全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用建模方法總結(jié)

1、邯鄲學(xué)院本科畢業(yè)論文邯鄲學(xué)院本科畢業(yè)論文題題 目目 全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用建模方法探討學(xué)學(xué) 生生 柴云飛指導(dǎo)教師指導(dǎo)教師 閆 峰 教授教授年年 級(jí)級(jí) 2009 級(jí)本科級(jí)本科專專 業(yè)業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)二級(jí)學(xué)院二級(jí)學(xué)院 數(shù)學(xué)系（系、部）（系、部）邯鄲學(xué)院數(shù)學(xué)系2013 年 6 月 鄭重聲明鄭重聲明本人的畢業(yè)論文是在指導(dǎo)教師閆峰的指導(dǎo)下獨(dú)立撰寫完成的如有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵權(quán)的行為，本人愿意承擔(dān)由此產(chǎn)生的各種后果，直至法律責(zé)任，并愿意通過網(wǎng)絡(luò)接受公眾的監(jiān)督特此鄭重聲明論文經(jīng)“中國(guó)知網(wǎng)”論文檢測(cè)系統(tǒng)檢測(cè)，總相似比為 5.80% 畢業(yè)論文作者（簽名）： 年 月 日I全國(guó)大學(xué)生

2、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用建模方法探討全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用建模方法探討摘要全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽作為全國(guó)高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競(jìng)賽，越來越受到人們的重視，所以建模競(jìng)賽的方法也就變得尤為重要隨著競(jìng)賽的不斷發(fā)展，賽題的開放性逐步增大，一道賽題可用多種解法，各種求解的算法有時(shí)會(huì)相互融合，同時(shí)也在向大規(guī)模數(shù)據(jù)處理方向發(fā)展，這就對(duì)選手的能力提出了更高的要求由于建模方法種類眾多，無法一一介紹，所以本文主要介紹了四種比較常用的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽方法，包括微分與差分方程建模方法、數(shù)學(xué)規(guī)劃建模方法、統(tǒng)計(jì)學(xué)建模方法、圖論方法，并結(jié)合歷年賽題加以說明關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 統(tǒng)計(jì)學(xué)方法 數(shù)學(xué)規(guī)劃 圖論IICommonl

3、y Used Modeling Method of China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling Chai yunfei Directed by Professor Yan fengABSTRACTThe China undergraduate mathematical contest in modeling has been attention by more and more people as a basic subject of the largest national college competition. The met

4、hod of modeling competition has become more and more important. Open questions gradually increased with the development of competition. Most of the games can be solved by lots of solutions. Sometimes these methods can be used together. And there is also a lot of data which puts forward higher requir

5、ement on the ability of players. The modeling methods is too numerous to mention, so this article mainly four kinds Commonly used modeling method are introduced that differential and difference equations modeling method, Mathematical programming modeling method, Statistics modeling method, graph the

6、ory and interprets with calendar years test questions.KEY WORDS：Mathematical contest in modeling Statistics method Mathematical programming Graph theory1目目 錄錄摘 要.I英文摘要.II 前言.11 微分方程與差分方程建模.21.1 微分方程建模.21.1.1 微分方程建模的原理和方法.21.1.2 微分方程建模應(yīng)用實(shí)例.31.2 差分方程建模.41.2.1 差分方程建模的原理和方法.41.2.2 差分方程建模應(yīng)用實(shí)例.52 數(shù)學(xué)規(guī)劃建模.5

7、2.1 線性規(guī)劃建模的一般理論.62.2 線性規(guī)劃建模應(yīng)用實(shí)例.73 統(tǒng)計(jì)學(xué)建模方法.83.1 聚類分析.83.1.1 聚類分析的原理和方法.83.1.2 聚類分析應(yīng)用實(shí)例.83.2 回歸分析.93.2.1 回歸分析的原理與方法.93.2.2 回歸分析應(yīng)用實(shí)例.104 圖論建模方法.104.1 兩種常見圖論方法介紹.114.1.1 模擬退火法的基本原理.114.1.2 最短路問題.114.2 圖論建模應(yīng)用實(shí)例.125 小結(jié).13參考文獻(xiàn).14致謝.151前前言言全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽創(chuàng)辦于 1992 年，每年一屆，目前已成為全國(guó)高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競(jìng)賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽

