料，相應(yīng)的剪切模量為 3EG 對(duì)實(shí)際工程材料的測(cè)定值，一般都在 的范圍內(nèi)。 00.5第35頁(yè)/共79頁(yè)本構(gòu)關(guān)系Chapter 5.2 引言 彈性的定義 廣義胡克定律 應(yīng)變能和應(yīng)變余能 應(yīng)變

12、能的正定性第36頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律各向同性本構(gòu)關(guān)系Chapter 5.22 1112ijijkkijijkkijGEEee ee p 對(duì)于各向同性材料，正應(yīng)力在對(duì)應(yīng)方向上只引起正應(yīng)變，剪應(yīng)力在對(duì)應(yīng)方向上只引起剪應(yīng)變，它們是互不耦合的。第37頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律各向異性本構(gòu)關(guān)系Chapter 5.2p 對(duì)于各向異性材料的一般情況，任何一個(gè)應(yīng)力分量都可能引起任何一個(gè)應(yīng)變分量的變化。p 廣義胡克定律的一般形式是： ijijklklCeC 是四階剛度（彈性）張量。ijijklklDe D 是四階柔度張量。第38頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律確定線彈性材料常數(shù)的歷史過(guò)程Chapter 5.1第39頁(yè)

13、/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1 由于應(yīng)力應(yīng)變都是二階張量，且上式對(duì)任意的ekl均成立，所以根據(jù)商判則Cijkl是一個(gè)四階張量，稱彈性張量，共有81個(gè)分量。 彈性張量的Voigt對(duì)稱性ijkljiklijlkklijCCCC第40頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1jiijijkl kljikl klklCCeeejiklijklCClkkleeijkl klijlk lkijlk klklCCCeeeejiklijklCCijklklijCC下節(jié)中將證明第41頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1ijkljiklijlkCCC獨(dú)立的彈性常數(shù)由81個(gè)降為36個(gè) 1

14、112131415162122232425263132333435364142434445465152535455xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyyzzxyzxyzxyyzccccccccccccccccccccccccccccceeeeeeeeeeeeeee56616263646566zxzxxyzxyyzzxccccccceee第42頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1 其中 即c 的下角標(biāo)1、2、3、4、5、6分別對(duì)應(yīng)于C 的雙指標(biāo)11、22、33、12、23、31。應(yīng)該指出，改寫后的cmn (m, n16) 并不是張量。 由于存在Vo

15、igt對(duì)稱性，所以對(duì)于最一般的各向異性材料，獨(dú)立的彈性常數(shù)共有21個(gè)。1111121122141112562331,cCcCcCcC第43頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1 (1) 一般各向異性線彈性 ： 無(wú)彈性對(duì)稱面 21 312312332211665655464544363534332625242322161514131211312312332211eeeccccccccccccccccccccc稱稱對(duì)對(duì) 例： 三斜晶體abc 第44頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律111112131415161122222324252622333334353633124445461223555623

16、316631ccccccccccccccccccccceee對(duì)稱Chapter 5.1 (2) 具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性線彈性體 ： 13 bae2ce1e3e3例：?jiǎn)涡本w(正長(zhǎng)石和云母等) e1,e2平面為彈性對(duì)稱面1111121314112222232422333334331244122355562331663100000000ccccccccccccceee對(duì)稱第45頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律1111121314112222232422333334331244122355562331663100000000ccccccccccccceee對(duì)稱Chapter 5.1(3) 正交各向異性

17、線彈性體 ： 9 111112131122222322333333124412235523316631000000000000ccccccccceee對(duì)稱例：正交晶體(各種增強(qiáng)纖維復(fù)合材料、木材等)互相正交的e1-e2 ， e2-e3, e1-e3平面為彈性對(duì)稱面ce1e3e2e1ab第46頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.1(4) 橫觀各向同性線彈性體 ： 531231233221155551211443313111312113123123322110002)(000000000eeeccccccccccc稱稱對(duì)對(duì)例：六方晶體aaac第47頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5

18、.13123123322111211121112111112111212113123123322112)(02)(002)(000000000eeecccccccccccc稱稱對(duì)對(duì)(5) 各向同性線彈性體 ： 2金屬（隨機(jī)排列晶體）、短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料第48頁(yè)/共79頁(yè), 16Chapter 2.2 晶體三斜（21）單斜（13）正交（9）三角（9）四方（7）六方（5）立方（3）彈性的定義第49頁(yè)/共79頁(yè)廣義胡克定律Chapter 5.12個(gè)金屬拉壓：2個(gè) 剪切：1個(gè)各向同性地殼、六方晶體拉壓：4個(gè) 剪切：2個(gè)5個(gè)橫觀各向同性正交晶體拉壓與剪切不耦合剪切為對(duì)角陣9個(gè)正交各向異性

19、單斜晶體13個(gè)有一個(gè)彈性對(duì)稱面三斜晶體66對(duì)稱21個(gè)一般情況例獨(dú)立的彈性常數(shù)ijc2/221144ccc2/221144ccc小結(jié)第50頁(yè)/共79頁(yè)本構(gòu)關(guān)系Chapter 5 引言 彈性的定義 廣義胡克定律 應(yīng)變能和應(yīng)變余能 應(yīng)變能的正定性第51頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter 5.2 應(yīng)變能 如果載荷施加得足夠慢，物體的動(dòng)能以及因彈性變形引起的熱效應(yīng)可以忽略不計(jì)，則外力所做的功將全部轉(zhuǎn)化為變形位能而儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)。 彈性變形是一個(gè)沒(méi)有能量耗散的可逆過(guò)程，卸載后物體恢復(fù)到未變形前的初始狀態(tài)，變形位能將全部釋放出來(lái)。 第52頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter 5.2yzxo

