第五章線性系統(tǒng)的頻域分析

1、第五章控制系統(tǒng)的頻域分析第五章控制系統(tǒng)的頻域分析頻率特性分析法是分析線性系統(tǒng)的工程實用方頻率特性分析法是分析線性系統(tǒng)的工程實用方法。法。頻率響應頻率響應系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響 應。應。頻率特性頻率特性系統(tǒng)的頻率響應與對應頻率的正弦輸入系統(tǒng)的頻率響應與對應頻率的正弦輸入 信號之間幅值及相位的關(guān)系。信號之間幅值及相位的關(guān)系。 系統(tǒng)的頻率特性可以反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、穩(wěn)系統(tǒng)的頻率特性可以反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、穩(wěn)定性、暫態(tài)性能。定性、暫態(tài)性能。 用頻率特性研究控制系統(tǒng)性能的方法稱為控制用頻率特性研究控制系統(tǒng)性能的方法稱為控制系統(tǒng)的頻域分析方法系統(tǒng)的頻域分析方法

2、 第五章控制系統(tǒng)的頻域分析第五章控制系統(tǒng)的頻域分析 用頻域法分析線性系統(tǒng)的優(yōu)點：用頻域法分析線性系統(tǒng)的優(yōu)點：控制系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的頻率特性可以方便獲得，控制系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的頻率特性可以方便獲得，可以用曲線表示，使得可以用曲線表示，使得分析和設(shè)計可以用圖解的方分析和設(shè)計可以用圖解的方式進行。式進行。頻率特性頻率特性物理意義明確物理意義明確，可用實驗方法確定穩(wěn)，可用實驗方法確定穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性。對于某些對于對象機理了解不定系統(tǒng)的頻率特性。對于某些對于對象機理了解不充分的系統(tǒng)具有重要意義。充分的系統(tǒng)具有重要意義。3 .3 .可方便、直觀地可方便、直觀地分析多個參數(shù)變化對系統(tǒng)性能分析多個參數(shù)變化對系統(tǒng)性能

3、的影響，的影響，并能大致指出改善系統(tǒng)性能的途徑。并能大致指出改善系統(tǒng)性能的途徑。4.4.頻域設(shè)計可以頻域設(shè)計可以兼顧動態(tài)響應和噪聲抑制的要求兼顧動態(tài)響應和噪聲抑制的要求。頻率特性的概念頻率特性的概念設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個給系統(tǒng)輸入一個幅值不變幅值不變頻率頻率不斷增大不斷增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5=1=2=2.5=4曲線如下曲線如下:40不不結(jié)論結(jié)論給給穩(wěn)定穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦，其的系統(tǒng)輸入一個正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入是與輸入同頻率同頻率的正弦，幅值隨的正弦，幅值隨而而變變，相角，相角也是也是的函數(shù)。的函數(shù)

4、。5-1 頻率特性的概念一正弦穩(wěn)態(tài)響應與頻率特性的定義一正弦穩(wěn)態(tài)響應與頻率特性的定義 我們通過正弦穩(wěn)態(tài)響應來介紹我們通過正弦穩(wěn)態(tài)響應來介紹電路的頻率特性的概念電路的頻率特性的概念電路的傳遞函數(shù)為1111)()()(12sRCssUsUsG設(shè)輸入設(shè)輸入tUumsin11其拉氏變換為其拉氏變換為2211)(sUsUm則輸出的拉氏變換為2ujsCjsBsAsUssUssUmm/1/1/111)(22122125-1 5-1 頻率特性的概念頻率特性的概念)()(12/1121122jsejsejUsUjjmm求拉氏反變換，得)sin(112212212tUeUumtm其中arctg暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量5-

5、1 5-1 頻率特性的概念頻率特性的概念電路的頻率響應為電路的頻率響應為)sin(1lim2212tUumt)11sin(111jtjUm電路的頻率特性為電路的頻率特性為)()(11)(jeAjjG式中式中arctan)11()(1111)(22jjA為幅頻特性為相頻特性為相頻特性備注備注（）幅頻特性反映系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的穩(wěn)態(tài)衰減（或放大）特性（）相頻特性表示系統(tǒng)在不同頻率正弦信號下輸出的相位移（）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，令，可得系統(tǒng)的頻率特性。（）頻率特性包含了系統(tǒng)的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)js 頻率特性二頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系二頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系我們知道我們知道5-

6、1 頻率特性的概念頻率特性的概念零狀態(tài))()()(sRsCsGjsdtetrsRdtetcsCstst00)()()()(其中 頻率特性二頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系二頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系對零狀態(tài)響應應有對零狀態(tài)響應應有5-1 頻率特性的概念頻率特性的概念0)(00)(0)(00)(ttrttrttcttcjsdtetrsRdtetcsCstst)()()()(故有 頻率特性二頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系二頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系若若C(s)和和R(s)的收斂域包含虛軸的收斂域包含虛軸5-1 頻率特性的概念頻率特性的概念時，上式收斂則js 為付氏變換即有dtetrjRdtetcjCtjtj)()(

7、)()()()()(jRjCjG 頻率特性小結(jié)：頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系小結(jié)：頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系當當G(s) 的收斂域包含虛軸時，系統(tǒng)的頻率特性是的收斂域包含虛軸時，系統(tǒng)的頻率特性是零狀態(tài)響應與輸入的付氏變換之比。零狀態(tài)響應與輸入的付氏變換之比。5-1 頻率特性的概念頻率特性的概念)()()(jRjCjG頻率特性)()()(sRsCsG傳遞函數(shù)js sjjjj)(頻率特性可看作頻率特性可看作是傳遞函數(shù)的特是傳遞函數(shù)的特例，例，傳遞函數(shù)可看作傳遞函數(shù)可看作頻率特性的推廣。頻率特性的推廣。 頻率特性小結(jié)：頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系小結(jié)：頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系當當G(s) 的收斂域包含虛軸時，

8、系統(tǒng)的頻率特性是的收斂域包含虛軸時，系統(tǒng)的頻率特性是零狀態(tài)響應與輸入的付氏變換之比。零狀態(tài)響應與輸入的付氏變換之比。5-1 頻率特性的概念頻率特性的概念)()()(jRjCjG頻率特性)()()(sRsCsG傳遞函數(shù)js 頻率特性可以通頻率特性可以通過實驗獲得，這過實驗獲得，這為研究系統(tǒng)提供為研究系統(tǒng)提供了很大方便了很大方便sjjjj)(5-1 頻率特性的基本概念系統(tǒng)模型間的關(guān)系系統(tǒng)模型間的關(guān)系 頻率特性三頻率特性的數(shù)學表示三頻率特性的數(shù)學表示1 1、幅頻特性和相頻特性、幅頻特性和相頻特性G(jG(j) )一般是一個復數(shù)，可以寫為一般是一個復數(shù)，可以寫為5-1 頻率特性的概念頻率特性的概念)(