8、者需要根據(jù)題目要求，在三天時(shí)間內(nèi)完成一篇包括模型假設(shè)、模型建立和求解、計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)、模型結(jié)果的分析和檢驗(yàn)、模型的改進(jìn)等方面的論文通過參加競(jìng)賽的訓(xùn)練和比賽，可以提高學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的意識(shí)和能力，而且在培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)精神和撰寫科技論文等方面都會(huì)得到十分有益的鍛煉競(jìng)賽題目的涉及面比較寬，有工業(yè)、農(nóng)業(yè)、工程設(shè)計(jì)、交通運(yùn)輸、經(jīng)濟(jì)管理、生物醫(yī)學(xué)和社會(huì)事業(yè)等競(jìng)賽選手不一定預(yù)先掌握深入的專業(yè)知識(shí)，而只需要學(xué)過高等數(shù)學(xué)的相關(guān)課程即可，并且題目具有較大的靈活性，便于參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力近年來，競(jìng)賽題目包含的數(shù)據(jù)較多，手工計(jì)算一般不能實(shí)現(xiàn)，所以就對(duì)參賽者的計(jì)算機(jī)能力提出了更高的要求，如 2003 年 B

9、 題，某些問題的解決需要使用計(jì)算機(jī)軟件；2001年 A 題，問題的數(shù)據(jù)讀取需要計(jì)算機(jī)技術(shù)，并且對(duì)于給出的圖像，需要用圖像處理的方法獲得；再如 2004 年 A 題則需要利用數(shù)據(jù)庫(kù)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)庫(kù)方法，統(tǒng)計(jì)軟件包等等競(jìng)賽題目的總體特點(diǎn)可大致歸納如下：（1）實(shí)用性不斷加強(qiáng)，問題和數(shù)據(jù)來自于實(shí)際，解決方法需要切合實(shí)際，模型和結(jié)果可以應(yīng)用于實(shí)際；（2）綜合性不斷加強(qiáng)，解法多樣，方法融合，學(xué)科交叉；（3）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，包括數(shù)據(jù)的真實(shí)性，數(shù)據(jù)的海量性，數(shù)據(jù)的不完備性，數(shù)據(jù)的冗余性等；（4）開放性也越來越突出，題意的開放性，思路的開放性，方法多樣，結(jié)果不唯一等總體來說，賽題向大規(guī)模數(shù)據(jù)處理方向發(fā)展，求解算

10、法和各類現(xiàn)代算法相互融合縱觀歷年的賽題，主要用到的建模方法有：初等數(shù)學(xué)模型、微分與差分方程建模、組合概率、數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計(jì)學(xué)建模、計(jì)算方法建模、數(shù)學(xué)規(guī)劃、圖論方法、層次分析、插值與擬合、排隊(duì)論、模糊數(shù)學(xué)、隨機(jī)決策、多目標(biāo)決策、隨機(jī)模擬、計(jì)算機(jī)模擬法、灰色系統(tǒng)理論、時(shí)間序列等本文不一一列舉競(jìng)賽題目中涉及的所有方法，只是重點(diǎn)討論其中一些比較常用的方法，包括微分與差分方程建模方法、數(shù)學(xué)規(guī)劃建模方法、統(tǒng)計(jì)學(xué)建模方法、圖論建模方法，并結(jié)合案例說明建模方法的原理及應(yīng)用21 微分方程與差分方程建模在很多競(jìng)賽題目中，常常會(huì)涉及很多變量之間的關(guān)系，找出它們之間的函數(shù)關(guān)系式具有重要意義可在許多實(shí)際問題中，我們常常不

11、能直接給出所需要的函數(shù)關(guān)系，但可以得到含有所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）或差分（即增量）的方程，這樣的方程稱為微分方程或差分方程. 建立微分方程或差分方程的數(shù)學(xué)模型是一種重要的建模方法.如 1996 年 A 題“最優(yōu)捕魚策略” ，1997 年 A 題“零件參數(shù)設(shè)計(jì)” ，2003 年 A 題“SARS 的傳播” ，2007 年 A 題“中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)” ，2009 年 A 題“最優(yōu)捕魚策略”等賽題中，都用到了這種方法1.1 微分方程建模1.1.1 微分方程建模的原理和方法一般來說，任何時(shí)變問題中隨時(shí)間變化而發(fā)生變化的量與其它一些量之間的關(guān)系經(jīng)常以微分方程的形式來表現(xiàn)例 1.1 有一容器裝有某種濃度的

12、溶液，以流量注入該容器濃度為的同樣溶液，1v1c假定溶液立即被攪拌均勻，并以的流量流出混合后的溶液，試建立反映容器內(nèi)濃度2v變化的數(shù)學(xué)模型解 注意到溶液濃度=，因此，容器中溶液濃度會(huì)隨溶質(zhì)質(zhì)量和溶液體溶液體積溶液質(zhì)量積變化而發(fā)生變化不妨設(shè) t 時(shí)刻容器中溶質(zhì)質(zhì)量為，初始值為, 時(shí)刻容器中溶液體積為，ts0sttv初始值為，則這段時(shí)間內(nèi)有0vttt,， （1）tvtvVtvctvcs212211其中表示單位時(shí)間內(nèi)注入溶液的濃度，表示單位時(shí)間內(nèi)流出溶液的濃度，當(dāng)很1c2ct小時(shí)，在內(nèi)有ttt,3. （2）2c)()(tVtstvvVts)()(210對(duì)式（1）兩端同除以，令，則有t0t . （3）

