中考數(shù)學專題：二次函數(shù)中的相似三角形綜合問題(解析版)

1、專題25 二次函數(shù)中的相似三角形綜合問題1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點分別為A（6，0）和點B（4，0），與y軸的交點為C（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2）點P是線段OA上一動點（不與點A重合），過P作平行于y軸的直線與AC交于點Q，點D、M在線段AB上，點N在線段AC上是否同時存在點D和點P，使得APQ和CDO全等，若存在，求點D的坐標，若不存在，請說明理由；若DCB=CDB，CD是MN的垂直平分線，求點M的坐標【答案】（1）y=18x214x+3；（2）點D坐標為（32，0）；點M（32，0）.【分析】（1）應用待定系數(shù)法問題可解；（2）通過分類討論研究APQ和CD

2、O全等由已知求點D坐標，證明DNBC，從而得到DN為中線，問題可解【解析】（1）將點（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得36a6b+c016a+4b+c0c0，解得：a18b14c3 ，拋物線解析式為：y=-18x2-14x+3；（2）存在點D，使得APQ和CDO全等，當D在線段OA上，QAP=DCO，AP=OC=3時，APQ和CDO全等，tanQAP=tanDCO，OCOAODOC，36OD3，OD=32，點D坐標為（-32，0）.由對稱性，當點D坐標為（32，0）時，由點B坐標為（4，0），此時點D（32，0）在線段OB上滿足條件OC=3，OB=4，BC=5

3、，DCB=CDB，BD=BC=5，OD=BD-OB=1，則點D坐標為（-1，0）且AD=BD=5，連DN，CM，則DN=DM，NDC=MDC，NDC=DCB，DNBC，ANNCADDB1，則點N為AC中點DN時ABC的中位線，DN=DM=12BC=52，OM=DM-OD=32點M（32，0）【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)待定系數(shù)法、三角形全等的判定、銳角三角形函數(shù)的相關知識解答時，注意數(shù)形結(jié)合2、如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點、，與軸交于點，直線交二次函數(shù)圖象的對稱軸于點，若點C為的中點. （1）求的值；（2）若二次函數(shù)圖象上有一點，使得，求點的坐標；（3）對于（2）中的點，

4、在二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）或；（3）不存在，理由見解析.【思路引導】（1）設對稱軸與軸交于點，如圖1，易求出拋物線的對稱軸，可得OE的長，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可得OA的長，進而可得點A的坐標，再把點A的坐標代入拋物線解析式即可求出m的值；（2）設點Q的橫坐標為n，當點在軸上方時，過點Q作QHx軸于點H，利用可得關于n的方程，解方程即可求出n的值，進而可得點Q坐標；當點在軸下方時，注意到，所以點與點關于直線對稱，由此可得點Q坐標；（3）當點為x軸上方的點時，若存在點P，可先求出直線BQ的解析式，由BPBQ可求得直

5、線BP的解析式，然后聯(lián)立直線BP和拋物線的解析式即可求出點P的坐標，再計算此時兩個三角形的兩組對應邊是否成比例即可判斷點P是否滿足條件；當點Q取另外一種情況的坐標時，再按照同樣的方法計算判斷即可.【解析】解：（1）設拋物線的對稱軸與軸交于點，如圖1，軸，拋物線的對稱軸是直線，OE=1，將點代入函數(shù)表達式得：，；（2）設，點在軸上方時，如圖2，過點Q作QHx軸于點H，解得：或（舍），；點在軸下方時，OA=1，OC=3，點與點關于直線對稱，；（3）當點為時，若存在點P，使，則PBQ=COA=90°，由B（3，0）、Q可得，直線BQ的解析式為：，所以直線PB的解析式為：，聯(lián)立方程組：，解得

6、：，不存在； 當點為時，如圖4，由B（3，0）、Q可得，直線BQ的解析式為：，所以直線PB的解析式為：，聯(lián)立方程組：，解得：，不存在.綜上所述，不存在滿足條件的點，使.【方法總結(jié)】本題考查了平行線分線段成比例定理、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和兩個函數(shù)的交點等知識，綜合性強、具有相當?shù)碾y度，熟練掌握上述知識、靈活應用分類和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解題的關鍵.3、在平面直角坐標系中，已知拋物線L：經(jīng)過點A（-3，0）和點B（0，-6），L關于原點O對稱的拋物線為.（1）求拋物線L的表達式；（2）點P在拋物線上，且位于第一象限，過點P作PDy軸，