9、)()()()(AejGjGj相頻特性幅頻特性)()(A 頻率特性三頻率特性的數(shù)學表示三頻率特性的數(shù)學表示1 1、幅頻特性和相頻特性、幅頻特性和相頻特性例繪制例繪制 RC電路電路 的幅頻和相的幅頻和相頻特性，頻特性，其中其中jjG11)(sRC1解：arctgA)(11)(22，5-1 頻率特性的概念頻率特性的概念描點后可得RC電路的頻率特性圖列表 頻率特性三頻率特性的數(shù)學表示三頻率特性的數(shù)學表示2 2、幅相頻率特性圖、幅相頻率特性圖又稱極坐標圖，乃魁斯特圖用描點法繪制又稱極坐標圖，乃魁斯特圖用描點法繪制例2繪制慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率繪制慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性，其中特性，其中jjG11)(s 1解

10、：解：arctgA)(11)(22，5-1 頻率特性的概念頻率特性的概念描點后可得慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性圖列表3、對數(shù)頻率特性圖（伯德圖） 控制系統(tǒng)工作的頻率范圍很寬，且增益范圍很廣，用直接計算A()、 ()方式繪方式繪圖，圖，不太方便。 控制系統(tǒng)一般要求在低頻段要求對頻率特性的繪制細致一些，高頻段可以粗一些。這樣采用對數(shù)坐標比較方便。 對數(shù)頻率特性對數(shù)頻率特性分為對數(shù)幅頻特性L()和相頻特性()三頻率特性的數(shù)學表示三頻率特性的數(shù)學表示3 3、對數(shù)頻率特性圖（伯德圖）、對數(shù)頻率特性圖（伯德圖）1 1）對數(shù)幅頻特性）對數(shù)幅頻特性L() 對數(shù)幅頻特性的橫坐標為對數(shù)幅頻特性的橫坐標為lglg 縱坐標

11、為縱坐標為20lgA ()，單位為，單位為dB備注：備注： 橫坐標以橫坐標以10倍倍單位（單位（10倍頻）倍頻）為均勻刻度，即為均勻刻度，即 lg1=0，lg10=1，lg100=2，lg10k=k 縱坐標以縱坐標以20dB為均勻刻度，即為均勻刻度，即 dBAAAA20)()(lg2010)()(2121時，3 3、對數(shù)頻率特性圖（伯德圖）、對數(shù)頻率特性圖（伯德圖）2 2）對數(shù)相頻特性）對數(shù)相頻特性 () 對數(shù)相頻特性的橫坐標為對數(shù)相頻特性的橫坐標為lglg 縱坐標縱坐標() 例例3 3繪制慣性環(huán)節(jié)的伯德圖，繪制慣性環(huán)節(jié)的伯德圖，其中其中jjG11)(s1慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性為22221lg

12、2011lg20)(lg20)(AL（單位分貝，記為dB）相頻特性為相頻特性為arctg)(3 3、對數(shù)頻率特性圖（伯德圖）、對數(shù)頻率特性圖（伯德圖）伯德圖中的對數(shù)幅頻特性用近似曲線方法繪制。 b.當時，（在半對數(shù)坐標系中是直線方程，斜率為-20dB/dec,dec表示10倍頻程）1lg20)(La.當時，（在半對數(shù)坐標系中是和橫軸重合的水平線）101lg20)(L-20dB/decc. 稱為慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，水平線和斜率為20dB/dec的直線在該處連接。1慣性環(huán)節(jié) 近似曲線和精確曲線的最大誤差發(fā)生在處，為1dB32lg201lg20122相頻特性可用描點方法繪制，其特點是曲線關(guān)于奇對稱。

13、)51(，13 3、對數(shù)頻率特性圖（伯德圖）、對數(shù)頻率特性圖（伯德圖）備注：對數(shù)頻率特性的優(yōu)點備注：對數(shù)頻率特性的優(yōu)點 可以雙重展寬頻帶可以雙重展寬頻帶 低頻時，可以將頻率劃分得很細，便于細致分析穩(wěn)態(tài)性能低頻時，可以將頻率劃分得很細，便于細致分析穩(wěn)態(tài)性能 高頻時，將高頻段以高頻時，將高頻段以1010倍頻程拉近，便于看出變化趨勢。倍頻程拉近，便于看出變化趨勢。 對常見頻率特性可以通過疊加得到綜合結(jié)果，作對常見頻率特性可以通過疊加得到綜合結(jié)果，作圖方便圖方便 )(lg20)(),(lg20)(2211ALAL)()()(lg20)()()()(2121LLALAAA，小結(jié)：頻域特性的概念小結(jié)：頻域

14、特性的概念頻率響應頻率響應系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的穩(wěn)系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響態(tài)響 應。應。頻率特性頻率特性系統(tǒng)的頻率響應與對應頻率的正弦輸入系統(tǒng)的頻率響應與對應頻率的正弦輸入 信號之間幅值及相位的關(guān)系。信號之間幅值及相位的關(guān)系。 系統(tǒng)的頻率特性可以反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、穩(wěn)系統(tǒng)的頻率特性可以反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、穩(wěn)定性、暫態(tài)性能。定性、暫態(tài)性能。 用頻率特性研究控制系統(tǒng)性能的方法稱為控制用頻率特性研究控制系統(tǒng)性能的方法稱為控制系統(tǒng)的頻域分析方法系統(tǒng)的頻域分析方法 頻率特性頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系當當G(s) 的收斂域包含虛軸時，系統(tǒng)的頻率特性是的收斂域包含虛軸時