13、00212211)0(,)0(VVssvvdtdVvcvcdtds即所求問題的微分方程模型雖然它是針對(duì)液體溶液變化建立的，但對(duì)氣體和固體濃度變化同樣適用實(shí)際應(yīng)用中，許多時(shí)變問題都可取微小的時(shí)間段去考察某些量之間的變化規(guī)律，t從而建立問題的數(shù)學(xué)模型，這是數(shù)學(xué)建模中微分方程建模常用手段之一常用微分方程建模的方法主要有：（1）按實(shí)驗(yàn)定律或規(guī)律建立微分方程模型此種建模方法充分依賴于各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中有關(guān)實(shí)驗(yàn)定律或規(guī)律以及某些重要的已知定理，這種方法要求建模者有寬廣的知識(shí)視野,這樣才能對(duì)具體問題采用某些熟知的實(shí)驗(yàn)定律（2）分析微元變化規(guī)律建立微分方程模型求解某些實(shí)際問題時(shí)，尋求一些微元之間的關(guān)系可以建立問題

14、的數(shù)學(xué)模型如例 1.1中考察時(shí)間微元，從而建立起反應(yīng)溶液濃度隨時(shí)間變化的模型此建模方法的出發(fā)t點(diǎn)是考察某一變量的微小變化，即微元分析，找出其他一些變量與該微元間的關(guān)系式，從微分定義出發(fā)建立問題的數(shù)學(xué)模型（3）近似模擬法在許多實(shí)際問題中，有些現(xiàn)象的規(guī)律性并非一目了然，或有所了解亦是復(fù)雜的，這類問題常用近似模擬方法來建立問題的數(shù)學(xué)模型一般通過一定的模型假設(shè)近似模擬實(shí)際現(xiàn)象，將問題做某些規(guī)范化處理后建立微分方程模型，然后分析、求解，并與實(shí)際問題作比較，觀察模型能否近似刻畫實(shí)際現(xiàn)象近似模擬法的建模思路就是建立能夠近似刻畫或反映實(shí)際現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，因此在建模過程中經(jīng)常做一些較合理的模型假設(shè)使問題簡(jiǎn)化，然

15、后通過簡(jiǎn)化建立近似反映實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型1.1.2 微分方程建模應(yīng)用實(shí)例例 1.2（2003 年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 A 題） SARS 傳播的預(yù)測(cè)2003 年爆發(fā)的“SARS”疾病得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，使人們認(rèn)識(shí)到研究傳染病的傳播規(guī)律的重要性題目給出了感病情況的三個(gè)附件，要求對(duì) SARS 的傳播建立4數(shù)學(xué)模型：（1）對(duì) SARS 的傳播建立一個(gè)自己的模型，并說明模型的優(yōu)缺點(diǎn)；（2）收集 SARS 對(duì)經(jīng)濟(jì)某個(gè)方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)問題求解過程分析 由于題目具有開放性，故選擇文獻(xiàn)1中的求解思路分析.傳染病的傳播模式可近似分為自由傳播階段和控后階段，然后將人群

16、分為易感者，感病者，移出者三類由三者之間的關(guān)系可得到下列微分方程：SIR，NRIShIdtdRhIkISdtdIkISdtdS利用附件中給出的數(shù)據(jù)，可以將上述方程變形為， IhIkNIdtdI其中，其解為hkN .teItI0)(其中為初始值0I但此模型只適用于病例數(shù)與總?cè)丝跀?shù)具有可比性的情況，當(dāng)病例數(shù)遠(yuǎn)小于總?cè)丝跀?shù)時(shí)，感病人數(shù)將隨時(shí)間以指數(shù)增長(zhǎng).這是按實(shí)驗(yàn)定律或規(guī)律建立的微分方程模型.為進(jìn)一步改進(jìn)模型，用計(jì)算機(jī)跟蹤病毒的個(gè)體傳播情況，又建立計(jì)算機(jī)模擬模型然后用計(jì)算機(jī)模擬北京 5 月 10 日之前 SARS 的傳播情況，并對(duì) 5 月 10 日以后的傳播情況進(jìn)行預(yù)測(cè)但是得到的有效接觸率與實(shí)際統(tǒng)計(jì)

17、數(shù)據(jù)有所偏差，所以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，為參數(shù)的確定尋求醫(yī)學(xué)上的支持，并以隨機(jī)模擬取代完全確定性的模擬，對(duì)原模型進(jìn)行改進(jìn)，建立隨機(jī)模擬模型通過計(jì)算機(jī)編程，產(chǎn)生正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，并對(duì)傳染情況進(jìn)行 500 次模擬，即可進(jìn)行預(yù)測(cè)，并可得出對(duì) SARS 疫情控制提出的相應(yīng)建議1.2 差分方程建模1.2.1 差分方程建模的原理和方法差分方程在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中應(yīng)用的頻率極高，所以要對(duì)這種方法引起足夠的重視它針對(duì)要解決的目標(biāo)，引入系統(tǒng)或過程中的離散變量具體方法是：根據(jù)實(shí)際的規(guī)律性質(zhì)、平衡關(guān)系等，建立離散變量所滿足的關(guān)系式，從而建立差分方程模型差分方程可以分為不同的類型，如一階和高階差分方程，常系數(shù)和變系數(shù)差分方5程，線性

