第二章 勒貝格測(cè)度

1、第二章第二章 勒貝格測(cè)度勒貝格測(cè)度一、有界開集和閉集的測(cè)度一、有界開集和閉集的測(cè)度1.定義定義定義定義2.1 設(shè)設(shè)G為非空開集，則有結(jié)構(gòu)表示為非空開集，則有結(jié)構(gòu)表示 其中其中 是是G的構(gòu)成區(qū)間。規(guī)定的構(gòu)成區(qū)間。規(guī)定開集開集G的測(cè)度的測(cè)度為它為它的一切構(gòu)成區(qū)間長度的和，記為的一切構(gòu)成區(qū)間長度的和，記為mG：,kkkG,kkkkkmG定義定義2.2 設(shè)設(shè)F為非空閉集，任取一個(gè)包含為非空閉集，任取一個(gè)包含F(xiàn)的開區(qū)間的開區(qū)間(a,b)，令，令G(a,b)F ，則，則G為開集，定義為開集，定義閉集閉集F的測(cè)度的測(cè)度為為 mG mF bamG注：注： F的測(cè)度與區(qū)間的選擇無關(guān)的測(cè)度與區(qū)間的選擇無關(guān)2.開集

2、測(cè)度的性質(zhì)開集測(cè)度的性質(zhì)定理定理2.1 (i)設(shè)設(shè) 是兩個(gè)有界開集且是兩個(gè)有界開集且 ，則，則12mGmG單調(diào)性12,G G12GG(ii)設(shè)有界開集設(shè)有界開集G 是有限個(gè)或可列個(gè)開集是有限個(gè)或可列個(gè)開集 的并，則的并，則kkmGmG半可加性12,G GkG如果如果 等互不相交，則等互不相交，則kkmGmG完全可加性引理引理 設(shè)設(shè) 均為閉集，均為閉集， 且且 等互不相交，則等互不相交，則12,nF FF,1,2,kkkFkn,kk11nnkkkkmFmF定理定理2.4 設(shè)設(shè)F為閉集，為閉集，G為開集，且為開集，且 ，則，則M(G-F)mG- mFFG推論推論 設(shè)設(shè) 是互不相交的閉集，則是互不相

3、交的閉集，則12,nF FF11nnkkkkmFmF二、可測(cè)集二、可測(cè)集1.內(nèi)外測(cè)度及性質(zhì)內(nèi)外測(cè)度及性質(zhì)infGEm EmGE的的外測(cè)度外測(cè)度定義為一切包含定義為一切包含E的開集的測(cè)度的下確界，記為的開集的測(cè)度的下確界，記為定義定義2.3 設(shè)設(shè)E為有界集為有界集E的的內(nèi)測(cè)度內(nèi)測(cè)度定義為一切含于定義為一切含于E中中閉集的測(cè)度的上確界，記為閉集的測(cè)度的上確界，記為supFEm EmF注：注：1此定義有意義，且此定義有意義，且0,0m Em E 2 m Em E1212123,EEm Em Em Em E若則，單調(diào)性12124,EEEm Em Em E若則外測(cè)度的半可加性2.可測(cè)集可測(cè)集定義定義2.

4、4 設(shè)設(shè)E為為有界集有界集m Em E當(dāng)時(shí)，稱稱E為為勒貝格可測(cè)勒貝格可測(cè)的，簡(jiǎn)稱可測(cè)的的，簡(jiǎn)稱可測(cè)的這時(shí)這時(shí)E的外測(cè)度或內(nèi)測(cè)度稱為的外測(cè)度或內(nèi)測(cè)度稱為E的的測(cè)度測(cè)度，記為，記為mE注：注：1 開、閉區(qū)間，半開半閉區(qū)間都是可測(cè)集，且測(cè)度與區(qū)間開、閉區(qū)間，半開半閉區(qū)間都是可測(cè)集，且測(cè)度與區(qū)間 長度一致；長度一致；2 單點(diǎn)集測(cè)度為零；單點(diǎn)集測(cè)度為零； 3 開集閉集都是可測(cè)集；開集閉集都是可測(cè)集； 4 不可測(cè)集是存在的；不可測(cè)集是存在的； 5 任一集增添一個(gè)零測(cè)度集不影響其可測(cè)性任一集增添一個(gè)零測(cè)度集不影響其可測(cè)性例例2 零測(cè)度集零測(cè)度集E的任何子集都是可測(cè)的，且測(cè)度為的任何子集都是可測(cè)的，且測(cè)度為