15、，系統(tǒng)的頻率特性是零狀態(tài)響應與輸入的付氏變換之比。零狀態(tài)響應與輸入的付氏變換之比。小結(jié)頻率特性的概念頻率特性的概念)()()(jRjCjG頻率特性)()()(sRsCsG傳遞函數(shù)js sjjjj)(頻率特性可看作頻率特性可看作是傳遞函數(shù)的特是傳遞函數(shù)的特例，例，傳遞函數(shù)可看作傳遞函數(shù)可看作頻率特性的推廣。頻率特性的推廣。小結(jié) 頻率特性的概念系統(tǒng)模型間的關(guān)系系統(tǒng)模型間的關(guān)系 頻率特性頻率特性的數(shù)學表示頻率特性的數(shù)學表示1 1、幅頻特性和相頻特性、幅頻特性和相頻特性G(jG(j) )一般是一個復數(shù)，可以寫為一般是一個復數(shù)，可以寫為小結(jié) 頻率特性的概念頻率特性的概念)()()()()(AejGjGj

16、相頻特性幅頻特性)()(A 頻率特性頻率特性的數(shù)學表示頻率特性的數(shù)學表示2 2、幅相頻率特性圖、幅相頻率特性圖又稱極坐標圖，乃魁斯特圖用描點法繪制又稱極坐標圖，乃魁斯特圖用描點法繪制小結(jié)頻率特性的概念頻率特性的概念)()()()()(AejGjGj頻率特性的數(shù)學表示頻率特性的數(shù)學表示3 3、對數(shù)頻率特性圖（伯德圖）、對數(shù)頻率特性圖（伯德圖）1 1）對數(shù)幅頻特性）對數(shù)幅頻特性L() 對數(shù)幅頻特性的橫坐標為對數(shù)幅頻特性的橫坐標為lglg，以以10倍倍單位單位（10倍頻）倍頻）為均勻刻度為均勻刻度 縱坐標為縱坐標為20lgA ()，單位為，單位為dBdBAAAA20)()(lg2010)()(212

17、1時，小結(jié)頻率特性的概念頻率特性的概念2 2）對數(shù)相頻特性）對數(shù)相頻特性 ( () ) 對數(shù)相頻特性的橫坐標為對數(shù)相頻特性的橫坐標為lglg 縱坐標縱坐標( () )對數(shù)頻率特性的優(yōu)點對數(shù)頻率特性的優(yōu)點 可以雙重展寬頻帶可以雙重展寬頻帶 低頻時，可以將頻率劃分得很細，便于細致低頻時，可以將頻率劃分得很細，便于細致分析穩(wěn)態(tài)性能分析穩(wěn)態(tài)性能 高頻時，將高頻段以高頻時，將高頻段以1010倍頻程拉近，便于看倍頻程拉近，便于看出變化趨勢。出變化趨勢。 對常見頻率特性可以通過疊加得到綜合結(jié)果，對常見頻率特性可以通過疊加得到綜合結(jié)果，作圖方便作圖方便 小結(jié) 頻率特性的概念頻率特性的概念5-2 典型環(huán)節(jié)的頻率

18、特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性 我們上一節(jié)介紹了頻率特性的概念，繪制控制系統(tǒng)的頻率特性是進行頻域分析的基礎(chǔ)。 控制系統(tǒng)通常由典型環(huán)節(jié)經(jīng)過級聯(lián)、并聯(lián)、反饋等連接方式組合而成，所以要了解控制系統(tǒng)的頻率特性，首先要掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性。 熟練掌握各種典型環(huán)節(jié)的頻率特性，對于繪制反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性很有幫助。對控制系統(tǒng)的頻域分析具有重要的意義。5-2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性 常見的典型環(huán)節(jié)有ssGssGKsG1)()()(積分微分比例1)(11)(ssGTssG一階微分慣性12)(121)(2222TssTsGTssTsG二階微分二階振蕩sesG)(延遲一一. .比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)

19、的傳函為常數(shù)，它的特點是其輸出能夠無失真和無滯后地復現(xiàn)輸入信號5-2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性0)(lg20)()(KLKjG對數(shù)幅頻特性為一直線一一. .比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)二微分環(huán)節(jié)二微分環(huán)節(jié)90)(lg20)()()(2LejjGssGj它的輸出量是輸入量對時間的微分三積分環(huán)節(jié)三積分環(huán)節(jié) ssG1)(2)(1)(11)(2AejjGj2相頻特性恒為成反比幅頻特性與上式表明，積分環(huán)節(jié)的它的輸出量是輸入量對時間的積分頻率特性90)(lg201lg20)(L轉(zhuǎn)折點轉(zhuǎn)折點三積分環(huán)節(jié)三積分環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性對數(shù)頻率特性四慣性環(huán)節(jié)四慣性環(huán)節(jié)jTjG11)(22221lg2011lg20)(lg

20、20)(TTALarctgT)(誤差曲線誤差曲線四慣性環(huán)節(jié)四慣性環(huán)節(jié)四慣性環(huán)節(jié)四慣性環(huán)節(jié)幅相圖222211111)(TTjTjTjG222)21()(21)(QP)()(jQP五一階微分環(huán)節(jié))(2211)(1)(jejjGssGarctgLA)(1lg20)(1)(2222六振蕩環(huán)節(jié)六振蕩環(huán)節(jié)1212)(22222TssTsssGnnn時間常數(shù)阻尼比，自然振蕩角頻率TTn1我們只討論欠阻尼情況，因為過阻尼可分解成兩個慣性環(huán)節(jié))(22)(211)(jeATTjjG六、振蕩環(huán)節(jié) 1、伯特圖22222212)(211)(TTarctgTTA222221lg20)(lg20)(TTAL121)(22T

21、ssTsG在低頻段（），T10)(, 1)(LA在高頻段（），T1)lg(40)(,1)(22TLTA 可見低頻段漸近線為過0dB的水平線，高頻段漸進線是一條斜率為40dB/dec的直線T1交接頻率為222221lg20)(lg20)(TTAL六、振蕩環(huán)節(jié)六、振蕩環(huán)節(jié) 1、伯特圖、伯特圖對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性在轉(zhuǎn)折頻率附近，實際幅頻特性與漸近線之間存在較大的誤差。)2lg(202)(1 lg20)(22nnnnnnL時2098.1344. 4092. 21 . 5)()(05. 01 . 03 . 05 . 07 . 09 . 0LdB諧振峰稱之為迅速增大，形成峰值，時，可見，)(3 . 0

