三角形的基本知識(shí)

1、數(shù)學(xué)八年級(jí)8. 三角形的基本知識(shí)三角形是最基本的幾何圖形，是研究復(fù)雜幾何圖形的基礎(chǔ)，許多幾何問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為 三角形的問(wèn)題來(lái)解,三角形基本知識(shí)主要包括三角形基本概念、三角形三邊關(guān)系定理及推論、 三角形內(nèi)角和定理及推論等，它們?cè)诰€段、角度的計(jì)算、圖形的計(jì)數(shù)等方面有廣泛的應(yīng)用。解與三角形的基本知識(shí)相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常用到數(shù)形結(jié)合及分類討論法，即用代數(shù)方法 解幾何計(jì)算題及簡(jiǎn)單的證明題，對(duì)三角形按邊或按角進(jìn)行恰當(dāng)分類。應(yīng)熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：圖1圖2圖4例1在zabc中，za=50°，高be、cf交于0,則匕boo.解題思路因三角形的高不一定在三角形內(nèi)部，故應(yīng)注意符合題設(shè)條件的圖形多樣性。例

2、2.等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為12cm和21cm兩部分，則這個(gè)等腰三角形底邊的長(zhǎng)為（）a. 17cm b. 5cm c. 5cm 或 17cm d.無(wú)法確定解題思路中線所分兩部分不等的原因在于等腰三角形的腰與底的不等，應(yīng)分情況討論。例3.如圖，be是匕abd的平分線，cf是zacd的平分線,be 是 cf 交于 g,若zbdc=140° , zbgc=110° ,求 za的大小。解題思路 運(yùn)用凹四邊形的性質(zhì)計(jì)算。例4.在左abc中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)，_sza<zb<zc, 4zc=7za,求zb的 度數(shù)。解題思路 把za.匕c用匕b的代數(shù)

3、式表示，建立關(guān)于匕b的不等式組，這是解本例的突破 口。例5.周長(zhǎng)為30,各邊長(zhǎng)互不相等且都是整數(shù)的三角形共有多少個(gè)?解題思路不妨設(shè)三角形三邊為a、b、c,且a<b<c,由條件及三角形三邊關(guān)系定理可確定 c的取值范圍，從而可以確定整數(shù)c的值。練習(xí)一1. 設(shè) a、b、c 是zabc 三邊，化簡(jiǎn)|a+b + c| + |ab c |-.2. 三角形的三邊分別為3、12a、8,則a的取值范圍是.3. 已知一個(gè)三角形三個(gè)外角度數(shù)比為2： 3： 4,(按角分類)這個(gè)三角形是三角形。4. 如圖，za+zb+zc+zd+ze的度數(shù)為.5. 如圖，己知ab/cd, gm、hm分別是zagh>

4、zchg的平分線，那么匕gmh=6. 如圖，aabc中，兩外角平分線交于點(diǎn)e,則zbec等于()a. -(90° -za)b. 90° +-za22c. -(180° -za) d. 180° -za227. 如圖，aabc中，nb的平分線與zc的外角平分線相交于d, zd=40° ,則za等于a. 50° b. 60° c. 70°8. 已知三角形的每條邊長(zhǎng)的數(shù)值都是2001 ( )a. 6個(gè) b. 7個(gè) c. 8個(gè)9. 己知一個(gè)三角形中兩條邊的長(zhǎng)分別為a、b,是()d. 80°的質(zhì)因數(shù)，那么這樣的不同

5、的三角形共有d. 9個(gè)la>b,那么這個(gè)三角形周長(zhǎng)l的取值范圍a. 3a>l>3bc. 2a+b>l>2b + ab. 2(a+b)>l>2ad. 3ab>l>a+2b其中的兩條邊分別是4和1997,則滿足上述條件的三角形10. 一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是偶數(shù),的個(gè)數(shù)是()a. 1個(gè) b. 3個(gè)11. 如圖，已知z3=z1 + z2,c. 5個(gè) d. 7個(gè) 求證：za+zb+zc+zd=180° .12.如圖，己知d0平分zadc,bo平分匕abc,且za=27° , zo=35° ,求匕c的度數(shù)。13.三角形不等式是

6、指一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)度之和大于第三邊的長(zhǎng)度，在下圖中，e位于線段ca上，d位于線段be±o(1) 證明：ab+ae>db+de；(2) 證明：ab+aodb+dc；(3) ab+bc+ca與2(da+db+dc)哪一個(gè)更大？證明你的結(jié)論;(4) ab+bc+ca與da+db+dc哪一個(gè)更大？證明你的結(jié)論.（第 11 ?g）o（第 12 0）(第】3題)練習(xí)二己知三角形的三條邊長(zhǎng)均為整數(shù)，其中有一條邊長(zhǎng)是4,但不是最短邊，這樣的三角形 的個(gè)數(shù)有個(gè)。以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的九個(gè)點(diǎn)共12個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)能把原三角形分割成個(gè)沒(méi)有公共部分的小三角形。aabc中，匕a是最小角，zb是最大角，

