一元函數(shù)微積分學

1、 2.2 一元函數(shù)微積分學一元函數(shù)微積分學 2.2.1 導數(shù)與微分導數(shù)與微分1、極限函數(shù)、極限函數(shù)p=limit(F,x,a)、繪圖函數(shù)、繪圖函數(shù)plot；2、向量或矩陣求導指令：、向量或矩陣求導指令：diff1) Y = diff(X)：計算向量或矩陣的差分，若：計算向量或矩陣的差分，若X是向量，則是向量，則diff(X) 返回返回X(2)-X(1) X(3)-X(2) . X(n)-X(n-1)；若；若X是矩是矩陣，則陣，則diff(X) 返回返回X的各列差分矩陣的各列差分矩陣X(2:m,:)-X(1:m-1,:).如：如：x = 1 2 3 4 5; y = diff(x)其輸出結果為其

2、輸出結果為y = 1 1 1 12) Y = diff(X,n)：計算：計算n階向量或矩陣的微分階向量或矩陣的微分(或差分或差分)；如：如：x = 1 2 3 4 5; z = diff(x,2) 其輸出結果為其輸出結果為z = 0 0 0 3、符號求導指令、符號求導指令diff1) diff(S,v) 或或 diff(S,sym(v)：返回符號表達：返回符號表達式式S對自變量對自變量v的導數(shù)；的導數(shù)；2) diff(S,n)：對于正整數(shù)：對于正整數(shù)n，求，求S的的n階導數(shù)；階導數(shù)；3) diff(S,v,n) 與與 diff(S,n,v)：返回符號表達式：返回符號表達式S對自變量對自變量v的

3、的n階導數(shù)，缺省階導數(shù)，缺省n時為求時為求1階導階導數(shù)、缺省數(shù)、缺省v時默認變量時默認變量x.4、diff(y)./diff(x)是求近似導數(shù)是求近似導數(shù) .dxdy例例1 求正弦函數(shù)的一階導數(shù)與函數(shù)的二階導數(shù)。求正弦函數(shù)的一階導數(shù)與函數(shù)的二階導數(shù)。解：解：M文件程序處理如下：文件程序處理如下：syms x; f=sin(5*x);g=exp(x)*cos(x);df=diff(f)dg=diff(g,2)例例2 設函數(shù)，討論在處的左、右導數(shù)與導數(shù)。設函數(shù)，討論在處的左、右導數(shù)與導數(shù)。解：由若函數(shù)在點導數(shù)的定義和導數(shù)存在的充要條件，考解：由若函數(shù)在點導數(shù)的定義和導數(shù)存在的充要條件，考察在在點的

4、左右導數(shù)。察在在點的左右導數(shù)。M文件程序設計如下：文件程序設計如下：syms x;diffleft=limit(abs(x)/x,x,0,left)diffright=limit(abs(x)/x,x,0,right)例例3 已知拋射線的運動軌跡的參數(shù)方程為已知拋射線的運動軌跡的參數(shù)方程為 求拋射體在時刻求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向。的運動速度的大小和方向。解：該問題的解決分為兩步，先求在時刻解：該問題的解決分為兩步，先求在時刻t的運動速度的的運動速度的大小大小 ，再求軌道的切線方向，即，再求軌道的切線方向，即(為切線的為切線的傾角傾角)，由此，由此M文件程序設計如下：文件程序設計如

5、下：syms t v1 v2 g;x=v1*t;y=v2*t-1/2*g*t2;dx=diff(x,t);dy=diff(y,t);v=sqrt(dx2+dy2) %運動速度的大小運動速度的大小tan=dy/dx %軌道的切線方向軌道的切線方向22121gttvytvx 22dtdydtdxv2.2.2 微分學基本定理微分學基本定理1、求導指令、求導指令diff；2、繪圖指令、繪圖指令plot；3、用符號運算求解一般方程指令：、用符號運算求解一般方程指令： solve(f)：解方程：解方程f；solve(f，x )：對變量：對變量x解方程解方程f.4、泰勒、泰勒(Taylor) 展式指令：展式

6、指令：taylor(f,n)：返回函數(shù)：返回函數(shù)f的的n-1階麥克勞林階麥克勞林（Maclaurin）展開式，其中）展開式，其中f為自變量為自變量v的的符號函數(shù)；符號函數(shù)； taylor(f,n,v,a) ：返回函數(shù)：返回函數(shù)f在在a點的點的n-1階泰勒階泰勒(Taylor)展開式，其中展開式，其中f為自變量為自變量v的符號函數(shù)，的符號函數(shù)，n, v,與與 a 可以省略即可以省略即taylor(f)指令，指令， 此時此時a=0、n默認為默認為6、v為為f中所確中所確定的符號變量定的符號變量. 5、符號替換指令：、符號替換指令：subs(S,old,new) 用新的符號變量或數(shù)值用新的符號變量或