18、和非線性差分方程等等建立差分方程模型一般要注意以下問題：（1）注意題中的離散變化量，對(duì)過程進(jìn)行分析，尤其要注意形成變化運(yùn)動(dòng)過程的時(shí)間或距離的分化而得到離散變量；（2）通過對(duì)具體變化過程的分析，列出滿足題意的差分方程，其中入手點(diǎn)是找出變量所能滿足的平衡關(guān)系、增量或減量關(guān)系及規(guī)律，從而得到差分方程1.2.2 差分方程建模應(yīng)用實(shí)例例 1.3（2007 年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 A 題） 中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè).題目要求從中國(guó)的實(shí)際情況和人口增長(zhǎng)的特點(diǎn)出發(fā)，參考附錄中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻(xiàn)和補(bǔ)充新的數(shù)據(jù)） ，建立中國(guó)人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型，并由此對(duì)中國(guó)人口增長(zhǎng)的中短期和長(zhǎng)期趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)，特別要指

19、出模型中的優(yōu)點(diǎn)與不足之處.問題求解過程分析 由于題目具有開放性，故選擇文獻(xiàn)2中的求解思路分析.通過分析題中相關(guān)的數(shù)據(jù)，考慮到我國(guó)近年來人口發(fā)展的總趨勢(shì)，因?yàn)樯婕暗饺丝诘脑鲩L(zhǎng)和變換，所以可以先用微分方程來建立模型，并對(duì)我國(guó)人口增長(zhǎng)的中短期和長(zhǎng)期趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)首先，根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，使用灰色關(guān)聯(lián)分析模型法對(duì)人口系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析，找出影響人口增長(zhǎng)的主要因素；其次使用年齡推算法進(jìn)行短期預(yù)測(cè).在建立和求解長(zhǎng)期預(yù)測(cè)模型時(shí)，根據(jù)人口阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic 模型），可以考慮對(duì)中國(guó)人口老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比例持續(xù)升高以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素建立新的人口增長(zhǎng)的差分方程模型.但是它僅給出了人口總數(shù)

20、的變化規(guī)律，反映不出各類人口的詳細(xì)信息，所以我們需要建立離散化的模型，并進(jìn)一步可以得到全面系統(tǒng)地反應(yīng)一個(gè)時(shí)期內(nèi)人口數(shù)量狀況的差分方程，可以用微分和差分方程理論來表現(xiàn)和模擬人口數(shù)量的變化規(guī)律從而對(duì)人口分布的狀況、變化趨勢(shì)、總體特征等有更加詳細(xì)和科學(xué)的了解在模型的求解過程中，用到了 MATLAB 軟件，并做參數(shù)估計(jì)，利用所得結(jié)果和題目給出的近五年來的人口數(shù)據(jù)，對(duì)我國(guó)人口發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，得到了在老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比例持續(xù)升高以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素影響下，未來我國(guó)人口發(fā)展預(yù)測(cè)情況.2 數(shù)學(xué)規(guī)劃建模數(shù)學(xué)規(guī)劃是指在一系列條件限制下，尋求最優(yōu)方案，使得目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的數(shù)學(xué)模6型，它是運(yùn)籌學(xué)的一

21、個(gè)重要分支數(shù)學(xué)規(guī)劃的內(nèi)容十分豐富，包括許多研究分支，如：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、二次規(guī)劃、0-1 規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、參數(shù)規(guī)劃、組合優(yōu)化、隨機(jī)規(guī)劃、模糊規(guī)劃、多層規(guī)劃問題等在 1993 年 A 題“非線性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì)” ，1993 年 B 題“足球隊(duì)排名” ，1995 年A 題“飛行管理問題” ，1996 年 B 題“節(jié)水洗衣機(jī)” ，1997 年 A 題“零件的參數(shù)設(shè)計(jì)” ，1998 年 A 題“一類投資組合問題” ，1999 年 B 題“鉆井布局” ，2001 年 B 題“公交車調(diào)度問題” ，2002 年 A 題“車燈線光源的優(yōu)化” ，2006 年 A 題“出版社書號(hào)問題”