7、垂足為D.若POD與AOB相似，求符合條件的點P的坐標.【答案】(1) y=x25x6；(2)符合條件的點P的坐標為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。【思路引導】(1)利用待定系數(shù)法進行求解即可得；(2)由關于原點對稱的點的坐標特征可知點A(-3，0)、B(0，-6)在L上的對應點分別為A(3，0)、B(0，6)，利用待定系數(shù)法求得拋物線L的表達式為yx25x6，設P(m，m25m6)(m0)，根據(jù)PDy軸，可得點D的坐標為(0，m25m6)，可得PDm，ODm25m6，再由RtPOD與RtAOB相似，分RtPDORtAOB或RtODPRtAOB兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別進

8、行求解即可得.【解析】 (1)由題意，得，解得：，L：y=x25x6；(2)拋物線L關于原點O對稱的拋物線為，點A(-3，0)、B(0，-6)在L上的對應點分別為A(3，0)、B(0，6)，設拋物線L的表達式y(tǒng)x2bx6，將A(3，0)代入yx2bx6，得b5，拋物線L的表達式為yx25x6，A(3，0)，B(0，6)，AO3，OB6，設P(m，m25m6)(m0)，PDy軸，點D的坐標為(0，m25m6)，PDm，ODm25m6，RtPDO與RtAOB相似，有RtPDORtAOB或RtODPRtAOB兩種情況，當RtPDORtAOB時，則，即，解得m11，m26，P1(1，2)，P2(6，1

9、2)；當RtODPRtAOB時，則，即，解得m3，m44，P3(，)，P4(4，2)，P1、P2、P3、P4均在第一象限，符合條件的點P的坐標為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).【方法總結(jié)】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法、關于原點對稱的拋物線的特點、相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強，難度較大，正確把握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.4、如圖，拋物線（a0）交x軸于A、B兩點，A點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點

10、E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數(shù)式表示PM的長；（3）在（2）的條件下，連結(jié)PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷PCM的形狀；若不存在，請說明理由【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）PM=（0m3）；（3）存在這樣的點P使PFC與AEM相似此時m的值為或1，PCM為直角三角形或等腰三角形【解析】解：（1）拋物線（a0）經(jīng)過點A（3，0），點C（0，4），解得拋物線的解析式為（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，A（3，0），點C（0，4），解得直線A

11、C的解析式為點M的橫坐標為m，點M在AC上，M點的坐標為（m，）點P的橫坐標為m，點P在拋物線上，點P的坐標為（m，）PM=PEME=（）（）=PM=（0m3）（3）在（2）的條件下，連接PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和AEM相似理由如下：由題意，可得AE=3m，EM=，CF=m，PF=，若以P、C、F為頂點的三角形和AEM相似，分兩種情況：若PFCAEM，則PF：AE=FC：EM，即（）：（3m）=m：（），m0且m3，m=PFCAEM，PCF=AMEAME=CMF，PCF=CMF在直角CMF中，CMF+MCF=90°，PCF+MCF=9

12、0°，即PCM=90°PCM為直角三角形若CFPAEM，則CF：AE=PF：EM，即m：（3m）=（）：（），m0且m3，m=1CFPAEM，CPF=AMEAME=CMF，CPF=CMFCP=CMPCM為等腰三角形綜上所述，存在這樣的點P使PFC與AEM相似此時m的值為或1，PCM為直角三角形或等腰三角形5、如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y=x2交于B，C兩點求拋物線的解析式及點C的坐標；求證：ABC是直角三角形；若點N為x軸上的一個動點，過點N作MNx軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；

13、若不存在，請說明理由【答案】(1)y=x2+2x；C(-1，-3)；(2)證明過程略；(3)（53，0）或（73，0）或（1，0）或（5，0）.【解析】解：（1）頂點坐標為（1，1），設拋物線解析式為y=a（x-1）2+1，又拋物線過原點，0=a（0-1）2+1，解得a=-1，拋物線解析式為y=-（x-1）2+1，即y=-x2+2x，聯(lián)立拋物線和直線解析式可得y=x2+2xy=x2 ,解得x=2y=0或x=1y=3 ,B（2，0），C（-1，-3）；（2）如圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，ABO=CBO=4