5、0例例3 設(shè)設(shè) ，E為任意有界集，則為任意有界集，則 與與E的可的可 測(cè)性相同；在可測(cè)情形，有測(cè)性相同；在可測(cè)情形，有00mE 0EE0m EEmE后面討論后面討論3 可測(cè)集的性質(zhì)可測(cè)集的性質(zhì)1.可測(cè)集的充要條件可測(cè)集的充要條件2 .可測(cè)集的補(bǔ)、并、交、差可測(cè)可測(cè)集的補(bǔ)、并、交、差可測(cè)m GF定理定理3.1有界集有界集E可測(cè)的充要條件是：對(duì)任給可測(cè)的充要條件是：對(duì)任給 ，存在開集存在開集 與閉集與閉集 ，使，使GE0EF定理定理3.2 (i)設(shè)基本集為設(shè)基本集為X=(a,b),若若E可測(cè)，則可測(cè)，則E關(guān)于關(guān)于X的補(bǔ)集的補(bǔ)集 也可測(cè)；也可測(cè)；EC(ii)若若 可測(cè)，則可測(cè)，則 均可測(cè)；均可測(cè)；

6、若若 ，則，則12,E E121212,EEEEEE12EE1212m EEmEmE3.測(cè)度的單調(diào)性測(cè)度的單調(diào)性定理定理3.3 設(shè)設(shè) 是兩個(gè)可測(cè)集，是兩個(gè)可測(cè)集， ，則，則12mEmE12,E E12EE4.測(cè)度的完全可加性，可測(cè)集的可列并、可列交可測(cè)測(cè)度的完全可加性，可測(cè)集的可列并、可列交可測(cè)定理定理3.4 (i)設(shè)設(shè) ，每個(gè)，每個(gè) 均可測(cè)，則均可測(cè)，則E也可測(cè)；也可測(cè)； 若若 等互不相交，則等互不相交，則1kkEEkE1kkmEmEkE(ii)若若 ，每個(gè)，每個(gè) 均可測(cè)，則均可測(cè)，則E也可測(cè)也可測(cè)1kkEEkE注注：(1) 任何可列集測(cè)度為任何可列集測(cè)度為0(2) a,b) (a,b a,

7、b (a,b)測(cè)度都為測(cè)度都為b-a(3)若若 不一定可測(cè)，則有外測(cè)度的半可加性不一定可測(cè)，則有外測(cè)度的半可加性kE11kkkkmEm E定理定理3.6 (i) 設(shè)設(shè) 是基本集是基本集(a,b)中的漸張可測(cè)集列，即中的漸張可測(cè)集列，即 kE12nEEElimkkmEmE則則 是可測(cè)，且是可測(cè)，且1kkEE(ii) 設(shè)設(shè) 是基本集是基本集(a,b)中的漸縮可測(cè)集列，即中的漸縮可測(cè)集列，即 kE12nEEElimkkmEmE則則 是可測(cè)，且是可測(cè)，且1kkEE例例1設(shè)設(shè)E是基本集，其測(cè)度為是基本集，其測(cè)度為1， 是是E的可測(cè)子集列，且對(duì)的可測(cè)子集列，且對(duì)每個(gè)每個(gè)n， ， 試證試證nE1nmE 11

8、nnmE5.可測(cè)集的另一充要條件可測(cè)集的另一充要條件引理引理3.1 設(shè)設(shè) 是是E關(guān)于關(guān)于(a,b)的補(bǔ)集，則有的補(bǔ)集，則有 ,Ea bECm EmEbaCm AmAEmAEC定理定理3.5有界集有界集E可測(cè)的充要條件是：對(duì)任何集合可測(cè)的充要條件是：對(duì)任何集合A，成立，成立注注：(1) 同樣有同樣有 ，則有，則有 mEm EbaCmEmEm Em ECCE和其補(bǔ)集可測(cè)性相同和其補(bǔ)集可測(cè)性相同(2)還可得還可得m EbamECE的內(nèi)測(cè)度可由其補(bǔ)集的外測(cè)度定義的內(nèi)測(cè)度可由其補(bǔ)集的外測(cè)度定義Carathodory條件條件6.可測(cè)集的構(gòu)造可測(cè)集的構(gòu)造定義定義 Borel集集 開集、閉集作至多可列次或并或