7、數(shù)值變量替換表達式變量替換表達式S中舊的符號變量或表示中舊的符號變量或表示一個變量名的字符串一個變量名的字符串.詳細的應用可見詳細的應用可見Matlab help.例例1 驗證拉格朗日驗證拉格朗日(Lagrange)中值定理對函數(shù)中值定理對函數(shù)y=4x3-5x2=x-2在區(qū)在區(qū)間間a,b上的正確性。上的正確性。解：為解題方便，首先求出函數(shù)的導數(shù)：解：為解題方便，首先求出函數(shù)的導數(shù)：syms x;y=4*x3-5*x2+x-2;dy=diff(y)輸出結果：輸出結果：dy=12*x2-10*x+1下面利用下面利用dy驗證拉格朗日驗證拉格朗日(Lagrange)中值定理，現(xiàn)取中值定理，現(xiàn)取a=0，

8、b=2進行驗證。進行驗證。a=0;ya=4*a3-5*a2+a-2; %求出求出a=0時函數(shù)值時函數(shù)值b=2;yb=4*b3-5*b2+b-2; %求出求出b=2時函數(shù)值時函數(shù)值eq=12*x2-10*x+1-(yb-ya)/(b-a)=0;eq=dy-(yb-ya)/(b-a)=0;mm=solve(eq,x);%求符號解求符號解mm=subs(mm,a,b,yb,ya,-1,1,yb,ya)%代值代值,求數(shù)值解求數(shù)值解例例 2 設函數(shù)設函數(shù)f(x)=(x-1) (x-2)(x-3)(x-4) ，說明，說明f(x)=0有幾個實根，指有幾個實根，指出他們所在的區(qū)間，并求出所有根。函數(shù)曲線出他們

9、所在的區(qū)間，并求出所有根。函數(shù)曲線解：由羅爾解：由羅爾(Rolle)定理易知有三個根，且分別在區(qū)間內，函數(shù)與的圖定理易知有三個根，且分別在區(qū)間內，函數(shù)與的圖形如圖所示。形如圖所示。M文件程序設計如下文件程序設計如下x=0.5:0.1:4.5;y1=(x-1).*(x-2).*(x-3).*(x-4); hold onplot(x,y1);%繪出原函數(shù)圖形繪出原函數(shù)圖形syms x;y=(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4);dy=diff(y);x=0.5:0.1:4.5;y2=subs(dy,x,x);plot(x,y2,-r); %繪出導函數(shù)圖形繪出導函數(shù)圖形再輸入以下命令：再輸入

10、以下命令：dy利用已求導數(shù)，則求的根利用已求導數(shù)，則求的根M文件程序為文件程序為eq=(x-2)*(x-3)*(x-4)+(x-1)*(x-3)*(x-4)+(x-1)*(x-2)*(x-4)+(x-1)*(x-2)*(x-3)=0;solve(eq,x)%求符號解求符號解例例3 Taylor級數(shù)計算器的使用。級數(shù)計算器的使用。函數(shù)函數(shù) taylortool格式格式 taylortool %該命令生成圖形用戶界面，顯該命令生成圖形用戶界面，顯示缺省函數(shù)示缺省函數(shù)f=x*cos(x)在區(qū)間在區(qū)間-2*pi，2*pi內的圖內的圖形，同時顯示函數(shù)形，同時顯示函數(shù)f的前的前N=7項的項的Taylor多

11、項式級多項式級數(shù)和數(shù)和(在在a=0附近的附近的)圖形通過更改圖形通過更改f(x)項可得不同項可得不同的函數(shù)圖形。的函數(shù)圖形。taylortool(f) %對指定的函數(shù)對指定的函數(shù)f，用圖形用戶界面顯示出用圖形用戶界面顯示出Taylor展開式。展開式。例例 taylortool( cos(x)再通過改變相關的參量，可得圖再通過改變相關的參量，可得圖 2.2.3 函數(shù)性態(tài)研究函數(shù)性態(tài)研究1、前面用過的極限指令、前面用過的極限指令limit、求導指令、求導指令diff、繪圖指令繪圖指令plot等；等；2、添加網(wǎng)格指令：、添加網(wǎng)格指令：grid on3、求一元函數(shù)局部極小值點指令：、求一元函數(shù)局部極小

12、值點指令：fmin x = fmin(fun,x1,x2)：x = fmin(fun,x1,x2,options)：4、ezplot(f,a,b)繪出函數(shù)圖像指令；繪出函數(shù)圖像指令；axis(a,b,c,d)限定當前坐標軸的坐標范圍指令限定當前坐標軸的坐標范圍指令.例例 1 求解函數(shù)求解函數(shù)f(x)=x3-6x2+12x+4的單調性、凹凸性、極值和拐點。的單調性、凹凸性、極值和拐點。本題在計算機強大的圖形處理功能條件下，利用幾何關系判斷函數(shù)的單調性、凹凸性、極值和拐點情況。首先求解函數(shù)的一、二階導數(shù)，然后畫出它們圖像，最后利用圖像研究該函數(shù)的性態(tài)。本題在計算機強大的圖形處理功能條件下，利用幾何