14、5°，即ABC=90°，ABC是直角三角形；（3）假設存在滿足條件的點N，設N（x，0），則M（x，-x2+2x），ON=|x|，MN=|-x2+2x|，由（2）在RtABD和RtCEB中，可分別求得AB=2 ，BC=32，MNx軸于點NABC=MNO=90°，當ABC和MNO相似時有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB，當MNAB=ONBC時，則有x2+2x2=x32 ，即|x|-x+2|=13|x|，當x=0時M、O、N不能構(gòu)成三角形，x0，|-x+2|=13，即-x+2=±13 ，解得x=53 或x=73 ，此時N點坐標為（53，0）或（73，0

15、）；當MNBC=ONAB時，則有x2+2x32=x2，即|x|-x+2|=3|x|，|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，此時N點坐標為（-1，0）或（5，0），綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（53 ，0）或（73 ，0）或（-1，0）或（5，0）6、如圖，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是對角線BD上的一個動點，作PFBD于P，交邊BC于點F（點F與點B、C都不重合），E是射線FC上一動點，連接PE、ED，并一直保持EPF=FBP，設B、P兩點的距離為x，DEP的面積為y（1）求出tanPBF；（2）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值

16、范圍（3）當DEP與BCD相似時，求DEP的面積【答案】（1）；（2）；（3）當DEP=90°時，面積為；當PDE=90°時，面積為【解析】(1)四邊形ABCD是矩形,又即又,即如圖,作垂足為H,則又設則,又由勾股定理得：=又當DEP與BCD相似時,只有兩種情況:DEP=C=90°或EDP=C=90°當DEP=90°,DPE+PDE=90°即PDE=CBDBE=DE設CE=a,則BE=DE=4-a在RtDEC中,勾股定理得解之則,又BCD的面積=4當EDP=90°,如圖2,7、如圖，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，且（

17、1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點是線段上的一個動點（不與、重合），分別以、為一邊，在直線的同側(cè)作等邊三角形和，求的最大面積，并寫出此時點的坐標；（3）如圖，若拋物線的對稱軸與軸交于點，是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個動點，直線與軸交于點是否存在點，使與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2），(1，0)；（3）存在，、或【解析】解：（1）令得，代入拋物線表達式得：，解得，拋物線的函數(shù)表達式為，（2）如圖，過點作軸于，過點作軸于，由拋物線得：，設，的面積為，則，S，當時，有最大值是，的最大面積是，此時點的坐標是，（3）存在點，使得與相似有兩種可能情況：；，由拋物

18、線得：，對稱軸為直線，若，則，解得，點的坐標是或，若點的坐標是，則直線為：，解方程組，得：，（不合題意，舍去），此時滿足條件的點的坐標為，若點的坐標是，同理可求得滿足條件的點的坐標為，若，同理也可求得滿足條件的點的坐標為，滿足條件的點的坐標為，綜上所述，存在滿足條件的點，點的坐標為：、或8、已知拋物線yax2bxc，其中2ab>0>c，且abc0.(1)直接寫出關于x的一元二次方程ax2bxc 0的一個根；(2)證明：拋物線yax2bxc的頂點A在第三象限；(3)直線y xm與x，y軸分別相交于B，C兩點，與拋物線yax2bxc相交于A，D兩點設拋物線yax2bxc的對稱軸與x軸相

19、交于E，如果在對稱軸左側(cè)的拋物線上存在點F，使得ADF與BOC相似，并且SADFSADE，求此時拋物線的表達式【解析】 (1)利用拋物線的對稱軸、對稱性及二次函數(shù)與方程的關系數(shù)形結(jié)合得出二次方程的根；(2)確定拋物線的頂點位置一可借助數(shù)形結(jié)合，二可借助頂點坐標的正負性；(3)借助一次函數(shù)與二次函數(shù)的關系確定與求解相關點的坐標，將坐標轉(zhuǎn)化為相應的線段長，進而借助題意中的相似及面積關系等構(gòu)建方程求解未知系數(shù)的值解：(1)ax2bxc 0的一個根為1(或者3)；(2)證明：b 2a，對稱軸x為1，將b2a代入abc0，得c3a.ab>0>c，b24ac>0，<0，頂點A在第三