9、交的運(yùn)算得到的集開集、閉集作至多可列次或并或交的運(yùn)算得到的集G集集 可表示為可列個(gè)可表示為可列個(gè)開集開集的的交交的集的集集集 可表示為可列個(gè)可表示為可列個(gè)閉集閉集的的并并的集的集F定理定理3.7 設(shè)設(shè)E是可測(cè)集，則存在是可測(cè)集，則存在 集集A和和 集集B ，滿足，滿足 且且mA= mB= mEGFAEB注注：可測(cè)集是與某個(gè)：可測(cè)集是與某個(gè) 集或某個(gè)集或某個(gè) 集僅相差一個(gè)零測(cè)度的集集僅相差一個(gè)零測(cè)度的集GF可測(cè)集為可測(cè)集為 集與一零測(cè)度集的差集與一零測(cè)度集的差GF或?yàn)榛驗(yàn)?集與一零測(cè)度集的并集與一零測(cè)度集的并 4 關(guān)于測(cè)度的幾點(diǎn)評(píng)注關(guān)于測(cè)度的幾點(diǎn)評(píng)注一一.無界集的測(cè)度無界集的測(cè)度lim,mEmE

10、 定義定義 設(shè)設(shè)E是一維無界集，若它與任何開區(qū)間的交是是一維無界集，若它與任何開區(qū)間的交是可測(cè)的，就稱可測(cè)的，就稱E為為可測(cè)的?？蓽y(cè)的。它的測(cè)度定義為它的測(cè)度定義為命題命題4.1 設(shè)設(shè) ， 是可測(cè)集列是可測(cè)集列(有界或無界有界或無界)，則，則E可測(cè)；可測(cè)； 若若 等互不相交，則等互不相交，則1kkEEkE1kkmEmEkE二二.多維空間點(diǎn)集的測(cè)度多維空間點(diǎn)集的測(cè)度與一維情形本質(zhì)相同與一維情形本質(zhì)相同三三.不可測(cè)集的例不可測(cè)集的例Volterra利用選擇公理作出利用選擇公理作出1.勒貝格測(cè)度關(guān)于平移的不變性勒貝格測(cè)度關(guān)于平移的不變性設(shè)設(shè)h為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)，E為為R的一子集，對(duì)于的一子集，對(duì)于 ，令

11、，令 為平移為平移變換，變換， ,并令并令xEhT:hTxxhhxT ET x xE稱它為稱它為E的的h平移變換平移變換2.兩個(gè)引理兩個(gè)引理引理引理4.1 設(shè)設(shè)E是具有正測(cè)度的一維點(diǎn)集，數(shù)是具有正測(cè)度的一維點(diǎn)集，數(shù)滿足滿足01，那么，那么存在開區(qū)間存在開區(qū)間I，使，使m EImI開區(qū)間的開區(qū)間的h平移變換后測(cè)度保持不變平移變換后測(cè)度保持不變開集的開集的h平移變換后測(cè)度保持不變平移變換后測(cè)度保持不變?nèi)我恻c(diǎn)集任意點(diǎn)集E，Th E的外測(cè)度保持不變的外測(cè)度保持不變E可測(cè)時(shí)，可測(cè)時(shí)，Th E也可測(cè)，且也可測(cè)，且m(Th E)=mE勒貝格測(cè)度關(guān)于平移的不變性勒貝格測(cè)度關(guān)于平移的不變性引理引理4.2 設(shè)設(shè)E是正測(cè)度集，是正測(cè)度集， 令令則則(E)包含一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的開區(qū)間包含一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的開區(qū)間J,Exy x yEBackdrops:- These are full sized backdrops, just scale them up!- Can be Copy-Pasted out of Templates for use anywhere!Title BackdropSlide BackdropPrint BAdditional Graphics:- Scale them