一元函數(shù)微積分學(xué)

1、 2.2 一元函數(shù)微積分學(xué)一元函數(shù)微積分學(xué) 2.2.1 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分1、極限函數(shù)、極限函數(shù)p=limit(F,x,a)、繪圖函數(shù)、繪圖函數(shù)plot；2、向量或矩陣求導(dǎo)指令：、向量或矩陣求導(dǎo)指令：diff1) Y = diff(X)：計(jì)算向量或矩陣的差分，若：計(jì)算向量或矩陣的差分，若X是向量，則是向量，則diff(X) 返回返回X(2)-X(1) X(3)-X(2) . X(n)-X(n-1)；若；若X是矩是矩陣，則陣，則diff(X) 返回返回X的各列差分矩陣的各列差分矩陣X(2:m,:)-X(1:m-1,:).如：如：x = 1 2 3 4 5; y = diff(x)其輸出結(jié)果為其

2、輸出結(jié)果為y = 1 1 1 12) Y = diff(X,n)：計(jì)算：計(jì)算n階向量或矩陣的微分階向量或矩陣的微分(或差分或差分)；如：如：x = 1 2 3 4 5; z = diff(x,2) 其輸出結(jié)果為其輸出結(jié)果為z = 0 0 0 3、符號求導(dǎo)指令、符號求導(dǎo)指令diff1) diff(S,v) 或或 diff(S,sym(v)：返回符號表達(dá)：返回符號表達(dá)式式S對自變量對自變量v的導(dǎo)數(shù)；的導(dǎo)數(shù)；2) diff(S,n)：對于正整數(shù)：對于正整數(shù)n，求，求S的的n階導(dǎo)數(shù)；階導(dǎo)數(shù)；3) diff(S,v,n) 與與 diff(S,n,v)：返回符號表達(dá)式：返回符號表達(dá)式S對自變量對自變量v的

3、的n階導(dǎo)數(shù)，缺省階導(dǎo)數(shù)，缺省n時為求時為求1階導(dǎo)階導(dǎo)數(shù)、缺省數(shù)、缺省v時默認(rèn)變量時默認(rèn)變量x.4、diff(y)./diff(x)是求近似導(dǎo)數(shù)是求近似導(dǎo)數(shù) .dxdy例例1 求正弦函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。求正弦函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。解：解：M文件程序處理如下：文件程序處理如下：syms x; f=sin(5*x);g=exp(x)*cos(x);df=diff(f)dg=diff(g,2)例例2 設(shè)函數(shù)，討論在處的左、右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)。設(shè)函數(shù)，討論在處的左、右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)。解：由若函數(shù)在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)存在的充要條件，考解：由若函數(shù)在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)存在的充要條件，考察在在點(diǎn)的

4、左右導(dǎo)數(shù)。察在在點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)。M文件程序設(shè)計(jì)如下：文件程序設(shè)計(jì)如下：syms x;diffleft=limit(abs(x)/x,x,0,left)diffright=limit(abs(x)/x,x,0,right)例例3 已知拋射線的運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為已知拋射線的運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為 求拋射體在時刻求拋射體在時刻t的運(yùn)動速度的大小和方向。的運(yùn)動速度的大小和方向。解：該問題的解決分為兩步，先求在時刻解：該問題的解決分為兩步，先求在時刻t的運(yùn)動速度的的運(yùn)動速度的大小大小 ，再求軌道的切線方向，即，再求軌道的切線方向，即(為切線的為切線的傾角傾角)，由此，由此M文件程序設(shè)計(jì)如下：文件程序設(shè)計(jì)如

5、下：syms t v1 v2 g;x=v1*t;y=v2*t-1/2*g*t2;dx=diff(x,t);dy=diff(y,t);v=sqrt(dx2+dy2) %運(yùn)動速度的大小運(yùn)動速度的大小tan=dy/dx %軌道的切線方向軌道的切線方向22121gttvytvx 22dtdydtdxv2.2.2 微分學(xué)基本定理微分學(xué)基本定理1、求導(dǎo)指令、求導(dǎo)指令diff；2、繪圖指令、繪圖指令plot；3、用符號運(yùn)算求解一般方程指令：、用符號運(yùn)算求解一般方程指令： solve(f)：解方程：解方程f；solve(f，x )：對變量：對變量x解方程解方程f.4、泰勒、泰勒(Taylor) 展式指令：展式

