專題八壓軸題專練

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載專題八壓軸題專練1.（本小題滿分 14 分）已知函數(shù) f (x )1(x R ) .4x2(1) 試證函數(shù) f ( x ) 的圖象關(guān)于點(diǎn) ( 1 , 1 ) 對(duì)稱 ;24(2)若數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為anf ( n ) ( mN , n1, 2, m) , 求數(shù)列 an m的前 m 項(xiàng)和 Sm ;(3)設(shè)數(shù)列 bn 滿足 :b11,bn 1bn2bn. 設(shè) Tn111.3b11 b21bn1若 (2) 中的 Sn 滿足對(duì)任意不小于2 的正整數(shù) n,SnTn 恒成立 ,試求 m 的最大值 .1.解 :(1) 設(shè)點(diǎn) P0 (x 0 , y0 ) 是函數(shù) f (x ) 的圖象上

2、任意一點(diǎn),其關(guān)于點(diǎn)(1,1) 的對(duì)稱點(diǎn)為24xx 01x1 x 0 ,22 得x 0 , 1P(x, y) .由yy1所以, 點(diǎn) P的坐標(biāo)為 P(1y 0 ) . (2 分 )y 01y0 .2242由點(diǎn) P0 ( x0 , y 0 ) 在函數(shù) f ( x) 的圖象上 ,得 y01.4x02 f (1 x 0)12 44x04x0, 1y 014x014x0,41 x02 4x02(4x 02)2222( 4x 02)點(diǎn) P1y )在函數(shù) f ( x) 的圖象上 . 函數(shù) f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)11對(duì)稱。 (4 分 )(1 x0, 201, 所以 f ( k )k )1( 2 ,4)(2)

3、由 (1) 可知 ,f (x)f (1x )f (1(1km1) ,2mm2即 f ( k )f ( mk )1 ,akam k1 , (6 分 )mm22由 Sma1a2a3a m 1a m ,得 Smam 1am 2am3a1am ,由 , 得 2Sm(m1)12amm121m1 ,1 (3m22626 Sm1). (8 分 )12(3) b11 , bn1b n2b nb n (bn1) , 對(duì)任意的nN, bn0 .3優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載由、 , 得1111, 即111.bn 1b n ( bn 1) b nb n1b n1 bnbn 1 Tn( 11 )( 11 )( 11 )113

4、1. (10 分 )b1b2b 2b 3b nbn 1b1bn 1b n 1 bn 1b nb n20,bn 1bn , 數(shù)列 bn 是單調(diào)遞增數(shù)列 . Tn 關(guān)于 n 遞增 . 當(dāng) n 2,且 nN 時(shí),TnT2 . b11,b21(1 1)4, b34(4 1) 52,33 399 981 TnT23175 . (12 分 )b152 Sm75,即1 (3m1)75 , m2386 4 , m 的最大值為6. (14 分)52125239392. （14分）已知正項(xiàng)數(shù)列an中， a16 ，點(diǎn) Anan ,an 1在拋物線 y2x1上；數(shù)列 bn中，點(diǎn)Bn n,bn在過點(diǎn) 0,1，以方向向量

5、為1,2的直線上 .（）求數(shù)列an , bn的通項(xiàng)公式；an ,n為奇數(shù)（）若fn，問是否存在kN ，使 fk274 fk 成立，bn ,n為偶數(shù)若存在，求出k 值；若不存在，說明理由；（）對(duì)任意正整數(shù)n ，不等式a n 1a n0 成立，求正數(shù)111n2an111b1b2bna 的取值范圍 .an 1an1an 1and 12.解：（）將點(diǎn) Anan ,an 1代入 y2x1中得ana1n11n5（4 分）直線l : y2x1,bn2n1n,n為奇數(shù)55 分）（） f n,n為偶數(shù)（2n1當(dāng) k為偶數(shù)時(shí)， k27為奇數(shù)，fk274 fkk 27 5 42 k1 ,k4（ 8 分）當(dāng) k為奇數(shù)

6、時(shí)， k27為偶數(shù)，2 k 27 1 4 k 5 ,k35 舍去2綜上，存在唯一的k符合條件。4優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載n 1n（）由aa0111n211anb1b21bn即 a11111112n3b1b2bn記 fn11111112n3b1b2bnfn11111111b1b2112n 5bnbn 1f n 12n 3112n 3 2n 42n 4f n2 n 5bn 12n 5 2n 32n 52n 34n216 n1614n216 n15fn1fn , 即 fn遞增，fnminf1144 5 ,5315045a15（ 14 分）3.對(duì)于定義在區(qū)間m, n上的兩個(gè)函數(shù)fx和 gx ，如果對(duì)任意的

7、xm, n ，均有不等式 f xg x1成立，則稱函數(shù) fx與 gx 在 m, n上是“友好” 的，否則稱 “不友好”的. 現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)loga3與10,a1 ，給定區(qū)間 a2,a3 .fxg xax aloga x a1fx與gx在區(qū)間a2,a3上都有意義，求 a 的取值范圍；（ ）若（ 2）討論函數(shù) fx 與 gx在區(qū)間 a2, a3 上是否“友好” .a23a03. 解：（ 1）函數(shù) fx 與 g x在區(qū)間 a2,a3 上有意義，必須滿足a2a00a 10a,a1（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a ，使得函數(shù)fx與 gx 在區(qū)間 a2, a3 上是“友好”的，則 fxg xlog ax24ax3a2