22、 ，2007年 B 題“城市公交線路選擇問題”等賽題中，都用到了規(guī)劃的方法在此以線性規(guī)劃為例，對(duì)規(guī)劃的方法進(jìn)行探討2.1 線性規(guī)劃建模的一般理論線性規(guī)劃建模方法主要用于解決生產(chǎn)實(shí)際中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，它是一種重要的數(shù)學(xué)模型線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個(gè)重要分支，它是研究線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問題的數(shù)學(xué)理論和方法一般的優(yōu)化問題是指用“最好”的方式，使用或分配有限的資源即勞動(dòng)力、原材料、機(jī)器、資金等，使得費(fèi)用最小或利潤(rùn)最大優(yōu)化模型的一般形式為: (4)maxmin 或 xfz (5) . 0. .xgtsmi, 2 , 1.12,Tn

23、xx xx，由（4） 、 （5）組成的模型屬于約束優(yōu)化若只有（4）式就是無約束優(yōu)化稱 xf為目標(biāo)函數(shù)，稱為約束條件 0g x 在優(yōu)化模型中，如果目標(biāo)函數(shù)和約束條件中的都是線性函數(shù)，則該模型 xf g x稱為線性規(guī)劃建立實(shí)際問題線性規(guī)劃模型的步驟如下：（1）設(shè)置要求解的決策變量決策變量選取得當(dāng)，不僅能順利地建立模型而且能方便地求解，否則很可能事倍功半（2）找出所有的限制，即約束條件，并用決策變量的線性方程或線性不等式來表示當(dāng)限制條件多，背景比較復(fù)雜時(shí)，可以采用圖示或表格形式列出所有的已知數(shù)據(jù)和信息，從而避免“遺漏”或“重復(fù)”所造成的錯(cuò)誤7（3）明確目標(biāo)要求，并用決策變量的線性函數(shù)來表示，標(biāo)出對(duì)函

24、數(shù)是取極大還是取極小的要求需要特別說明的是，要使用線性規(guī)劃方法來處理一個(gè)實(shí)際問題，必須具備下面的條件：（1）優(yōu)化條件：?jiǎn)栴}的目標(biāo)有極大化或極小化的要求,而且能用決策變量的線性函數(shù)來表示（2）選擇條件：有多種可供選擇的可行方案，以便從中選取最優(yōu)方案（3）限制條件：達(dá)到目標(biāo)的條件是有一定限制的（比如，資源的供應(yīng)量有限度等），而且這些限制可以用決策變量的線性等式或線性不等式表示出來此外，描述問題的決策變量相互之間應(yīng)有一定的聯(lián)系，才有可能建立數(shù)學(xué)關(guān)系，這一點(diǎn)自然是不言而喻的 線性規(guī)劃模型的求解可用圖解法或單純形法隨著計(jì)算機(jī)的普及和大量數(shù)學(xué)軟件的出現(xiàn)，可以利用現(xiàn)成的軟件 MATLAB 或 LINGO 等

25、求解，在此不再敘述2.2 線性規(guī)劃建模應(yīng)用實(shí)例例 2.1（2006 年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 B 題） 艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè).題目給出了美國(guó)某艾滋病醫(yī)療試驗(yàn)機(jī)構(gòu)公布的兩組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)涉及到了病人 CD4和 HIV 的濃度含量的測(cè)試結(jié)果.根據(jù)所給的資料需要參賽者完成以下問題：（1）利用附件 1 的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間；（2）利用附件 2的數(shù)據(jù)，評(píng)價(jià) 4 種療法的優(yōu)劣（僅以為標(biāo)準(zhǔn)） ，并對(duì)較優(yōu)的療法預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效4CD果，或者確定最佳治療終止時(shí)間；（3）如果病人需要考慮 4 種療法的費(fèi)用，對(duì)評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)有什么影響.問題求解過程分析 由于題目具有開放性，故

26、選擇文獻(xiàn)3中的求解思路進(jìn)行分析. 首先對(duì)題目所給數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,考慮到治療的效果與患者的年齡有關(guān)，將患者按年齡分組，如歲,歲,歲及歲以上組每組中按照種療法和2514352545354544個(gè)治療階段（如周，周，周，周） ，構(gòu)造個(gè)決策單410020103020403016元取種藥品量為輸入，治療各個(gè)階段末患者的值與開始治療時(shí)值的比值44CD4CD為輸出.然后建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,利用相對(duì)有效性評(píng)價(jià)方法，建立分式規(guī)劃模型并經(jīng)過變換，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型求解，對(duì)各年齡組患者在各階段的治療效率進(jìn)行評(píng)價(jià)計(jì)算結(jié)果：對(duì)第 年齡組療法和在整個(gè)治療中效率較高，在第階段仍然有效；對(duì)第1244年齡組療法 在第 ，階段有效