20、xxxyxzyxyyyzzxzyzz第53頁(yè)/共79頁(yè)xyzo1111 應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter 5.2 非線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第54頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter 5.2 正應(yīng)力 11 僅在正應(yīng)變 e11 上做功，其值為： 其他應(yīng)力分量 ij 也都只與之對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量 eij 上做功。把這些功疊加起來(lái)，并除以微元體積dV，得111111123111111100dddddddAxxxVeeee0dddijijijAVee第55頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能和應(yīng)變余能ijijijijijdWeeee0)()(Chapter 5.2 引進(jìn)應(yīng)變能密度函數(shù)W(eij)，使 ijijWe即000

21、ddddd()(0)ijijijijijijijijAWWVWWeeeeeee則 其中，W(0)和W(eij)分別為物體變形前和變形后的應(yīng)變能密度。一般取變形前的初始狀態(tài)為參考狀態(tài)，令W(0)0。 格林(Green,G.)公式第56頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter 5.2000dddd()(0)dijijijijijijijijAWWWWVeeeeeeep 應(yīng)變能密度等于單位體積的外力功。p 應(yīng)變能密度只與物體的初始狀態(tài)和最終變形狀態(tài)有關(guān)，而變形歷史無(wú)關(guān)，即是一個(gè)狀態(tài)函數(shù)。 p 應(yīng)變能是彈性材料本構(gòu)關(guān)系的另一種表達(dá)形式，當(dāng)W(eij)的具體形式給定后，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系也惟一確定。第57

22、頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter 5.2klijklijWWeeeeijijWe又ijklklijee廣義格林公式 第58頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter 5.2 線彈性情況 在無(wú)應(yīng)變自然狀態(tài)(eij=0)附近把應(yīng)變能函數(shù)W(eij)對(duì)應(yīng)變分量展開成冪級(jí)數(shù)：012ijijijklijklWCCCee e0000200; ijijijijijijijijklijklijklijWCWCWCeeeeeee ee 其中第59頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter 5.200=0ijijijijijWCeee000=0 ijCWWe200=Constantsijijkli

23、jklijklijWCeeeee第60頁(yè)/共79頁(yè) 它是應(yīng)變分量eij的二次齊次式，有： 由此證明彈性張量 C 對(duì)雙指標(biāo) ij 和 kl 具有對(duì)稱性。 應(yīng)變能和應(yīng)變余能12ijklijklWCe eChapter 5.2ijklijklklijijklCCee第61頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter 5.2 對(duì)于各向同性材料，有22222222121212222yzxyyzzxxxyyzzxyxyyzyzzxzxxyzxWGGG e e e eeeeee 對(duì)于非線性彈性材料，還應(yīng)考慮應(yīng)變能冪級(jí)數(shù)表達(dá)式中的高階項(xiàng)。第62頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter 5.2 應(yīng)變余能 仿

24、照應(yīng)變能的定義式，可以定義應(yīng)變余能Wc 它具有如下類似性質(zhì)： 0dijcijijWedd; ccijijijijijklklijWWeeee第63頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter 5.2對(duì)上式分部積分得： 0dijcijijijijijijWWe ee e0dijcijijWe第64頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter 5.20dijcijijijijijijWWe ee e 面積。全功中只有一部分(圖中的曲邊三角形OAP)轉(zhuǎn)化為彈性應(yīng)變能W，剩余部分(曲邊三角形OBP)就是余能Wc。上式給出了應(yīng)變能和應(yīng)變余能對(duì)全功的互余關(guān)系。 右端第一項(xiàng)ijeij稱為全功，它相應(yīng)于圖中矩

25、形OAPB的第65頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter 5.2對(duì)于線彈性材料，應(yīng)變余能為 12cijijWe 應(yīng)變余能的值和應(yīng)變能的值相等。 第66頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter 5.2 注 應(yīng)變余能并不儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)。例如：設(shè)在彈性懸臂梁的自由端突然加一塊砝碼。當(dāng)梁通過(guò)其靜態(tài)平衡位置時(shí)，砝碼所做的功為全功，其中只有一半轉(zhuǎn)化為儲(chǔ)存在梁內(nèi)的應(yīng)變能；另一半應(yīng)變余能則表現(xiàn)為動(dòng)能，它導(dǎo)致梁砝碼系統(tǒng)在其平衡狀態(tài)附近的自由振動(dòng)，并通過(guò)與空氣的摩擦逐漸轉(zhuǎn)化為熱能耗散于空氣之中。第67頁(yè)/共79頁(yè)本構(gòu)關(guān)系Chapter 5 廣義胡克定律 應(yīng)變能和應(yīng)變余能 應(yīng)變能的正定性第68頁(yè)/共79頁(yè)熱力學(xué)第一定律 其中dT和dE分別是動(dòng)能增量和內(nèi)能增量，dA是外力對(duì)系統(tǒng)所做的功， dQ是系統(tǒng)從外界吸收的熱量。熱力學(xué)第二定律 其中 為溫度，S為熵。 應(yīng)變能的正定性Chapter 5.3ddddTEAQddSQ第69頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能的正定性ddddTEAQddddQTEAChapter 5.3ddSQdddddSQTEA代入 這是自然界中一切熱力學(xué)過(guò)程都必須滿足的方程。其中等號(hào)僅適用于可逆過(guò)程。第70頁(yè)/共79頁(yè) 應(yīng)變能的正定性Chapter 5.3 對(duì)于dS0的等熵(絕熱)過(guò)程 對(duì)于等溫過(guò)程，定義自由能表達(dá)式 其中F,E,S分別表示物體的總自由能、總內(nèi)能和總熵。 由此解出E代入 第二