20、象限；(3)b 2a，c3a，x，第1題答圖x13，x21，函數(shù)表達式為yax22ax3a，直線y xm與x軸、y軸分別相交于B，C，兩點，則OBOC|m|，BOC是以BOC為直角的等腰直角三角形，這時直線yxm與對稱軸x1的夾角BAE45°.又點F在對稱軸左側(cè)的拋物線上，則BAE>45°，這時BOC與ADF相似，頂點A只可能對應BOC中的直角頂點O，即ADF是以A為直角頂點的等腰直角三角形，且對稱軸是x1，設對稱軸x1與OF交于點G，直線yxm過頂點A，m14a，直線表達式為yx14a，解方程組解得這里的(1，4a)即為頂點A，點即為點D的坐標，D點到對稱軸x1的距

21、離為1(1)，AE|4a|4a，SADE××4a2，即它的面積為定值這時等腰直角三角形ADF的面積為1，底邊DF 2，而x1是它的對稱軸，這時D，C重合且在y軸上，由10，a1，此時拋物線的表達式y(tǒng)x22x38、如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線yx2bxc與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點B的坐標為(3，0)，直線yx3恰好經(jīng)過B，C兩點(1)寫出點C的坐標；(2)求出拋物線yx2bxc的表達式，并寫出拋物線的對稱軸和點A的坐標；(3)點P在拋物線的對稱軸上，拋物線頂點為D且APDACB，求點P的坐標【解析】 (1)由直線yx3可求出點C坐標；(2)由B，C

22、兩點坐標便可求出拋物線方程，從而求出拋物線的對稱軸和A點坐標；(3)作輔助線AE，由三角形的兩個角相等，證明AECAFP，根據(jù)兩邊成比例，便可求出PF的長度，從而求出P點坐標解：(1)yx3與y軸交于點C，故C(0，3)；(2)拋物線yx2bxc過點B，C，解得拋物線的表達式為yx24x3(x1)(x3)，對稱軸為直線x2，點A(1，0)；第2題答圖(3)由yx24x3，可得D(2，1)，A(1，0)；OB3，OC3，OA1，AB2，可得OBC是等腰直角三角形，OBC45°，CB3.如答圖，設拋物線對稱軸與x軸交于點F，AFAB1.過點A作AEBC于點E.AEB90°.可得

23、BEAE，CE2.在AEC與AFP中，AECAFP90°，ACEAPF，AECAFP.，解得PF2.點P在拋物線的對稱軸上，點P的坐標為(2，2)或(2，2)9、如圖所示，若關于x的二次函數(shù)yax2bxc(a0，c0，a，b，c是常數(shù))與x軸交于兩個不同的點A(x1，0)，B(x2，0)(0x1x2)，與y軸交于點P，其圖象頂點為M，點O為坐標原點(1)當x1c2，a時，求x2與b的值；(2)當x12c時，試問ABM能否等邊三角形？判斷并證明你的結(jié)論；(3)當x1mc(m0)時，記MAB，PAB的面積分別為S1，S2，若BPOPAO，且S1S2，求m的值解：(1)設ax2bxc0的兩

24、根為x1，x2，把a，c2代入，得x2bx20，x12是它的一個根，×222b20，解得b，方程為x2x20，另一個根為x23；(2)當x12c時，x2，此時ba(x1x2)，4ac2b1，M，當ABM為等邊三角形時AB，即，b22b1(12b1)，解得b11，b221(舍去)，此時4ac2b1，即2c，A，B重合，ABM不可能為等邊三角形；(3)BPOPAO，即x1x2c2，ac1，a，由S1S2得cc，b24a·2c8ac8，b12，b22(舍去)，方程可變形為x22xc0，x1(1)c，x2(1)c，x1x2，x1mc，mc(1)c，m1.10、如圖所示，拋物線yax

25、2bxc經(jīng)過ABCD的頂點A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)，拋物線與x軸的另一交點為E.經(jīng)過點E的直線l將ABCD分割為面積相等的兩部分，與拋物線交于另一點F.點P為直線l上方拋物線上一動點，設點P的橫坐標為t.(1)求拋物線的表達式；(2)當t為何值時，PFE的面積最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在點P使PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由原圖 備用圖【解析】 (1)利用待定系數(shù)法列方程組求解拋物線的表達式；(2)由平行四邊形的對稱性可知直線l必過其對稱中心，同時利用拋物線的對稱性確定E點坐標，進而可求直線l的表達式，結(jié)合二次函數(shù)表達式確定點F的坐標作PH