27、；對(duì)第 年齡組療法 ， 在第 階段有效；對(duì)第211231231年齡組療法 ，在第 ，階段有效表明只有歲的年種輕患者，才能在治41212251448療的最后階段仍然有有效的療法隨后，由線性規(guī)劃模型的對(duì)偶形式建立預(yù)測(cè)模型，對(duì)各年齡組各種療法下一階段的療效進(jìn)行預(yù)測(cè)若由某決策單元得到的實(shí)際輸出大于預(yù)測(cè)輸出，則該決策單元相對(duì)有效；反之，說明該種療法對(duì)該組患者在治療的未來階段不再有效，應(yīng)該轉(zhuǎn)換療法3 統(tǒng)計(jì)學(xué)建模方法在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中，常常會(huì)涉及到大量的數(shù)據(jù)，因此，我們就需要用統(tǒng)計(jì)學(xué)建模方法對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理此類方法主要包括統(tǒng)計(jì)分析、計(jì)算機(jī)模擬、回歸分析、聚類分析、數(shù)據(jù)分類、判別分析、主成分分析、因子分析、殘

28、差分析、典型相關(guān)分析、時(shí)間序列等如 2004 年 A 題“奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)問題” ，2004 年 B 題“電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理問題” ，2007 年 A 題“人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)問題” ，2008 年 B 題“大學(xué)學(xué)費(fèi)問題” ，2012 年 A 題“葡萄酒的評(píng)價(jià)”等都用到了這種建模方法在此選取其中兩類方法進(jìn)行闡述3.1 聚類分析3.1.1 聚類分析的原理和方法該方法說的通俗一點(diǎn)就是，將個(gè)樣本，通過適當(dāng)?shù)姆椒ㄟx取聚類中心，通過研nm究各樣本和各個(gè)聚類中心的距離，選擇適當(dāng)?shù)木垲悩?biāo)準(zhǔn)，通常利用最小距離法來聚類，從而可以得到聚類結(jié)果利用 sas 軟件或者 spss 軟件來做聚類分析，就可以得到相應(yīng)的動(dòng)

29、態(tài)聚類圖這種模型的的特點(diǎn)是直觀，容易理解聚類分析的類型可分為：型聚類（即對(duì)樣本聚類）和型聚類（即對(duì)變量聚類）QR通常聚類中有相似系數(shù)法和距離法兩種衡量標(biāo)準(zhǔn).聚類方法種類多樣，有可變類平均法、中間距離法、最長(zhǎng)距離法、利差平均和法等.在應(yīng)用時(shí)要注意,在樣本量比較大時(shí)，要得到聚類結(jié)果就顯得不是很容易,這時(shí)需要根據(jù)背景知識(shí)和相關(guān)的其他方法輔助處理主要的方法步驟大致如下：（1）首先把每個(gè)樣本自成一類；（2）選取適當(dāng)?shù)暮饬繕?biāo)準(zhǔn)，得到衡量矩陣；（3）重新計(jì)算類間距離，得到衡量矩陣；（4）重復(fù)第 2 步，直到只剩下一個(gè)類.93.1.2 聚類分析應(yīng)用實(shí)例例 3.1（2012 年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 A

30、 題） 葡萄酒的評(píng)價(jià).題目的附件中給出了某一年份一些葡萄酒的評(píng)價(jià)結(jié)果，和該年份這些葡萄酒的和釀酒葡萄的成分?jǐn)?shù)據(jù).要求參賽者建立數(shù)學(xué)模型解決以下問題：（1）分析附件 1 中兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果有無顯著性差異，哪一組結(jié)果更可信；（2）根據(jù)釀酒葡萄的理化指標(biāo)和葡萄酒的質(zhì)量對(duì)這些釀酒葡萄進(jìn)行分級(jí)；（3）分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的聯(lián)系；（4）分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)對(duì)葡萄酒質(zhì)量的影響，并論證能否用葡萄和葡萄酒的理化指標(biāo)來評(píng)價(jià)葡萄酒的質(zhì)量.問題求解過程分析 由于題目具有開放性，故選擇文獻(xiàn)4中的求解思路分析. 由于給定了釀酒葡萄的理化指標(biāo)，首先可將附錄 2 和附錄 3 中的一些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理.

31、并可以據(jù)此對(duì)各種釀酒葡萄進(jìn)行聚類分析，但是，由于題目中所給的數(shù)據(jù)龐大，所以可通過主成分分析法，簡(jiǎn)化并提取大部分有效信息，再用聚類分析對(duì)釀酒葡萄進(jìn)行分級(jí)最后根據(jù)釀酒葡萄對(duì)應(yīng)葡萄酒質(zhì)量的平均值大小進(jìn)行比較，排序分級(jí)接下來針對(duì)問題中分析釀酒葡萄與葡萄酒理化指標(biāo)之間的聯(lián)系，及上面整理好的數(shù)據(jù)，采用回歸分析原理，在 SPSS 中得到釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的聯(lián)系再通過相關(guān)分析，得出相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，從而得到相應(yīng)的判斷結(jié)論在分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標(biāo)之間的聯(lián)系時(shí)，還用到了多元線性回歸分析該模型用于生活實(shí)踐中，也可以解決很多實(shí)際問題3.2 回歸分析 回歸分析是利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)原理，對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理