8、log ax24ax3a21即1log ax24ax3a21（ * ）因?yàn)?a0,12a0,2 ，而 a2,a3 在 x2a 的右側(cè)，優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載所以函數(shù) gxlog ax24ax3a2在區(qū)間 a2,a 3 上為減函數(shù)，從而gxmaxg a2loga44a于是不等式（ * ）成立的充要條件是gxg a3loga96aminloga44a 1957loga96a1 0a0a112因此，當(dāng)0a957時(shí)，函數(shù) fx與 g x 在區(qū)間 a 2, a 3 上是“友好” 的；12當(dāng) a957時(shí)，函數(shù)f x與 gx在區(qū)間 a2,a 3 上是不“友好”的 .124. 如圖所示， F 是拋物線 y22

9、px( p0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(4,2) 為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，PAPF 的最小值為 8.（1）求拋物線方程；（2）若 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，問是否存在定點(diǎn)M ，使過點(diǎn) M 的動(dòng)直線與拋物線交于 B, C 兩點(diǎn)，且以 BC 為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn),若存在， 求出定點(diǎn) M 的坐標(biāo)； 若不存在， 請(qǐng)說明理由 .yPA(4,2)OFx4. 解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l ，過 P 作 PB l 于 B ，過 A 作 ACl 于 C ，（1）由拋物線定義知PFPByPAPFPAPBAC ( 折線段大于垂線段) ，當(dāng)且僅BPC當(dāng) A,P,C三點(diǎn)共線取等號(hào).由題意知 AC8 , 即A(4,2)O Fx4

10、p8p8拋物線的方程為： y2216 x5分（2）假設(shè)存在點(diǎn)M ，設(shè)過點(diǎn) M 的直線方程為 y kxb ，優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載顯然 k 0 ， b0 ，設(shè) B( x1 , y1 ) ， C (x2 , y2 ) ，由以 BC 為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn)有 OBOC0x1x2y1 y206分把 y kxb 代人 y216 x 得 k 2 x 22(bk 8)x b 20x1x 22( bk8 )k 2x1 x2b 2由韋達(dá)定理k 27分y1 y2(kx1b)(kx2b)k2 x1 x2bk( x1 x2 ) b2y1y216b又，代人得k216b b0b16kykx 16k k(x 16) 必過定點(diǎn)

11、 (16,0)代人得kk2動(dòng)直線方程為10 分當(dāng) kBC 不存在時(shí)，直線 x16交拋物線于 B(16, 16), C (16,16) , 仍然有 OBOC0 ，綜上：存在點(diǎn) M(16,0) 滿足條件12分注：若設(shè)直線BC的方程為 xmyb 可避免討論 .5.在直角坐標(biāo)平面中，ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A （0， 1）， B（ 0,1）平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足 GAGBGC0 ,|MA |=|MB |= |MC | GM AB（ 1）求頂點(diǎn)C的軌跡 E 的方程（ 2）設(shè) P、 Q、R、 N都在曲線 E 上 ，定點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（2, 0），已知PFFQ ,RF FN且PF ·RF= 0.求四邊

12、形面積的最大值和最小值.PRQNS5. 解析：本例（ 1）要熟悉用向量的方式表達(dá)點(diǎn)特征； （ 2）要把握好直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，靈活的運(yùn)算技巧是解決好本題的關(guān)鍵。答案：（ 1）設(shè) C ( x , y )，GA GB2GO , 由知 GC2GO ,G為ABC的重心 ，G( x ,y )由知 M是 ABC的外心，M在 x 軸上33由知 M（ x ， 0），由 | MC |MA| 得( x)21( xx )2y2333化簡(jiǎn)整理得：x2y21（ x 0）。3（2）F（2 ，0）恰為 x2y21的右焦點(diǎn)3優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載設(shè) PQ的斜率為 k 0 且 k±2，則直線 PQ的方程為

13、y = k ( x 2 )2由yk( x2)(3k 2 1) x26 2k 2 x 6k 23 0x23y 23 0設(shè) P(x 1 , y1) ，Q (x 2 ,y 2 )則 x1 + x 2 = 6 2k 2, x1· x2 = 6k3k213k2231則|PQ|=1 k2·(xx )2 4xx=1 k2· (6 2k2)24 6k2 3 =2 3(k2 1)121 23k2 13k2 13k2 1RN PQ,把 k 換成123( k 21)得 |RN|=3 k 2kS= 1|PQ| · |RN|=6(k 21)2= 28)(3k 21)(k 23)2

14、213(kk2 )103( k21) 108k21 2 ，8 16k22Sk22S3±1 時(shí)取等號(hào) )又當(dāng) k 不存在或 k = 0時(shí) S=2 S < 2 ， ( 當(dāng) k =2綜上可得3 S 2S = 2， S3min=2max2點(diǎn)評(píng)： 本題考查了向量的有關(guān)知識(shí)， 橢圓與直線的基本關(guān)系， 二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及不等式，轉(zhuǎn)化的基本思想方法以及運(yùn)用綜合知識(shí)解決問題的能力。6. 已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21(a b 0) ，且c 1，如果直線：3x 2y 0與橢a2b2圓的交點(diǎn)在x 軸上的射影恰為橢圓的焦點(diǎn)（ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2）設(shè)直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為 P ， F 是橢圓的右焦點(diǎn)，若直線4x3 y m 0 與以 PF 為直徑的圓相切，求實(shí)數(shù)m 的值；（ 3）設(shè) M 是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn) 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)， 試探究以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓O與以 MF 為直徑的圓的位置關(guān)系6.解：（ 1）直線 3x 2 y0 與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(c, 3c ) ，2代入橢圓方程得：c29c2222a24b21，又c， abc ，解得：a2， b3 ，1所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2143優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（ 2）由（ 1）知 P(1, 3) ， F (1,0) ，2則以 PF 為直徑的圓的方程為( x 1)2( y3)29， 圓心