6、指令：taylor(f,n)：返回函數(shù)：返回函數(shù)f的的n-1階麥克勞林階麥克勞林（Maclaurin）展開式，其中）展開式，其中f為自變量為自變量v的的符號函數(shù)；符號函數(shù)； taylor(f,n,v,a) ：返回函數(shù)：返回函數(shù)f在在a點(diǎn)的點(diǎn)的n-1階泰勒階泰勒(Taylor)展開式，其中展開式，其中f為自變量為自變量v的符號函數(shù)，的符號函數(shù)，n, v,與與 a 可以省略即可以省略即taylor(f)指令，指令， 此時此時a=0、n默認(rèn)為默認(rèn)為6、v為為f中所確中所確定的符號變量定的符號變量. 5、符號替換指令：、符號替換指令：subs(S,old,new) 用新的符號變量或數(shù)值用新的符號變量或

7、數(shù)值變量替換表達(dá)式變量替換表達(dá)式S中舊的符號變量或表示中舊的符號變量或表示一個變量名的字符串一個變量名的字符串.詳細(xì)的應(yīng)用可見詳細(xì)的應(yīng)用可見Matlab help.例例1 驗(yàn)證拉格朗日驗(yàn)證拉格朗日(Lagrange)中值定理對函數(shù)中值定理對函數(shù)y=4x3-5x2=x-2在區(qū)在區(qū)間間a,b上的正確性。上的正確性。解：為解題方便，首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解：為解題方便，首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：syms x;y=4*x3-5*x2+x-2;dy=diff(y)輸出結(jié)果：輸出結(jié)果：dy=12*x2-10*x+1下面利用下面利用dy驗(yàn)證拉格朗日驗(yàn)證拉格朗日(Lagrange)中值定理，現(xiàn)取中值定理，現(xiàn)取a=0，

8、b=2進(jìn)行驗(yàn)證。進(jìn)行驗(yàn)證。a=0;ya=4*a3-5*a2+a-2; %求出求出a=0時函數(shù)值時函數(shù)值b=2;yb=4*b3-5*b2+b-2; %求出求出b=2時函數(shù)值時函數(shù)值eq=12*x2-10*x+1-(yb-ya)/(b-a)=0;eq=dy-(yb-ya)/(b-a)=0;mm=solve(eq,x);%求符號解求符號解mm=subs(mm,a,b,yb,ya,-1,1,yb,ya)%代值代值,求數(shù)值解求數(shù)值解例例 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1) (x-2)(x-3)(x-4) ，說明，說明f(x)=0有幾個實(shí)根，指有幾個實(shí)根，指出他們所在的區(qū)間，并求出所有根。函數(shù)曲線出他們

9、所在的區(qū)間，并求出所有根。函數(shù)曲線解：由羅爾解：由羅爾(Rolle)定理易知有三個根，且分別在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與的圖定理易知有三個根，且分別在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與的圖形如圖所示。形如圖所示。M文件程序設(shè)計(jì)如下文件程序設(shè)計(jì)如下x=0.5:0.1:4.5;y1=(x-1).*(x-2).*(x-3).*(x-4); hold onplot(x,y1);%繪出原函數(shù)圖形繪出原函數(shù)圖形syms x;y=(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4);dy=diff(y);x=0.5:0.1:4.5;y2=subs(dy,x,x);plot(x,y2,-r); %繪出導(dǎo)函數(shù)圖形繪出導(dǎo)函數(shù)圖形再輸入以下命令：再輸入