22、L六、振蕩環(huán)節(jié)六、振蕩環(huán)節(jié) 1、伯特圖、伯特圖對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性六、振蕩環(huán)節(jié)六、振蕩環(huán)節(jié) 1 1、伯特圖、伯特圖對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性 振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性，可以在漸近線的基礎(chǔ)上，根據(jù)書上誤差校正曲線進行修正六、振蕩環(huán)節(jié)六、振蕩環(huán)節(jié) 1 1、伯特圖、伯特圖對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性相頻特性采用描點方式六、振蕩環(huán)節(jié)六、振蕩環(huán)節(jié) 1 1、伯特圖、伯特圖相頻特性相頻特性2212)(TTarctg00180)(90)(0)(0n六、振蕩環(huán)節(jié)六、振蕩環(huán)節(jié) 1 1、伯特圖、伯特圖相頻特性相頻特性21)(0)(0jjGjGn六振蕩環(huán)節(jié)六振蕩環(huán)節(jié) 2、幅相圖、幅相圖nnjTjTjG2)(1 1211)

23、(222）（1215 . 00)(時，當jG2 2、幅相圖、幅相圖七、二階微分環(huán)節(jié)TjTjGTssTsG21)(1012)(2222222222222212)(21 lg20)(21 )(TTarctgTTLTTA可見，二階微分環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性和振蕩環(huán)節(jié)正好關(guān)于橫軸對稱，可以非常方便地繪出頻率特性七、二階微分環(huán)節(jié)八滯后環(huán)節(jié)八滯后環(huán)節(jié)jsejGesG)()(相位滯后角與 成正比。越大，相位滯后隨的增長越快0)(lg20)()(, 1)(ALA小結(jié)小結(jié) 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)ssGssGKsG1)()()(積分微分比例1)(11)(ssGTssG一階微分慣性12)(121)(

24、2222TssTsGTssTsG二階微分二階振蕩sesG)(延遲小結(jié)小結(jié) 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)ssGssGKsG1)()()(積分微分比例小結(jié)小結(jié) 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)1)(11)(ssGTssG一階微分慣性小結(jié)小結(jié) 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)121)(22TssTsG二階振蕩小結(jié)小結(jié) 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)sesG)(延遲5-3 控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制控制系統(tǒng)是由典型環(huán)節(jié)組成的，熟悉了典型環(huán)節(jié)的特性，就不難繪制控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性了一各型別系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性的特點一各型別系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性的特點

25、)1)(1 ()(21sTsTKsG0型系統(tǒng)幅相頻率特性)1)(1 ()(21jTjTKjG2212221212211 )1(）（）（TTTTTTjTTK)(1)1(180)(, 0)()()0()0(21210TTjTTjGjGAKjGA幅相頻率特性特點：特點：（） =0，曲線起始于正實軸的（，）點（） ，曲線沿(nm)90的方向趨近于坐標原點其中n為傳遞函數(shù)分母階次，m為分子階次)1)(1 ()(21jTjTKjG型系統(tǒng)型系統(tǒng))1()(ssKsG)1()(jjKjG)(0)()(2)0(0()0(jGAjGA）221KjK)(212arctgK型系統(tǒng))1()(jjKjG特點：（）時，是一條

26、平行于虛軸，趨向無窮遠的直線090)(,)(A的方向趨近于坐標原點（曲線沿）（0018090)90)()(, 0)(,2mnmnA型系統(tǒng)型系統(tǒng))1()(2ssKsG)1()()(2jjKjG)()()1()(222arctgKA)1 ()1 (22222KjK型系統(tǒng)型系統(tǒng))1()()(2jjKjG特點：（），是一條和實軸平行伸向無窮遠的直線0180)(,)(A幅相頻率特點的方向趨于原點。曲線沿0027090)(,90)()(, 0)(,)2(mnmnA4 4 一般一般NyquistNyquist圖的繪制思路圖的繪制思路)()()(jejGjG 繪制系統(tǒng)的乃氏圖時，必須寫出開環(huán)系統(tǒng)的相位繪制系統(tǒng)

27、的乃氏圖時，必須寫出開環(huán)系統(tǒng)的相位表達式和幅頻特性表達式表達式和幅頻特性表達式m1nii 1K(s1)G(s)H(s)s(Ts1)m1nii 1K(j1)G(j )H(j )(j )(jT1) m221n22ii 1K1A( )T1 mni1i 1( )90arctanarctanT 4 4 一般一般NyquistNyquist圖的繪制思路圖的繪制思路1 1）、確定幅相曲線的起點和終點）、確定幅相曲線的起點和終點可得低頻段乃氏圖：可得低頻段乃氏圖：0( 0 )( 0 )lim()vKG jH jj （1）起點（低頻段）：）起點（低頻段）：m1nii 1K(j1)G(j )H(j )(j )(j

28、T1) （）終點（高頻段）：（）終點（高頻段）：此時，這時頻率特此時，這時頻率特性與分子分母多項式階次之差有關(guān)。分析可得性與分子分母多項式階次之差有關(guān)。分析可得如下結(jié)論：如下結(jié)論：nm limj0nmG limj2Gnm KImRe0v 1v 2v 3v GH平面3mn2mn1mn終點處幅值：終點處幅值：終點處相角終點處相角：3 3）. . 開環(huán)幅相特性曲線的變化規(guī)律開環(huán)幅相特性曲線的變化規(guī)律 分子上有時間常數(shù)的環(huán)節(jié)，幅相特性的相位超前，曲線向分子上有時間常數(shù)的環(huán)節(jié)，幅相特性的相位超前，曲線向逆時針方向變化逆時針方向變化分母上有時間常數(shù)的環(huán)節(jié)，相位滯后，幅相特性曲線向順分母上有時間常數(shù)的環(huán)節(jié)，

29、相位滯后，幅相特性曲線向順時針方向變化時針方向變化令實部等于令實部等于0，求出，求出 代入虛部，得到與虛軸的交點。代入虛部，得到與虛軸的交點。（）曲線與實軸交點（）曲線與實軸交點：令虛部為，：令虛部為，2 2）、確定乃氏圖與實軸、虛軸交點）、確定乃氏圖與實軸、虛軸交點 Imj0G g或或 ggj0, 1,Gkk （）乃氏圖與虛軸交點的求取：（）乃氏圖與虛軸交點的求?。?求出求出代入實部，即得到與實軸的交點；代入實部，即得到與實軸的交點；例：開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為例：開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為 試繪制該系統(tǒng)的極坐標圖試繪制該系統(tǒng)的極坐標圖解解: : 確定乃氏曲線與實軸、虛軸交點；確定乃氏曲線與實軸、虛軸