32、，并確定因變量與某些自變量的相關(guān)關(guān)系，建立一個(gè)相關(guān)性較好的回歸方程，并加以外推，用于預(yù)測(cè)今后的因變量的變化的分析方法3.2.1 回歸分析的原理與方法回歸分析是在一組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上研究這樣幾個(gè)問題：建立因變量與自變量之間的回歸模型；對(duì)回歸模型的可信度進(jìn)行檢驗(yàn)；判斷每個(gè)自變量對(duì)因變量的影響是否顯著；判斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)；利用回歸模型對(duì)進(jìn)行預(yù)報(bào)或控制回歸分析主要包括一元線性回歸、多元線性回歸、非線性回歸回歸分析的主要步驟為：10（1）根據(jù)自變量和因變量的關(guān)系，建立回歸方程（2）解出回歸系數(shù)（3）對(duì)其進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，確定相關(guān)系數(shù)（4）當(dāng)符合相關(guān)性要求后，便可與具體條件結(jié)合，確定預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間.

33、需要注意的是，要盡可能定性判斷自變量的可能種類和個(gè)數(shù)，并定性判斷回歸方程的可能類型另外，最好應(yīng)用高質(zhì)量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，再運(yùn)用數(shù)學(xué)工具和相關(guān)軟件定量定性判斷3.2.2 回歸分析應(yīng)用實(shí)例例 3.2（2006 年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 B 題） 艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè).題目同例 2.1問題求解過程分析 由于題目具有開放性，故選擇文獻(xiàn)3中的求解思路進(jìn)行分析. 問題 2 的解決就用到回歸模型.首先分析數(shù)據(jù)知，應(yīng)建立時(shí)間的一次與二次函數(shù)模型，并經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析比較，確定哪種較好所以可建立一個(gè)統(tǒng)一的回歸模型，也可對(duì)每種療法分別建立一個(gè)模型以總體回歸模型為例，分別用一次與二次時(shí)間函數(shù)模型進(jìn)行比較，可知療

34、法用一次模型較優(yōu)，且一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，即在減少，從數(shù)值看療法 優(yōu)于療法314CD3和 ；療法用二次模型較優(yōu)，即先增后減，在左右達(dá)到最大可以通過2144CD20t條回歸曲線進(jìn)行比較，顯示療法在周之前明顯優(yōu)于其它最后再用檢驗(yàn)法作比4430較，結(jié)果是療法 與無顯著性差異，而療法 與 ，與 ， 與均有顯著性差異121323344 圖論建模方法圖論建模方法在建模競(jìng)賽中也經(jīng)常涉及，應(yīng)用十分廣泛，并且解法巧妙，方法靈活多變?nèi)?1990 年 B 題“掃雪問題” ，1991 年 B 題“尋找最優(yōu) Steiner 樹” ，1992 年B 題“緊急修復(fù)系統(tǒng)的研制” ，1993 年 B 題“足球隊(duì)排名” ，1994 年

35、 A 題“逢山開路問題” ，1994 年 B 題“鎖具裝箱問題” ，1995 年 B 題“天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度” ，1997年 B 題“截?cái)嗲懈畹淖顑?yōu)排列” ，1998 年 B 題“災(zāi)情巡視最佳路線” ，1999 年 B 題“鉆井布局” ，2007 年 B 題“城市公交線路選擇問題”等都應(yīng)用到了圖論的方法圖論近幾年來發(fā)展十分迅速，在物理、化學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息論、控制論、社會(huì)科學(xué)、軍事科學(xué)以及計(jì)算機(jī)管理等方面都有著廣泛的應(yīng)用因此圖論越來越受到了全世界數(shù)學(xué)界和工程技術(shù)界乃至經(jīng)營(yíng)決策管理者的重視同時(shí)也成11為了數(shù)學(xué)建模中一種十分重要的方法圖論問題算法很多，包括最短路、最大流、最小

36、生成樹、二分匹配、floyd、frim 等 4.1 兩種常見圖論方法介紹圖論中的圖是由平面上的一些點(diǎn)及這些點(diǎn)之間的連線（稱為邊）構(gòu)成的圖中的點(diǎn)表示要研究的離散對(duì)象，邊表示對(duì)象之間的關(guān)系用這些點(diǎn)和邊建立的離散對(duì)象來建立模型，通過這種辦法許多難題都可以被巧妙地解決所以圖論方法成為研究離散問題的一種重要手段由于圖論方法所包含的概念和定義較多，無法全部列舉在這里只就其中的兩種方法作介紹4.1.1 模擬退火法的基本原理模擬退火法是模擬熱力學(xué)中系統(tǒng)的降溫過程，當(dāng)孤立粒子系統(tǒng)的溫度以足夠慢的速度下降時(shí)，系統(tǒng)近似處于熱力學(xué)平衡狀態(tài)，最后系統(tǒng)將達(dá)到本身的最低能量狀態(tài)，即基態(tài)，這相當(dāng)于能量函數(shù)的全局極小點(diǎn)其步驟如

