1-2函數(shù)的幾種特性

1、第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性 一、函數(shù)的有界性一、函數(shù)的有界性二、函數(shù)的單調性二、函數(shù)的單調性三、函數(shù)的奇偶性三、函數(shù)的奇偶性四、函數(shù)的周期性四、函數(shù)的周期性L數(shù)數(shù)一、函數(shù)的有界性一、函數(shù)的有界性: :( )f xE則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在 上上有有上上界界定義定義1設函數(shù)設函數(shù) ( )yf x 在數(shù)集在數(shù)集E上有定義，上有定義， 若存在數(shù)若存在數(shù) 使得對任一使得對任一xE ，都有都有 ( )f xL若函數(shù)若函數(shù) ( )yf x 在數(shù)集在數(shù)集E上既有上界又有下界，上既有上界又有下界， 則稱則稱 在數(shù)集在數(shù)集E上上有界有界。 顯然，顯然， ( )yf x 在數(shù)集在數(shù)集E上有界的充分必要

2、條件是上有界的充分必要條件是 存在常數(shù)存在常數(shù)M0， 使得任一使得任一 xE ，都有都有 ( )f xM(,N或或 ）( )f xN或或.（或或下下界界）LNyxoy=f(x)E例如例如，函數(shù)，函數(shù) y =1x2 在實數(shù)集在實數(shù)集R上有上界上有上界1； Oyx1例如例如，函數(shù)，函數(shù) y=1/x2 在數(shù)集在數(shù)集(0, 1)上有下界上有下界0， Oyx但無上但無上界界; 121yx21yx 例如例如，函數(shù)，函數(shù) y=sinx 在實數(shù)集在實數(shù)集R上有界。上有界。M-Myxoy=f(x)E有界有界無界無界M-MyxoE0 x二、函數(shù)的單調性二、函數(shù)的單調性: :( ),f xDED 設設函函數(shù)數(shù)的的定

3、定義義域域為為區(qū)區(qū)間間1212,Exxxx 如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間上上任任意意兩兩點點及及當當時時( );f xE則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上是是單單調調增增加加的的12(1)()(),f xf x 恒恒有有()yfx fx1()fx2()xyoE1x2x( );f xI則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上是是單單調調減減少少的的( ),f xDED 設設函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域為為區(qū)區(qū)間間1212,Exxxx 如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間上上任任意意兩兩點點及及當當時時12(2)()(),f xf x 恒恒有有( )yf x )(1xf)(2xfxyoE1x2x三、函數(shù)的奇偶性三、函數(shù)的奇

4、偶性: :偶函數(shù)圖像偶函數(shù)圖像有有對于對于關于原點對稱關于原點對稱設設,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf有有對于對于關于原點對稱關于原點對稱設設,DxD )()(xfxf ;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf奇函數(shù)圖像奇函數(shù)圖像)( xf yx)(xfox-x)(xfy 例例1 討論下列函數(shù)的奇偶性：討論下列函數(shù)的奇偶性： 2(1)( )ln(1);f xxx (2)( ).2xxeeg x 解：解：（1）因為該函數(shù)的定義域因為該函數(shù)的定義域(,)關于原點關于原點對稱，且對稱，且2()ln(1)fxxxln2(1)xx2(1)xx2

5、(1)xx21ln1xx 12ln1xx 2ln1xx ( ).f x f(x)是奇函數(shù)。是奇函數(shù)。（2）因為該函數(shù)的定義域）因為該函數(shù)的定義域(,)關于原點對稱，且關于原點對稱，且 (2)( ).2xxeeg x ()2xxeegx ( ).g x所以函數(shù)所以函數(shù)g(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù)目錄上頁下頁結束返回,0,xDl 且且,xlD )()(xflxf則稱則稱)(xf為為周期函數(shù)周期函數(shù) ,xO2y2若若稱稱 l 為為周期周期 ( 一般指一般指最小正周期最小正周期 ).周期為周期為 周期為周期為2注注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如例如, 常量函數(shù)常量函數(shù)

6、( ).f xC t)(tf22O四、函數(shù)的周期性四、函數(shù)的周期性: :例如例如， sin ,cosxx都是以都是以 2 為周期的周期函數(shù)；為周期的周期函數(shù)； tan ,cotxx都是以都是以 為周期的周期函數(shù)。為周期的周期函數(shù)。 八、小結八、小結函數(shù)的特性函數(shù)的特性有界性有界性, ,單調性單調性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .練練 習習 題題.)()()(111011)(，并作出它們的圖形，并作出它們的圖形，求求，3 3、設、設xfgxgfexgxxxxfx .)()()(30. 05020. 0500220形形出圖出圖之間的函數(shù)關系，并作之間的函數(shù)關系，并作千克千克于行李重量于行

7、李重量元元元，試建立行李收費元，試建立行李收費出部分每千克出部分每千克千克超千克超元，超出元，超出千克每千克收費千克每千克收費千克以下不計費，千克以下不計費，定如下：定如下：4 4、 火車站行李收費規(guī)火車站行李收費規(guī)xxf1、acxbaxy aybxcya acxbaxy 的反函數(shù)為的反函數(shù)為acxbaxy 2 2、xxxxeeyee 2211()()xxeye 221()()xxy eye 211()xyey 11xyey 11lnyxy xxxxeeyee 的反函數(shù)為的反函數(shù)為1111ln,(, ).xyxx 3、 1,1( )0,1( )1,1.xxf xxg xex 1,1( ( )()0,11,1.xxxxef g xf eee