30、交點；曲線與實軸交點：曲線與實軸交點：令令 ImG(jImG(j )H(j)H(j )=0 )=0 求出求出 =10=10代入頻率特性的實部得代入頻率特性的實部得ReG(jReG(j1010)H(j)H(j1010)=-0.4)=-0.4，乃氏圖與負實軸的交點為乃氏圖與負實軸的交點為(-0.4,j0)(-0.4,j0)。曲線與虛軸交點：曲線與虛軸交點：令令ReG(jReG(j )H(j)H(j )=0)=0，求出，求出 =。表明幅相特性曲線只在坐標原點處與虛軸相交。表明幅相特性曲線只在坐標原點處與虛軸相交。 10j10.210.05Gjjj 小結(jié) 繪制控制系統(tǒng)開環(huán)幅相圖應注意如下問題繪制控制系

31、統(tǒng)開環(huán)幅相圖應注意如下問題 幅相圖的起點 0型，起于實軸（K，j0)處 I I型，起于虛軸（ReG(0)，-j)處 IIII型，起于實軸（-, jImG(0)處 幅相圖的終點 n-m=1,沿-900方向趨于原點 n-m=2,沿-1800方向趨于原點 n-m=3,沿-2700方向趨于原點 幅相圖穿越實軸和虛軸點 幅相圖穿越單位圓對應的角度和角頻率二系統(tǒng)伯德圖的繪制二系統(tǒng)伯德圖的繪制 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)由n個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成)()()()(,)()()()()()()()()()()(21)()(1)(21211njnjjnnAAAAeAeAeAjGjGjGjGsGsGsGsGn5-3 控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特

32、性的繪制)()()()()()()()(2121nLLLLn二系統(tǒng)伯德圖的繪制二系統(tǒng)伯德圖的繪制 可見，當開環(huán)系統(tǒng)由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時，其對數(shù)幅頻特性和相頻特性分列為各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性之和 因此繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的方法之一，就是畫出各環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性，然后相加例例1 1)1)(1 ()(21jjKjG21222221)(1lg201lg20lg20)(arctgarctgKL22212211)(KA例例2 264)(05. 01)21 ()5 . 01 (4)(2jjjjjjG1.為避免差錯，必須將為避免差錯，必須將 化成如上標準形式，化成如上標準形式，即典型環(huán)節(jié)頻

33、率特性的乘積。即典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積。寫出幅頻特性、對數(shù)幅頻特性和相頻特性表達式寫出幅頻特性、對數(shù)幅頻特性和相頻特性表達式)(jG22222)05. 0()641 ()2(1)5 . 0(14)(A)641 (05. 02905 . 0)()05. 0()641 (lg20)2(1lg20lg20)5 . 0(1lg204lg20)(222222arctgarctgarctgL22222)05. 0()641 (lg20)2(1lg20lg20)5 . 0(1lg204lg20)(L)641 (05. 02905 . 0)(2arctgarctgarctg比例環(huán)節(jié)：， 20lg4=12dB積

34、分環(huán)節(jié)：lg201j2.分析組成系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)，并按轉(zhuǎn)折頻率從大到小的順序列出)641 (05. 02905 . 0)()05. 0()641 (lg20)2(1lg20lg20)5 . 0(1lg204lg20)(222222arctgarctgarctgL5 . 01, 2,211111轉(zhuǎn)折頻率j21, 5 . 0,5 . 01222轉(zhuǎn)折頻率j81, 2 . 0,81,64)(05. 0113332jj慣性環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：選定伯德圖各坐標軸的比例尺，和頻率范圍，選定伯德圖各坐標軸的比例尺，和頻率范圍，一般取最低頻率為最小轉(zhuǎn)折頻率的一般取最低頻率為最小轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，最

35、左右，最高頻率為最大轉(zhuǎn)折頻率的倍左右，注意，高頻率為最大轉(zhuǎn)折頻率的倍左右，注意，軸軸是對數(shù)刻度，最低頻率不可能取作是對數(shù)刻度，最低頻率不可能取作在取最低頻率為在取最低頻率為0.1，最高頻率為，最高頻率為100 從低頻到高頻畫出對數(shù)幅頻特性的漸近線從低頻到高頻畫出對數(shù)幅頻特性的漸近線1低頻漸近線低頻漸近線斜率為斜率為-20vdB/dec-20vdB/dec的直線，其中的直線，其中v v為積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，為積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，在處，漸近線通過在處，漸近線通過20lgK20lgK1dBL12)(, 1lg20lg20)(, 0KL本例中，本例中，v=1, 20lg4=12dB,v=1, 20lg4=12

36、dB,作斜率為作斜率為-20dB/dec-20dB/dec的直線且有的直線且有 0.1 0.5 1 12dBL()22222)05. 0()641 (lg20)2(1lg20)5 . 0(1lg20lg204lg20)(L 0.1 0.5 1 2 12dBL()在最小轉(zhuǎn)折頻率處，漸近線在最小轉(zhuǎn)折頻率處，漸近線斜率由斜率由-20dB/dec-20dB/dec變?yōu)樽優(yōu)?40dB/dec-40dB/dec，這是慣性環(huán)節(jié)這是慣性環(huán)節(jié) 起作用的結(jié)果起作用的結(jié)果5 . 01211j22222)05. 0()641 (lg20)2(1lg20)5 . 0(1lg20lg204lg20)(L 0.1 0.5

37、1 12dBL()當頻率高于轉(zhuǎn)折頻率當頻率高于轉(zhuǎn)折頻率 時，時，一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié) 將起作用，漸近線斜將起作用，漸近線斜率從率從-40dB/dec-40dB/dec變?yōu)樽優(yōu)? -20dB/dec.20dB/dec.22251j822222)05. 0()641 (lg20)2(1lg20)5 . 0(1lg20lg204lg20)(L 0.1 0.5 1 12dBL()考慮振蕩環(huán)節(jié)的作用，在考慮振蕩環(huán)節(jié)的作用，在 處，漸近處，漸近線的斜率將有線的斜率將有-40dB/dec-40dB/dec的改變，形成斜率為的改變，形成斜率為- -60dB/dec60dB/dec的漸近線的漸近線. .28