10、以下命令：dy利用已求導(dǎo)數(shù)，則求的根利用已求導(dǎo)數(shù)，則求的根M文件程序?yàn)槲募绦驗(yàn)閑q=(x-2)*(x-3)*(x-4)+(x-1)*(x-3)*(x-4)+(x-1)*(x-2)*(x-4)+(x-1)*(x-2)*(x-3)=0;solve(eq,x)%求符號解求符號解例例3 Taylor級數(shù)計(jì)算器的使用。級數(shù)計(jì)算器的使用。函數(shù)函數(shù) taylortool格式格式 taylortool %該命令生成圖形用戶界面，顯該命令生成圖形用戶界面，顯示缺省函數(shù)示缺省函數(shù)f=x*cos(x)在區(qū)間在區(qū)間-2*pi，2*pi內(nèi)的圖內(nèi)的圖形，同時顯示函數(shù)形，同時顯示函數(shù)f的前的前N=7項(xiàng)的項(xiàng)的Taylor多

11、項(xiàng)式級多項(xiàng)式級數(shù)和數(shù)和(在在a=0附近的附近的)圖形通過更改圖形通過更改f(x)項(xiàng)可得不同項(xiàng)可得不同的函數(shù)圖形。的函數(shù)圖形。taylortool(f) %對指定的函數(shù)對指定的函數(shù)f，用圖形用戶界面顯示出用圖形用戶界面顯示出Taylor展開式。展開式。例例 taylortool( cos(x)再通過改變相關(guān)的參量，可得圖再通過改變相關(guān)的參量，可得圖 2.2.3 函數(shù)性態(tài)研究函數(shù)性態(tài)研究1、前面用過的極限指令、前面用過的極限指令limit、求導(dǎo)指令、求導(dǎo)指令diff、繪圖指令繪圖指令plot等；等；2、添加網(wǎng)格指令：、添加網(wǎng)格指令：grid on3、求一元函數(shù)局部極小值點(diǎn)指令：、求一元函數(shù)局部極小

12、值點(diǎn)指令：fmin x = fmin(fun,x1,x2)：x = fmin(fun,x1,x2,options)：4、ezplot(f,a,b)繪出函數(shù)圖像指令；繪出函數(shù)圖像指令；axis(a,b,c,d)限定當(dāng)前坐標(biāo)軸的坐標(biāo)范圍指令限定當(dāng)前坐標(biāo)軸的坐標(biāo)范圍指令.例例 1 求解函數(shù)求解函數(shù)f(x)=x3-6x2+12x+4的單調(diào)性、凹凸性、極值和拐點(diǎn)。的單調(diào)性、凹凸性、極值和拐點(diǎn)。本題在計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的圖形處理功能條件下，利用幾何關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值和拐點(diǎn)情況。首先求解函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，然后畫出它們圖像，最后利用圖像研究該函數(shù)的性態(tài)。本題在計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的圖形處理功能條件下，利用幾何

13、關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值和拐點(diǎn)情況。首先求解函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，然后畫出它們圖像，最后利用圖像研究該函數(shù)的性態(tài)。 M文件程序設(shè)計(jì)如下：文件程序設(shè)計(jì)如下：syms x;f=x.3-6*x.2+12*x+4;f1=diff(f,x)f2=diff(f,2)f1jie=solve(f1,x)%求方程的根求方程的根x=-3:0.5:7;y=subs(f,x,x); y1=subs(f1,x,x); y2=subs(f2,x,x); hold onplot(x,y);%繪制函數(shù)圖像繪制函數(shù)圖像plot(x,y1,-.k); %繪制函數(shù)圖像繪制函數(shù)圖像plot(x,y2,-r); %繪制函數(shù)圖像

14、繪制函數(shù)圖像grid on %加上網(wǎng)格，為方便觀察函數(shù)性態(tài)加上網(wǎng)格，為方便觀察函數(shù)性態(tài) 例例 4 利用利用Matlab對函數(shù)對函數(shù) 的性態(tài)作以分析，的性態(tài)作以分析，并繪出函數(shù)圖像。并繪出函數(shù)圖像。 解：對于本函數(shù)有奇點(diǎn)；且不是奇和偶函數(shù)；無周期、無解：對于本函數(shù)有奇點(diǎn)；且不是奇和偶函數(shù)；無周期、無界。為了進(jìn)一步討論其它性態(tài)，現(xiàn)求出其一階、二階導(dǎo)數(shù)，界。為了進(jìn)一步討論其它性態(tài)，現(xiàn)求出其一階、二階導(dǎo)數(shù)，并研究函數(shù)的極值、拐點(diǎn)和凹凸性。并研究函數(shù)的極值、拐點(diǎn)和凹凸性。2)3(361xxysyms x;f=1+36*x/(x+3)2;dydx=diff(f);d2ydx=diff(f,2);zhu_x

