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文檔簡介

1、平面向量綜合檢測、解析及答案一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.A. 3C. 4解析:B. 2 3D. 12| a+ 2b| = (a+ 2b)2= 4+4 + 4= 2 3.答案:B1.平面向量a與b的夾角為60°a=(2,0) ,|b| = 1,則|a+ 2b| =()2.已知|a| = 1, |b| = 6, a (b a) = 2,則向量a與b的夾角是()A.B.C.D.解析:由 a (b a) = 2 得 a b= 2+1=3 = 6x cosva, b>, cosva, b>=1 又<a

2、, b> 0 , n ,va, b>=答案:C3. 一質點受到平面上的三個力 F1、F2、F3(單位:牛頓)的作用而處于平 衡狀態(tài).已知F1、F2成60°角,且F1、F2的大小分別為2和4,則F3的大 小為()A. 2 7B. 2 5C. 2D. 6解析:由題意得F1 + F2 + F3= 0.答案:A4. (2009 福建福州模擬)把一顆骰子投擲兩次,并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a,第二次出現(xiàn)的點數(shù)為 量n不共線的概率為()b,向量m= (a , b), n= (1,2),則向量m與向A.1125B.12第4頁共8頁7.12D.1112解析:m與n共線的情形共有三種:311故

3、m與n不共線的概率P= 1 =.3612m= (1,2) , m= (2,4) , m= (3,6),答案:D5.已知向量a = (26,入),i = (1,0)和 j = (0,1),若 a j = 3,且向量A.a與i的夾角為0,則cos 0的值為(C.12 D.答案:BT TT T6. 四邊形ABCD中AB BC = 0,且AB = DC,則四邊形ABCD()A. 平行四邊形 B .矩形C.菱形D .正方形解析:由AB = "DC可知ABCCfe平行四邊形,由AB BC = 0知/ AB& 90°故ABCD矩形.答案:B7. 設a與b是兩個不共線向量,且向量

4、a+入b與(b 2a)共線,則 入=()1A. 0B. 21C. 2D.2解析:由題意得a+ 入 b= k( b 2a)-2k=1,., J - = k12.答案:B8. 設向量 a, b 滿足:|a| = 3, |b| = 4, a b= 0,以 a, b, a b 的模為 邊長構成三角形,則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為()A. 3B. 4C. 5D. 6解析:三角形的內切圓半徑為1,將圓平移,最多有4個公共點.答案:B9. 設a, b, c是非零向量,下列命題中正確的是()A. (a b) c = a (b c)B. |a b|2= |a|2-2|a| b| + |b|2C. 若

5、|a| = | b| = |a + b|,則a與b的夾角為60°D. 若|a| = | b| = |a-b|,則a與b的夾角為60°解析:A、B顯然不正確.由平行四邊形法則可知,若|a|=|b|=|a + b| , 可知<a, b>= 120°,故C不正確.答案為 D.答案:D10. 設a、b、c是單位向量,且a b = 0,則(a c) (b c)的最小值為 ( )A. 2B. 2 2C. 1D. 1- 2解析:(a c)(b c) = a b b c+ c a - c = 1 (a+ b) c,又 a b =0, | a| =| b| = 1 ,二

6、| a + b| =- 2.設a+ b與c的夾角為B ,則上式=1 2cos 0當cos 0 = 1時(a c)(b c)取得最小值1 2.答案:D=0,則厶ABC的面積與11. 點O在厶ABC內部且滿足OA + 2OB + 2OC OBC勺面積之比為()5A4 B . 3C. 4 D . 5解析:由 OA + 2OB + 2OC = 0,-1( Ob + OC)二寸忌底邊 BC的咼之比為 51 ,二 SlABC SlxOBC= 51.答案:D12. 在直角ABC中,CD是斜邊AB上的高,則下列等式不成立的是(A. | AC | 2= AC ABB. | BC| 2= BA BCC. | AB

7、 | 2= AC CD2第5頁共8頁D. I CD|2= (ACLABLBA-bc)AC | 2故A成立,又BA BQ =| BC| 2,故B成立.A2,lABAB解析:v AB ACtl ,同理:(ACB) (BA衛(wèi)C)又 I ACI I BCI 日I CD|2AB | cD|AC 卜 | ACDR,故 D 也正確.,又 AC CD = | CD| 2| AB |2,故第12頁共8頁入2 m- 2m m22- m 一 創(chuàng)選C.答案:C13. 設兩個向量a=(入+ 2,入2 cos2 a )和b= (m, q + sin a ),其中入,m a為實數(shù),若a = 2b,則*的取值范圍是()A.