38、8322222)05. 0()641 (lg20)2(1lg20)5 . 0(1lg20lg204lg20)(L 4必要時，按誤差校正曲線，對漸近線進行修必要時，按誤差校正曲線，對漸近線進行修正，得到精確的對數(shù)幅頻特性。正，得到精確的對數(shù)幅頻特性。5根據(jù)各環(huán)節(jié)的相頻特性，可以繪制系統(tǒng)的相根據(jù)各環(huán)節(jié)的相頻特性，可以繪制系統(tǒng)的相頻特性頻特性190124127130122)(5 .在分析和設(shè)計系統(tǒng)時，往往對對數(shù)幅頻在分析和設(shè)計系統(tǒng)時，往往對對數(shù)幅頻特性曲線與特性曲線與軸交點頻率軸交點頻率稱剪切頻率附近稱剪切頻率附近的相頻特性比較感興趣因此也可以在附的相頻特性比較感興趣因此也可以在附近取幾個頻率點，代

39、入的表達式，用解近取幾個頻率點，代入的表達式，用解析的方法求出相頻特性的幾個點低頻段和析的方法求出相頻特性的幾個點低頻段和高頻段均可按的變化趨勢畫出如此例高頻段均可按的變化趨勢畫出如此例有有c)()(小結(jié)：繪制L()的步驟 1、繪制低頻漸近線lg20lg20)(, 0KLKLlg20)(, 1decdB/20斜率為decdBdecdBIII/40/2000斜率小結(jié)：繪制L()的步驟2、找出轉(zhuǎn)折頻率3、從高到低依次在轉(zhuǎn)折頻率處變化漸近線斜率decdBTdecdBTdecdBdecdBlkji/401/201/401/201二階振蕩一階慣性二階微分一階微分斜率變化轉(zhuǎn)折頻率環(huán)節(jié)小結(jié)：繪制L()的步驟

40、4、對與橫軸相交頻率附近的轉(zhuǎn)折頻率點，根據(jù)需要進行修正。三最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)三最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng) 具有相同幅頻特性的系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相具有相同幅頻特性的系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小。最小相位名稱由此得到。角變化范圍最小。最小相位名稱由此得到。 如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在復平面s的右半面既沒有極點、也沒有零點，則稱該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)。反之，則稱為非非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)。1 1、最小相位系統(tǒng)的定義、最小相位系統(tǒng)的定義5-3 控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制211212,11)(,11)(TTjTjTjGSTSTSGaajTjTjGSTSTSGab12121

41、1)(,11)(三最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)三最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)例如，設(shè)a和b兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和頻率特性分別為: 相頻特性卻不同,分別為:2121arctanarctan)(arctanarctan)(TTTTba 這兩個系統(tǒng)的幅頻特性是相同的,即：2221)1(120lg)1(120lg)(TTL三最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)三最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的伯德圖最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的伯德圖 1、最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性之間有著確定的最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性之間有著確定的單值關(guān)系。單值關(guān)系。因此，可以由最小相位系統(tǒng)的幅頻特性得

42、出系統(tǒng)因此，可以由最小相位系統(tǒng)的幅頻特性得出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。的傳遞函數(shù)。 然而，對于非最小相位系統(tǒng)而言，上述關(guān)系是不成立的。 2、最小相位系統(tǒng)的零極點均在左半平面，非最小相位穩(wěn)定最小相位系統(tǒng)的零極點均在左半平面，非最小相位穩(wěn)定系統(tǒng)的極點均在左半平面，但是有右半平面的零點。一般我們系統(tǒng)的極點均在左半平面，但是有右半平面的零點。一般我們所說非最小相位系統(tǒng)是指這一類系統(tǒng)。所說非最小相位系統(tǒng)是指這一類系統(tǒng)。 這一類非最小相位系統(tǒng)的逆系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。這一類非最小相位系統(tǒng)的逆系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。 3、 含有滯后環(huán)節(jié)或含有滯后環(huán)節(jié)或不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，也屬于非最小相不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，也屬于非最小相位系統(tǒng)位系統(tǒng)

43、。說明說明: :例例 某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖所示，某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖所示，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。解解 由圖可見，開環(huán)傳遞函數(shù)包含由圖可見，開環(huán)傳遞函數(shù)包含有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、兩個慣有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、兩個慣性環(huán)節(jié)性環(huán)節(jié) 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為) 181)(11 . 01()()(sssKsHsG由圖可見20lg020lg1lg10K 所以K K=10=10。因此，所求開環(huán)傳遞函數(shù)) 1125. 0)(110(10)()(ssssHsG 20lg20 lg1lg1020K 例 2 有二個單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)分別為比較它們對數(shù)頻率特性

44、解：中含有滯后環(huán)節(jié)，為非最小相位系統(tǒng)sesKsGsKsG1)(,1)(1211)(2sG3 .57)(1)()(1)(1221211212arctgKAarctgKA)(L)(090)(1decdB/20)(2115-4頻域穩(wěn)定性判據(jù) 勞斯判據(jù)：可以根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 前提：必須知道系統(tǒng)的數(shù)學模型 特點：一般得到的是絕對穩(wěn)定性信息頻域穩(wěn)定性判據(jù)（Nyquist判據(jù))： 可以根據(jù)開環(huán)頻率特性G(j)H(j)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 特點：（1 1）既可以通過模型判斷，又可通過物理）既可以通過模型判斷，又可通過物理測量判斷，便于使用測量判斷，便于使用 （2 2）不但可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)

45、定性，還可用于系）不但可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可用于系統(tǒng)的綜合統(tǒng)的綜合5-4頻域穩(wěn)定性判據(jù) 一、開環(huán)極點與閉環(huán)極點的關(guān)系一、開環(huán)極點與閉環(huán)極點的關(guān)系 設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫為設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫為的多項式均為、其中，ssNsMsNsMsHsG)()()()()()(的根開環(huán)極點：的根開環(huán)零點：0)(0)(sNsM5-4頻域穩(wěn)定性判據(jù) 一、開環(huán)極點與閉環(huán)極點的關(guān)系一、開環(huán)極點與閉環(huán)極點的關(guān)系 設(shè)設(shè)N(sN(s) )的階次為的階次為n n，M(sM(s) )的階次為的階次為m m，當為單位反，當為單位反饋系統(tǒng)時，閉環(huán)傳遞函數(shù)饋系統(tǒng)時，閉環(huán)傳遞函數(shù)求出閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點由0)()(