37、下(也稱為 Metropolis 過程)：（1）給定初始溫度，及初始點(diǎn)，計(jì)算該點(diǎn)的函數(shù)值；0T xf（2）隨機(jī)產(chǎn)生擾動(dòng)，得到新點(diǎn)計(jì)算新點(diǎn)函數(shù)值,及函數(shù)值差xxxx xf； xfxff（3）若，則接受新點(diǎn)，作為下一次模擬的初始點(diǎn)；0f（4）若，則計(jì)算新點(diǎn)接受概率：0f， TKffpexp產(chǎn)生區(qū)間上均勻分布的偽隨機(jī)數(shù) ,，如果，則接受新點(diǎn)作為下一 1 , 0r 1 , 0r rfp次模擬的初始點(diǎn)；否則放棄新點(diǎn)，仍取原來的點(diǎn)作為下一次模擬的初始點(diǎn)4.1.2 最短路問題最短路問題是一個(gè)有著廣泛應(yīng)用價(jià)值的問題，例如各種管道的鋪設(shè)，線路的安排，輸送網(wǎng)絡(luò)費(fèi)用等問題，都可以用到最短路求法12在解決實(shí)際問題時(shí)，

38、我們問題中的“邊權(quán)”可以有著各種不同的解釋例如在運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中，從 運(yùn)送一批貨物到，若“邊權(quán)”視為通常意義下的路程，則最短路問題vu就是使運(yùn)輸總路程最短的路線，若“邊權(quán)”表示運(yùn)輸時(shí)間，則最短路就是運(yùn)輸總時(shí)間最短的路線， “邊權(quán)”也可以代表費(fèi)用，這時(shí)相應(yīng)的就是總費(fèi)用最省的的路線4.2 圖論建模應(yīng)用實(shí)例例 4.2（2007 年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 B 題） 城市公交線路選擇問題.在 2007 年 B 題中，涉及到了北京公交車的換乘問題，為了使乘客利益最大化，需要設(shè)計(jì)一個(gè)“公交線路選擇自主查詢系統(tǒng)” ，其核心是線路選擇的模型，該模型必須考慮實(shí)際情況，滿足查詢者的各種不同需求要求解決如下問題：(

39、1)僅考慮公汽線路，給出任意兩公汽站點(diǎn)之間線路選擇問題的一般數(shù)學(xué)模型與算法 (2)同時(shí)考慮公汽與地鐵線路，解決以上問題(3)假設(shè)又知道所有站點(diǎn)之間的步行時(shí)間，請(qǐng)你給出任意兩站點(diǎn)之間線路選擇問題的數(shù)學(xué)模型問題求解過程分析 由于題目具有開放性，故選擇文獻(xiàn)5中的求解思路進(jìn)行分析. 由于在現(xiàn)實(shí)情況下，乘客一般不能乘坐一輛公交車就到達(dá)終點(diǎn)，可能會(huì)換乘，但要是頻繁倒車，會(huì)給乘客造成不便，也會(huì)增加車費(fèi)所以可針對(duì)城市公交線路選擇問題建立模型為了使問題簡(jiǎn)單化，我們分別以乘車時(shí)間、乘車費(fèi)用以及換乘次數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，得到各自的較優(yōu)線路，再通過對(duì)比，有效地處理這些線路，最終得出查詢系統(tǒng)給出的結(jié)果首先固定換乘次數(shù)，通過集合論的相關(guān)知識(shí)把確定換乘點(diǎn)的具體位置, 轉(zhuǎn)化成n確定一些集合間的交集，從而建立集合尋線算法，再根據(jù)集合相關(guān)公式，得到所有可行線路；進(jìn)一步考慮時(shí)間和費(fèi)用等因素，對(duì)可行線路進(jìn)行處理比較，得出最佳線路圖論模型中，通過圖論的知識(shí)將整個(gè)北京市交通線路構(gòu)建出一個(gè)有向圖，每個(gè)站點(diǎn)與有向圖的頂點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，同一線路上的相鄰站點(diǎn)對(duì)應(yīng)為有向邊，通過不同目標(biāo)（時(shí)間、費(fèi)用）給有向圖進(jìn)行不同的賦權(quán)，分別將不同目標(biāo)轉(zhuǎn)化為賦權(quán)有向圖尋找最短有向路，根據(jù)最短路徑算法，得到最佳線路最后綜合評(píng)價(jià)了兩個(gè)模型的優(yōu)缺點(diǎn)以每個(gè)站點(diǎn)為頂點(diǎn)，若站點(diǎn)到站點(diǎn)有公交線路并且與為相鄰站點(diǎn)，則連ABAB一條到有向邊，根據(jù)所給的站點(diǎn)與線路我們建立一