15、=solve(dydx,x) %求解駐點(diǎn)求解駐點(diǎn)(x,y)zhu_y=subs(f,x,zhu_x)guai_x=solve(d2ydx,x) %求解二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)求解二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)guai_y=subs(f,x,guai_x)x1=zhu_x-5:1:zhu_x; %將駐點(diǎn)橫坐標(biāo)將駐點(diǎn)橫坐標(biāo)x左半部分離散化左半部分離散化x2=zhu_x:1:zhu_x+5; %將駐點(diǎn)橫坐標(biāo)將駐點(diǎn)橫坐標(biāo)x右半部分離散化右半部分離散化zhu_yL=subs(dydx,x,x1) %觀察駐點(diǎn)左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)符號觀察駐點(diǎn)左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)符號zhu_yR=subs(dydx,x,x2) %觀察駐點(diǎn)右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)符號觀察駐點(diǎn)右側(cè)

16、一階導(dǎo)數(shù)符號x3= guai_ x-5:1:guai_x; %二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)左半部分離散化二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)左半部分離散化x4= guai_ x:1:guai_x+5; %二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)右半部分離散化二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)右半部分離散化guai_yL=subs(d2ydx,x,x3) %二階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)左半部分的二階二階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)左半部分的二階導(dǎo)數(shù)符號導(dǎo)數(shù)符號guai_yR=subs(d2ydx,x,x4) %二階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)右半部分的二階二階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)右半部分的二階導(dǎo)數(shù)符號導(dǎo)數(shù)符號f_left=limit(f,x,-3,left) %判斷在無定義判斷在無定義x=-3點(diǎn)處有無垂直漸點(diǎn)處有無垂直漸近線近線f_right

17、=limit(f,x,-3,right)f_min_inf=limit(f,x,-inf,right) %判斷在無窮遠(yuǎn)處有無水平漸判斷在無窮遠(yuǎn)處有無水平漸近線近線 f_plus_inf=limit(f,x,inf,left) ezplot(f,-30,30); %繪出函數(shù)圖像，如圖繪出函數(shù)圖像，如圖 axis(-30,30,-15,5); %限定當(dāng)前坐標(biāo)軸的坐標(biāo)范圍限定當(dāng)前坐標(biāo)軸的坐標(biāo)范圍2.4 定積分及應(yīng)用定積分及應(yīng)用1、符號積分命令、符號積分命令intint(fun)：求函數(shù)：求函數(shù)fun的不定積分；的不定積分；int(fun,var)：求函數(shù)：求函數(shù)fun關(guān)于變量關(guān)于變量var的不定的不

18、定積分；積分；int(fun, var, a，b,)：求函數(shù)：求函數(shù)fun的在的在a,b間的間的定積分或廣義積分；定積分或廣義積分；2、數(shù)值計(jì)算定積分、數(shù)值計(jì)算定積分quad， quad1，trapzquad(fun,a,b,tol)：fun為被積的函數(shù)名，為被積的函數(shù)名，a, b微積分上下限，微積分上下限，tol為精度，若缺省，其缺省值為精度，若缺省，其缺省值為為1.0e-6； quad(fun,a,b,tol,trace)：參數(shù)：參數(shù)fun,a,b,tol用法與上面相同，用法與上面相同，而輸入第五個非零參數(shù)而輸入第五個非零參數(shù)trace，是對積分過程通過被積函數(shù)上，是對積分過程通過被積函數(shù)上的圖像進(jìn)行跟蹤的圖像進(jìn)行跟蹤.對于對于quad使用自適應(yīng)步長使用自適應(yīng)步長Simpson法，而法，而quadl的調(diào)用格式的調(diào)用格式與與quad一致，但它使用一致，但它使用Lobbato算