46、)()()()()(1)()()(1)()(sNsMsMsNsMsNsMsNsMsGsGs5-4頻域穩(wěn)定性判據(jù) 一、開環(huán)極點與閉環(huán)極點的關(guān)系一、開環(huán)極點與閉環(huán)極點的關(guān)系 說明：如果是非單位反饋系統(tǒng)，可以分析得出，說明：如果是非單位反饋系統(tǒng)，可以分析得出，分母多項式不會改變，既閉環(huán)系統(tǒng)的極點不變。分母多項式不會改變，既閉環(huán)系統(tǒng)的極點不變。)()()()(1)()()()(1)()(sNsNsMsMsNsMsHsGsGsHGHGGG)()()()()()()()()()(sMsNsMsNsMsMsNsNsMsNGHHGHGGH5-4頻域穩(wěn)定性判據(jù) 一、開環(huán)極點與閉環(huán)極點的關(guān)系一、開環(huán)極點與閉環(huán)極點

47、的關(guān)系 做一輔助函數(shù)做一輔助函數(shù))()()()()(1)()(1)(sNsMsNsNsMsHsGsF開環(huán)傳函極點的極點閉環(huán)傳函極點的零點則：)()(sFsF 可見，可見，F(xiàn)(s)既可以反映開環(huán)極點的特性，又可既可以反映開環(huán)極點的特性，又可以反映閉環(huán)極點的特性，我們就是利用這個關(guān)系來以反映閉環(huán)極點的特性，我們就是利用這個關(guān)系來推斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的推斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的5-4頻域穩(wěn)定性判據(jù) 一、開環(huán)極點與閉環(huán)極點的關(guān)系一、開環(huán)極點與閉環(huán)極點的關(guān)系 備考：備考：環(huán)特征多項式之比為閉環(huán)特征多項式與開)(sF1)()()()(差常數(shù)與開環(huán)傳遞函數(shù)個的零點和極點均為sHsGsFnsF5-4頻域穩(wěn)定性判據(jù)二幅角原

48、理和二幅角原理和NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)1、幅角原理)()()(00sFsssFssF即射，均可以找到唯一的映對任一非奇異時，當?shù)膶嵱欣砗瘮?shù)是設(shè)平面上連續(xù)變動也在平面連續(xù)變動時，在當)()(00sFsFss5-4頻域穩(wěn)定性判據(jù)二幅角原理和二幅角原理和NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)1、幅角原理必須非奇異）上（注意在運動時平面一條閉合曲線沿當)(0sFss的像為我們稱，平面上對應的封閉曲線對應一定可以得到)(sF5-4頻域穩(wěn)定性判據(jù)二幅角原理和二幅角原理和NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)幅角原理幅角原理圈以順時針方向繞原點轉(zhuǎn)將沿轉(zhuǎn)一周時沿順時針方向繞則

49、當個極點個零點和的平面上包圍了在若NsFspzsFs)()(pzN二幅角原理和二幅角原理和NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)2 2、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)的特征根都具有負實部，或均在左半s平面。( )( )( )( )1( )( )C sG ssR sG s H s 5-4頻域穩(wěn)定性判據(jù)我們知道：F F( (s s)=1+G(S)H(S)=1+G(S)H(S)具有如下特點： F(s)的零點是系統(tǒng)的閉環(huán)極點； F(s)的極點是開環(huán)極點；因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件為：因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件為：F(s)的零點均具有負實部，或者說F(s)的所有零點都不在s

50、平面的右半平面。 為了將幅角定理應用于頻率域判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，選取s平面上的封閉曲線使之包圍整個s右半平面,稱奈奎斯特回線，簡稱乃氏回線。由兩部分構(gòu)成：（1）沿虛軸自下而上的直線1（從s= -j到s= +j）；（2）右半平面上半徑為無窮大的半圓2.二幅角原理和二幅角原理和NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)2 2、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)1：s=j2 : s=Rej(R, :/2-/2二幅角原理和二幅角原理和NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)2 2、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)當當s s沿沿順時針轉(zhuǎn)順時針轉(zhuǎn)1 1圈時，圈時，F(xiàn)(sF(s) )沿沿 繞原點順

51、時針繞原點順時針轉(zhuǎn)N圈N=Z-P 或或 Z=N+PP P為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上的極點為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上的極點。當當Z=0Z=0時，系統(tǒng)穩(wěn)定時，系統(tǒng)穩(wěn)定， （1 1） P=0P=0時，系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，時，系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，此時此時 N=0N=0 , ,即即 不包圍原點不包圍原點時，系統(tǒng)穩(wěn)定時，系統(tǒng)穩(wěn)定； （2 2）P0P0, ,系統(tǒng)在右半平面有系統(tǒng)在右半平面有P P個極點，個極點，此時此時 N = -P ，即，即 逆時針繞原點轉(zhuǎn)逆時針繞原點轉(zhuǎn)P P圈時圈時，系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)穩(wěn)定F(s)=1+G(s)H(s)G(s)H(s) =F(s)-1故：故：映射曲線映射曲線F(sF(s) ) 繞繞F(s

52、F(s) )平面原點平面原點(0(0，0)0)逆時針轉(zhuǎn)一圈，就相當于逆時針轉(zhuǎn)一圈，就相當于G(s)H(sG(s)H(s) )繞繞(-1,j0)(-1,j0)點逆時針旋點逆時針旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)1 1周。周。于是可以根據(jù)于是可以根據(jù)G(s)H(sG(s)H(s) ) 映映射曲線的運動狀況判斷系統(tǒng)射曲線的運動狀況判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。 （1 1） 1段段ImRe1 GH 0 ImRe G s H s( (- -1 1, ,j j0 0) )1 1平平面面 1 G s H s G s H s平平面面此時此時 s=js=j，代入代入G G(s)H(s(s)H(s) )中，中，令令=-=-，可逐點繪出，可逐點

53、繪出G(jG(j）H(jH(j) ) 。（即。（即開環(huán)頻率特性曲線，亦稱開環(huán)頻率特性曲線，亦稱奈奎斯特曲線）奈奎斯特曲線） （2 2） 2段段此段中此段中R=R=, ,相當于相當于ss，由，由于于nmnm，所以，所以 1( )( )n mKG s H ss 當當mnm0, 0, 所以開環(huán)無右極點，所以開環(huán)無右極點，p=0, p=0, 且曲線不包圍且曲線不包圍(-(-1,j0) 1,j0) 點，故系統(tǒng)穩(wěn)定。點，故系統(tǒng)穩(wěn)定。) 12)(1(14)()(2sssssHsG，V=2， 乃氏曲線順時針包乃氏曲線順時針包圍圍(-1,j0)點點2周，周，N=2，故故 z=N+P=2，例3所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩

54、個閉環(huán)極點在右半面說明說明1 1）奈奎斯特曲線總是對稱于實軸，因此實際過程中一般可）奈奎斯特曲線總是對稱于實軸，因此實際過程中一般可以僅畫出一半以僅畫出一半2 2）奈奎斯判據(jù)：若）奈奎斯判據(jù)：若=-=-變化時，變化時，G(jw)H(jwG(jw)H(jw) )逆時針逆時針繞繞(-1(-1，j0)j0)點點N N周，則周，則N = P-ZN = P-Z，即右半平面的閉極點數(shù)為，即右半平面的閉極點數(shù)為z=P-N ,z=P-N ,若若P=NP=N則穩(wěn)定。則穩(wěn)定。若只畫一半，則包圍圈數(shù)若只畫一半，則包圍圈數(shù)N=P/2 N=P/2 時，時，穩(wěn)定穩(wěn)定3 3）開環(huán)串有）開環(huán)串有v v個積分環(huán)節(jié)時，個積分環(huán)節(jié)

55、時， =0-0=0-0+ +時，時， G(jG(j)H(j)H(j) )從從0_0_經(jīng)經(jīng)0 0到到0+0+以順時針方向以無窮大半徑的圓繞過以順時針方向以無窮大半徑的圓繞過vv若僅畫出若僅畫出=0=0，則則=0-0=0-0+ +映射曲線應以映射曲線應以R=R=為半徑從為半徑從=0=0順時針轉(zhuǎn)過順時針轉(zhuǎn)過 vv/2./2. 4 4）實際上，做乃氏曲線時，總是先有）實際上，做乃氏曲線時，總是先有0+ 0+ 的位置，故一般的位置，故一般是從是從=0=0+ +的位置，逆時針補畫的位置，逆時針補畫vv/2/2。四、根據(jù)四、根據(jù)BodeBode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性1 1、開環(huán)頻率特性的乃氏圖

56、與伯德圖之間的關(guān)系、開環(huán)頻率特性的乃氏圖與伯德圖之間的關(guān)系1)、 乃氏圖上乃氏圖上| |G G( (j j) )H H( (j j)|=1)|=1的單位圓與對數(shù)幅頻特性圖的單位圓與對數(shù)幅頻特性圖中的中的0dB0dB線相對應。線相對應。 單位圓內(nèi)的部分，相當于單位圓內(nèi)的部分，相當于L() 0的部分，即的部分，即0dB 以上。以上。2) 、乃氏圖中的負實軸對應于伯德圖上相頻特性的乃氏圖中的負實軸對應于伯德圖上相頻特性的-180-180度線。度線。 5-4頻域穩(wěn)定性判據(jù)2 2、奈奎斯特圖上頻率特性曲線穿越的概念、奈奎斯特圖上頻率特性曲線穿越的概念如果開環(huán)頻率特性曲線起始或終止于如果開環(huán)頻率特性曲線起

57、始或終止于(-1, (-1, j j0)0)點左側(cè)負實軸，點左側(cè)負實軸，稱為稱為半次穿越半次穿越，記為，記為N N+=1/2+=1/2或或N N-=1/2-=1/2。隨著隨著增加，乃氏曲線逆時針（自上而下）穿過負實軸時，增加，乃氏曲線逆時針（自上而下）穿過負實軸時，伯德圖上相頻特性必然自下而上穿越伯德圖上相頻特性必然自下而上穿越-180度線，因此稱為度線，因此稱為正穿正穿越越，記為，記為N+；反之稱為；反之稱為負穿越負穿越， N- 。 乃氏判據(jù)關(guān)心的是乃氏判據(jù)關(guān)心的是GHGH回線是否包圍回線是否包圍(-1,j0) (-1,j0) 點，故應考慮點，故應考慮(- (-,-1) ,-1) 之間的一段

58、負實軸的穿越情況，即考慮之間的一段負實軸的穿越情況，即考慮L(L() 0) 0時的穿時的穿越情況越情況 。 將極坐標圖上的穿越點轉(zhuǎn)換到對數(shù)坐標圖上將極坐標圖上的穿越點轉(zhuǎn)換到對數(shù)坐標圖上：沿頻率沿頻率w w增加方向，相頻特性曲線自下而上穿過增加方向，相頻特性曲線自下而上穿過-線稱為正線稱為正穿越，反之稱為負穿越，如圖所示。穿越，反之稱為負穿越，如圖所示。2()0ZPNN式中式中P P為開環(huán)不穩(wěn)定極點的個數(shù)，為開環(huán)不穩(wěn)定極點的個數(shù)，Z Z為閉環(huán)不穩(wěn)定特征根的個數(shù)。為閉環(huán)不穩(wěn)定特征根的個數(shù)。 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當當由由變到變到時，在時，在L(L()0)0的頻段內(nèi)，的

59、頻段內(nèi)，相頻曲線穿越相頻曲線穿越-線的次數(shù)（正穿越與線的次數(shù)（正穿越與負穿越次數(shù)之差）為負穿越次數(shù)之差）為P/2P/2，為右半為右半平面的開環(huán)極點個數(shù)平面的開環(huán)極點個數(shù)。即即3 3、采用對數(shù)頻率特性的奈奎斯特判據(jù)描述、采用對數(shù)頻率特性的奈奎斯特判據(jù)描述 若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（即最小相位系統(tǒng)），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（即最小相位系統(tǒng)），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是定的充要條件是相頻曲線正、負穿越相頻曲線正、負穿越-180-180度線的次數(shù)等于零度線的次數(shù)等于零。用伯德圖判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性用伯德圖判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性例5) 1()()(ssKsHsG解：解：作系統(tǒng)作系統(tǒng)伯德圖伯德圖因為在的因為在的頻段內(nèi)，相

60、頻特性頻段內(nèi)，相頻特性 不穿不穿越線按照乃氏穩(wěn)定越線按照乃氏穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的判據(jù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的0)(L)(180系統(tǒng)開環(huán)頻率特性靠近系統(tǒng)開環(huán)頻率特性靠近(-1,j0)點的程度表征了系統(tǒng)的相點的程度表征了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。距離對穩(wěn)定性。距離(-1,j0)點越遠，閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越高。點越遠，閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越高。穩(wěn)定裕量：穩(wěn)定裕量：開環(huán)頻率特性開環(huán)頻率特性G G(j (j) )H H(j (j) )與與(-1, j0)(-1, j0)點的遠近程度，點的遠近程度，可用來表示閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。也稱穩(wěn)定裕度。可用來表示閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。也稱穩(wěn)定裕度。系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量用相角裕度相角裕度和增益