13、關系判斷函數(shù)的單調性、凹凸性、極值和拐點情況。首先求解函數(shù)的一、二階導數(shù)，然后畫出它們圖像，最后利用圖像研究該函數(shù)的性態(tài)。 M文件程序設計如下：文件程序設計如下：syms x;f=x.3-6*x.2+12*x+4;f1=diff(f,x)f2=diff(f,2)f1jie=solve(f1,x)%求方程的根求方程的根x=-3:0.5:7;y=subs(f,x,x); y1=subs(f1,x,x); y2=subs(f2,x,x); hold onplot(x,y);%繪制函數(shù)圖像繪制函數(shù)圖像plot(x,y1,-.k); %繪制函數(shù)圖像繪制函數(shù)圖像plot(x,y2,-r); %繪制函數(shù)圖像

14、繪制函數(shù)圖像grid on %加上網(wǎng)格，為方便觀察函數(shù)性態(tài)加上網(wǎng)格，為方便觀察函數(shù)性態(tài) 例例 4 利用利用Matlab對函數(shù)對函數(shù) 的性態(tài)作以分析，的性態(tài)作以分析，并繪出函數(shù)圖像。并繪出函數(shù)圖像。 解：對于本函數(shù)有奇點；且不是奇和偶函數(shù)；無周期、無解：對于本函數(shù)有奇點；且不是奇和偶函數(shù)；無周期、無界。為了進一步討論其它性態(tài)，現(xiàn)求出其一階、二階導數(shù)，界。為了進一步討論其它性態(tài)，現(xiàn)求出其一階、二階導數(shù)，并研究函數(shù)的極值、拐點和凹凸性。并研究函數(shù)的極值、拐點和凹凸性。2)3(361xxysyms x;f=1+36*x/(x+3)2;dydx=diff(f);d2ydx=diff(f,2);zhu_x

15、=solve(dydx,x) %求解駐點求解駐點(x,y)zhu_y=subs(f,x,zhu_x)guai_x=solve(d2ydx,x) %求解二階導數(shù)的零點求解二階導數(shù)的零點guai_y=subs(f,x,guai_x)x1=zhu_x-5:1:zhu_x; %將駐點橫坐標將駐點橫坐標x左半部分離散化左半部分離散化x2=zhu_x:1:zhu_x+5; %將駐點橫坐標將駐點橫坐標x右半部分離散化右半部分離散化zhu_yL=subs(dydx,x,x1) %觀察駐點左側一階導數(shù)符號觀察駐點左側一階導數(shù)符號zhu_yR=subs(dydx,x,x2) %觀察駐點右側一階導數(shù)符號觀察駐點右側

16、一階導數(shù)符號x3= guai_ x-5:1:guai_x; %二階導數(shù)的零點左半部分離散化二階導數(shù)的零點左半部分離散化x4= guai_ x:1:guai_x+5; %二階導數(shù)的零點右半部分離散化二階導數(shù)的零點右半部分離散化guai_yL=subs(d2ydx,x,x3) %二階導數(shù)零點左半部分的二階二階導數(shù)零點左半部分的二階導數(shù)符號導數(shù)符號guai_yR=subs(d2ydx,x,x4) %二階導數(shù)零點右半部分的二階二階導數(shù)零點右半部分的二階導數(shù)符號導數(shù)符號f_left=limit(f,x,-3,left) %判斷在無定義判斷在無定義x=-3點處有無垂直漸點處有無垂直漸近線近線f_right

17、=limit(f,x,-3,right)f_min_inf=limit(f,x,-inf,right) %判斷在無窮遠處有無水平漸判斷在無窮遠處有無水平漸近線近線 f_plus_inf=limit(f,x,inf,left) ezplot(f,-30,30); %繪出函數(shù)圖像，如圖繪出函數(shù)圖像，如圖 axis(-30,30,-15,5); %限定當前坐標軸的坐標范圍限定當前坐標軸的坐標范圍2.4 定積分及應用定積分及應用1、符號積分命令、符號積分命令intint(fun)：求函數(shù)：求函數(shù)fun的不定積分；的不定積分；int(fun,var)：求函數(shù)：求函數(shù)fun關于變量關于變量var的不定的不

18、定積分；積分；int(fun, var, a，b,)：求函數(shù)：求函數(shù)fun的在的在a,b間的間的定積分或廣義積分；定積分或廣義積分；2、數(shù)值計算定積分、數(shù)值計算定積分quad， quad1，trapzquad(fun,a,b,tol)：fun為被積的函數(shù)名，為被積的函數(shù)名，a, b微積分上下限，微積分上下限，tol為精度，若缺省，其缺省值為精度，若缺省，其缺省值為為1.0e-6； quad(fun,a,b,tol,trace)：參數(shù)：參數(shù)fun,a,b,tol用法與上面相同，用法與上面相同，而輸入第五個非零參數(shù)而輸入第五個非零參數(shù)trace，是對積分過程通過被積函數(shù)上，是對積分過程通過被積函數(shù)上的圖像進行跟蹤的圖像進行跟蹤.對于對于quad使用自適應步長使用自適應步長Simpson法，而法，而quadl的調用格式的調用格式與與quad一致，但它使用一致，但它使用Lobbato算