8、6,1B. 4,8C. 1,1D. 1,6解析:由a=2b知2+2=2m,廠k cos。= m+2si na,).=2m-2,J /口 12< (2 m- 2) nW 2,得 4W mW2 m= cos :+2sin:22又 cos a + 2sin a = (sin a 1) + 222t一 2w cos a + 2sin a w 2,即一 2w 入一m 2,由入=2m 2答案:A二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中 橫線上.14.在? ABCD中, ABa,AD=b,AN二3NC 為BC的中點,則MN.(用a, b表示)解析:由 AN= 3 NC得 4an

9、 = 3AC = 3( a + b).aM = a+2b,MN = 4(a+ b) -(a + 如=-4a + £b.4244答案:1 1-4a + 4b711715. 向量c與a= g, p,b =(2,- 2)的夾角相等,且|c| = 1,則c =解析:設c = (x, y),由題意得:2丄 2_ .:Lc=b=C,得_4X=5,3y=-54x=-53,y=-5答案:(;,-5)或(-4,3)16. 已知點GABC的重心,過G作直線與AB AC兩邊分別交于M N兩點,且 = x AB, K = y AC,則 X+y=解析:AG = 3(11 1+ J=1,即+一= 3.3yx y

10、答案:3T M N G三點共線,13x17. 如圖,在平面斜坐標系xOy中,Z xOy= 60°,平面上任一點P在斜 坐標系中的斜坐標是這樣定義的:若 op = xe1 + ye2(e1、e2分別為與 x軸y 軸方向相同的單位向量),則點P的斜坐標為(x , y).若點P滿足| OP| = 1, 則點P在斜坐標系xOy中的軌跡方程是 .解析:由 oP = xe1 + ye?又|OP| = 1,二 x2+y2+ 2xyx 1= 1, 即卩 x2+ y2 + xy = 1.答案:x2 + y2 + xy = 1三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過 程或演算步驟

11、.18. (10 分)在厶 ABC中, AB AC = | AB AC | = 2,求|AB|2 + I AC |2. 解:由題意可知匸abLac 2222得 I AB 1 + I AC I = 8.AB -2ABLAC AC =419. (12I = IOBI = 1,x、y的值.| OCI = 3, Z A0= 60° 丟丄 °C設 OC = xOA + y OB,求 解:v O£= XOA + yOB/. OB OC = xOA C OC = xOA OC + yOB OC 將聯(lián)立得2 rx-_OB + yOB 1* + y= 033右X (-N)x= 3得

12、 x=2,.y=1冗20. (12分)已知a, b滿足IaI = 3,=1, a與b的夾角為3,求2a + 3b與a b的夾角的余弦值.A13解:v* a b= I aII bIcosv a, b>= 3x 1 x 3=?又(2 a + 3b)2 = 4a2 + 9b2 + 12a b=36+9+ 18= 63,I2a + 3bI = 3 7.同理可得I a bI =, 722v (2 a+ 3b) ( a b) = 2a + a b 3b333=18+§ 3= y33-cos (2 a + 3b) , (a b)(2a + 3b) (a b) _2_ 11|2a + 3b|

13、a b| 3 7 7 14.21. (12分)|(2009 上海)已知 ABC的角A B C所對的邊分別為a, b, c,設 nn= (a , b), n= (si nB , si nA) , p= (b 2, a 2)(1) 若m/ n,求證 ABC為等腰三角形;nk(2) 若mUp,邊長c = 2, /C= 3,求 ABC的面積. 解:(1)證明:t mil n,. asi n A= bsi nB由正弦定理得a2= b2, a= b,A ABC為等腰三角形.(2) t ml p, m- p= 0.即 a(b2) + b(a2) = 0 a+ b= ab由余弦定理得4= a + b ab=

14、(a+ b) 3ab 即(ab)2 3ab 4 = 0,二 ab= 4 或 ab= 1(舍)11nSsbc=二absin C=:x4x sin= 3.22322. (12 分)已知 OA = (3 , 4), OB = (6 , 3) , OC =(5 m, 3 m).(1) 若點A B、C不能構成三角形,求實數(shù) m滿足的條件;(2) 若厶ABC為直角三角形,求實數(shù) m的值.解:(1) t OA = (3 , 4) , OB = (6 , 3)= (5 m 3 m .若A B、C三點不能構成三角形,則這三點共線, t Ab = (3,1)AC = (2 m,1 m ,二 3(1 n) = 2

15、m,得 m=1 ABC為直角三角形.若/A= 90°,貝y Ab - Ac = 0, 3(2 m + (1 m = 0,得 m= 4. 若/ b= 90°,貝y Ab - bc = 0,又 bc = ( 1 m m 3( 1 m + ( m=0 得 m=4.若/C= 90°,則 BC 丄 Ac .1±V5(2 m - ( 1m + (1 m - ( m = 0,得 m=十綜上得m= 4 或m=-3 或m=23. (12 分)已知 a= (1,2) , b= ( -2,1) , k、t 為正實數(shù),x = a+ (t2 + 1 11)b , y = -ka+1 b(1) 若x丄y,求k的最大值;(2) 是否存在k、t,使x / y?若存在,求出k的取值范圍,若不存在, 說明理由.解:x= a+ (t2+ 1)b= (1,2) + (t2+ 1)( -2,1)=(-2t2- 1, t2 + 3)1 1 1 1y=- ka+fb= k(1,2) + p( 2,1)1 2 2 1=(-k-f, k+r)1 2 2 1(1)若 x丄y

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