26、x軸，交l于點M，作FNPH，列出PM關于t的表達式，最后利用三角形的面積得SPFE關于t的表達式，利用二次函數(shù)的最值求得t值，從而使問題得以解決；(3)分兩種情形討論：若P1AE90°，作P1Gy軸，易得P1GAG，由此構(gòu)建一元二次方程求t的值；若AP2E90°，作P2Kx軸，AQP2K，則P2KEAQP2，由此利用對應邊成比例構(gòu)建一元二次方程求t的值解：(1)將點A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)代入yax2bxc，結(jié)得 得則拋物線表達式為yx22x3；(2)直線l將ABCD分割為面積相等的兩部分，必過其對稱中心.由點A，D知，拋物線對稱軸為x1，E(3，0)，設

27、直線l的表達式為ykxm，代入點和(3，0)，得 解得直線l的表達式為yx.由解得xF.如答圖，作PHx軸，交l于點M，作FNPH.點P的縱坐標為yPt22t3，點M的縱坐標為yMt. PMyPyMt22t3tt2t.第4題答圖則SPFESPFM SPEMPM·FNPM·EHPM ·(FN EH)×當t時，PFE的面積最大，最大值的立方根為 .(3)由圖可知PEA90°.若P1AE90°，如答圖，作P1Gy軸，OAOE，OAEOEA45°，P1AG AP1G45°，P1GAG.tt22t33，即t2t0，解得t1或

28、0(舍去) 第4題答圖若AP2E90°，作P2Kx軸，AQP2K，則P2KEAQP2，即t2t10，解得t或(舍去)綜上可知t1或符合題意11、如圖所示，在平面直角坐標系中，直線yx2與x軸交于點A，與y軸交于點C.拋物線yx2bxc經(jīng)過A，C兩點，與x軸的另一交點為點B.(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點D為直線AC上方拋物線上一動點連結(jié)BC，CD.設直線BD交線段AC于點E，CDE的面積為S1，BCE的面積為S2，求的最大值；過點D作DFAC，垂足為點F，連結(jié)CD.是否存在點D，使得CDF中的某個角恰好等于BAC的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由原圖 備用圖【

29、解析】 (1)先求出直線yx2與x軸交點A的坐標，與y軸交點B的坐標，再將點A，B的坐標代入拋物線的函數(shù)表達式即可求解；(2)過點C作CHBD交BD于點H，則CH是CDE與BCE的高線，所以，分別過點D，B作DMy軸、BNx軸，DM交AC于點M，BN交AC于點N，則.由拋物線的函數(shù)表達式求出點B的坐標，進而可求出點N的坐標，得到BN的長；設D，表示出點M的坐標為，可得DMt22t，于是轉(zhuǎn)化為關于t的二次函數(shù)，從而求得最大值；分三種情形求解：()DFC2BAC；()CDF2BAC；()FCD2BAC.情形()通過判斷BAC的度數(shù)確定是否存在；情形()可通過作BAC關于 軸的對稱圖形構(gòu)成出2BAC

30、，再過點C作平行線求解；情形()在x軸負半軸取點P，使CPAP，構(gòu)成出2BAC再求解解：(1)在yx2中，當x0時，y2；當y0時，x4.C(0，2)，A(4，0)代入yx2bxc，得解得b，c2.拋物線的函數(shù)表達式為yx2x2.(2)如答圖，過點C作CHBD于點H，則S1DE·CH，S2BE·CH.第5題答圖.過點D作DMy軸，交AC于點M，過點B作BNx軸交AC于點N，則DMBN.在yx2x2中，當y0時，x2x20，解得x4或1.B(1，0)當x1時，yx2.N，BN.設D，則M.DMt2t2t22t.(t2)2.當t2時，取最大值. A(4，0)，B(1，0)，C(

31、0，2)，OA4，OB1，OC2.，.又AOCBOC90°，AOCCOB.ACOABC.()tanBAC1，BAC45°.DFC2CAB.第5題答圖()當DCF2CAB時，如答圖，作點C關于x軸的對稱點G，連結(jié)AG，則CABGAB，G(0，2)CAG2CAB.設直線AG的函數(shù)表達式為ykxd(k0)把A(4，0)，G(0，2)代入，得 解得k，d2.直線AG的函數(shù)表達式為yx2.過點C作CDAG交第二象限內(nèi)的拋物線于點D，則DCFCAG2CAB，且直線CD的函數(shù)表達式為yx2.由x2x2x2，解得x10(舍去)，x22.點D的橫坐標為2.第5題答圖()當CDF2CAB時，如答圖，在x軸負半軸上取點P，使CPAP.CABACP，CPOCABACP