7、且有2zb=5za,若zb的最大值是m。，最小 值是 n。,貝m+n=.如圖，若zcge=a ,則za+ zb+ zc+ zd+ ze+ zf=.如圖，在abc中，za=96° ,延長(zhǎng)bc到d,匕abc與zacd的平分線相交于a點(diǎn)， zaibc與匕aicd的平分線交于a2點(diǎn)，依次類推，na4 bc與za4cd的平分線相交于a5, 則匕a5的大小是2.3.4.5.）c. 8°d. 19.2°6.若三角形三個(gè)內(nèi)角a、b、 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 無(wú)法確定其形狀a.b.c.d.7.(第5題)c的關(guān)系滿足a>3b, c<2b,則這個(gè)三角形是(三角形

8、的三個(gè)內(nèi)角分別為a、。、y ,且a n 0 n y , a =2 y 9則"的取值范圍是8. 己知周長(zhǎng)小于15的三角形三邊的長(zhǎng)都是質(zhì)數(shù)，且其中一邊的長(zhǎng)為3,這樣的三角形有( )a. 4個(gè) b. 5個(gè) c. 6個(gè) d. 7個(gè)9. 不等邊aabc的兩條高長(zhǎng)度分別為4和12,若第三條高的長(zhǎng)也是整數(shù)，試求它的長(zhǎng)。10. 設(shè)m、n、p均為自然數(shù)，適合mwnwp且m+n + p=15,試問(wèn)以m、n、p為三邊長(zhǎng)的三 角形有多少個(gè)？11. 銳角三角形用度數(shù)來(lái)表示時(shí)，所有角的度數(shù)為正整數(shù)，最小角的度數(shù)是最大角的度數(shù)的 求滿足此條件的所有銳角三角形的度數(shù)。412. 如圖，己知四邊形abcd的兩組對(duì)邊ad

9、、bc與ab、dc延長(zhǎng) 線分別相交于e、f,又匕e、nf的平分線相交于點(diǎn)p,求證：zepi- (za+zbcd)2參考答案例.zb0c=130° 或 50°例2.選b例 3. 80° 提示：za=2zbgc-zbdc411例 4.解設(shè)2c二x。，則za=(-x)° , zb=180° -za-zc=180° x°77工小411由za<zb<zc,得一xv180 x<x77解得 70<x<844v-x是整數(shù)：x=777故zc=77° , za=44° , zb=180°

10、; -44° -77° =59°例5.解不妨設(shè)a<b<c,則由a+b=30 c得 10<c<15a+b>ci c為整數(shù)，.c二11, 12, 13, 14.當(dāng) c=ll 時(shí),b=10, 當(dāng) c= 12 時(shí)，b = 11,a=9 a= 7 ；b = 10,a=8當(dāng) c二 13 時(shí)，b= 12,當(dāng) c=14 時(shí)，b=13,a= 5；a=3；b=11,b=12,a二6； b二10, a二7；a=4； b=ll, a=5；b =9, a二 8b=10, a=6； b=9, a=7練習(xí)一1. 2(b + c)2. 5vav 23. 鈍角4. 1

11、80°5. 90°6. c7. d8. b9. b10. b11. 提示：過(guò)g作gh/eb,由已知條件推得be/cf,12. 解. 0d、0b 分別平分zadc、zabc,.*.zcdq=2z1, zqba=2z2由對(duì)頂三角形性質(zhì)，得r2zl + zc=2z2+zaj解得£043。.zl + zc=z2+z013. 提示：(3) da + db>ab, db + dodc, dc+ad>ca,將三個(gè)不等式相加 得 2 (da+db + dc) >ab+cb+ca(4)由知 ab+aodb+dc,同理 bc + ba>dc+da, ca+cb

12、>da+db練習(xí)二1. 82. 193. 175 提示：設(shè)za=(2x)° , zb=(5x)。，則匕0180。- (7x) ° ,由zazczb 得 15wxw204. 2 a5. a6. c7. d8. b9. 提示：設(shè)長(zhǎng)度為4和12的高分別是邊a、b上的，邊c上的高為h, aabc的面積為s,hl 2s2s2s2s2s2s2s _ 2st 工小則 a二一，b二一，c=，由一一 一< < + ,得 3<h<6,故 h=5。412h412/z41210. 711 .解 設(shè)銳角三角形最小角的度數(shù)為x,最大角的度數(shù)為4x,另一角為，另一角為y,則x + 4x + y二 180°j xwyw4x ,解得 20wxw2