第102節(jié)二重積分的計算

1、1第二節(jié)一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分 二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分 二重積分的計算法 第十章 2如果積分區(qū)域如果積分區(qū)域d d為：為：, bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù). .)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐標系計算二重積分一、利用直角坐標系計算二重積分x x型型)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy 3xbad 曲頂柱體體積的計算曲頂柱體體積的計算設曲頂柱體的底為x-型區(qū)域：型區(qū)域：bxaxyxyxd)()(),(21任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲頂柱

2、體體積為故曲頂柱體體積為dyxfvd),(yyxfxaxxd),()()()(000201截面積為截面積為yyxfxxd),()()(21baxxad )(截柱體的截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xdyyxfxxd),()()(21badx),( yxfz4.),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域如果積分區(qū)域d d為：為：,dyc ).()(21yxy y y型型)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx d5利用直角坐標計算二重積分利用直角坐標計算二重積分且在 d 上連續(xù)時, ( , )f x y當當被被積積函函數(shù)數(shù)bxaxyxd)

3、()(:21dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd1. 若若d為為 x 型區(qū)域型區(qū)域 則)(1xy)(2xyxboydax2. 若若d為為y 型區(qū)域型區(qū)域dycyxyd)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcyddyxyxfdd),(則6計算二重積分的步驟計算二重積分的步驟：一、一、 畫積分域畫積分域 d 二、根據(jù)二、根據(jù)d的特點，選擇積分次序的特點，選擇積分次序三、三、四、四、若若d為為 x 型區(qū)域型區(qū)域 bxaxyxd)()(:21若若d為為y 型區(qū)域型區(qū)域dycyxyd)()(:21先對先對y積分，后對積分，后對x積分積分

4、先對先對x積分，后對積分，后對y積分積分計算二重積分的基本思想計算二重積分的基本思想將其化成兩次定積分來計算。將其化成兩次定積分來計算。7oxy說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是x型區(qū)域又是型區(qū)域又是y 型區(qū)域型區(qū)域 , dyxyxfdd),(為計算方便為計算方便,可可選擇積分序選擇積分序, 必要時還可以必要時還可以交換積分序交換積分序.)(2xyxoydba)(1yx)(2yxdc則有則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復雜若積分域較復雜,可將它分成若干可將它分成若干1d2d3dx-型域或型域或y-

5、型域型域 , 321dddd則則 8xy211xy o221d y例例1. 計算,ddyxi其中d 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. x解法解法1. 將將d看作看作x型區(qū)域型區(qū)域, 則:di21dxxyyd21d 21x213d21xxx8912xyx解法解法2. 將將d看作看作y型區(qū)域型區(qū)域, 則:dixxd21d yyyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y9例例2. 計算計算,ddyx其中其中d 是拋物線是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 解解: 求交點求交點:dxyx ddyxd21dy212221d2yyxyy2152

6、d)2(21yyyy12612344216234yyyy845dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線及直線則則 為計算簡便為計算簡便, 先對先對 x 后對后對 y 積分積分,22xyxy11yx24yx10注：注：本題計算中若先本題計算中若先對對y后對后對x積分：積分：10122xyydexdxdyydxdexi22101:xyxd由于由于2ye的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，則本題的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，則本題只能采用先對只能采用先對y后對后對x積分。積分。例例3 計算計算dyydxdexi22其中其中 d 是由直線是由直線01xyxy所圍成。所圍成。d11

7、例例3 計算計算dyydxdexi22其中其中 d 是由直線是由直線01xyxy所圍成。所圍成。解：解：畫域畫域01:0ydxy10022yyxdxydei1003|312ydxeyy103231ydyey1022)(612ydeyy|6110210222ydeeyyy16111ee12161ed102261yedy12例例4. 計算計算,ddsindyxxx其中其中d 是直線是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.oxydxxy 解解: 由被積函數(shù)可知由被積函數(shù)可知,因此取因此取d 為為x 型域型域 :0:0 xdyxdyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsin

8、xxxx先對先對 x 積分不行積分不行, 說明說明: 有些二重積分為了積分方便有些二重積分為了積分方便, 還需交換積分順序還需交換積分順序.13例例5 計算計算xdxydiy1310sin解解: 由被積函數(shù)可知由被積函數(shù)可知,因此取因此取d 為為x 型域型域 :2010:xyxd先對先對 x 積分不行積分不行, 110:xyyd2xy ydxdxix20103sin1230sinxx d x 3103sin31xdx01cos313x) 1cos0(cos31) 1cos1 (311d2xy 1yxo14交換二次積分的積分次序的步驟：交換二次積分的積分次序的步驟：1、根據(jù)已給的二次積分的積分限

9、用不等式表示、根據(jù)已給的二次積分的積分限用不等式表示區(qū)域區(qū)域d，并畫出，并畫出d的圖形。的圖形。2、根據(jù)、根據(jù)d的圖形將的圖形將d用另一種表達式來表示，用另一種表達式來表示，以確定改變積分次序后的積分限。把所給的二次以確定改變積分次序后的積分限。把所給的二次積分化成另一種二次積分。積分化成另一種二次積分。15例例6. 交換下列積分順序交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxi解解: 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成:,200:2211xxyd822 yx2d22yxo21d221xy 222280:22xxyd21ddd將:d視為視為y型區(qū)域型區(qū)域

10、 , 則則282yxy20 ydyxyxfidd),(282d),(yyxyxf20dy167例例dxdyxyyxid)(2222.,:00122yxyxddxdyyxidddxdy22422 ddxdydxdyyxd1d2ddxdyyxd1)(dxdyxyd2)(dydxyxyy22012)(dxdyxyxx22012)()(123221232 )(i17例例8. 計算計算,dd)1ln(2yxyyxid其中其中d 由由,42xy1,3xxy所圍成所圍成.oyx124xyxy32d1d1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21ddd(如圖所示如圖所示)顯然顯然,1上在d),(),(y

11、xfyxf,2上在d),(),(yxfyxfyxyyxiddd)1ln(120yxyyxddd)1ln(2241824ydxdyxid22144:2222yxxyxdab解：解：先求曲線的交點先求曲線的交點442222yxxyx3, 13, 1ba1d3d2d321dddd321dddi引例：引例：計算計算xy01d二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分19極坐標：極坐標：若將直角坐標系中的原點取為若將直角坐標系中的原點取為極點極點，m軸的正半軸取為軸的正半軸取為極軸極軸。0 xx設直角坐標系中點設直角坐標系中點yx,的坐標的坐標m極坐標系中點極坐標系中點m的坐標的坐標, r,

12、rrsincosryrxxyryxtan222r020 omr稱為極坐標的稱為極坐標的極徑極徑。稱為極坐標的稱為極坐標的極角極角。sin,cos,rrfyxf二重積分中被積函數(shù)二重積分中被積函數(shù)把把y由極軸出發(fā)逆時針方向為正由極軸出發(fā)逆時針方向為正。兩坐標系中變量間關系：兩坐標系中變量間關系：yx20 xyo求極坐標下的積分元素求極坐標下的積分元素在極坐標系下在極坐標系下, 用射線用射線 =常數(shù)常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外則除包含邊界點的小區(qū)域外,),2, 1(nkkkkkkrrk及同心圓及同心圓 r =常數(shù)常數(shù), d的表示方法。的表示方法。drrddrd小區(qū)域的面積由圖可知：小區(qū)域的面積由圖

13、可知：rddrkddyxfd),(ddrrdrrf)sin,cos(分劃區(qū)域分劃區(qū)域d 為為kkrrr21kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10dyxfd),(ddrr即drrf)sin,cos(kkkrrkkkkkkrrsin,cos對應有kkkkkkrrrr)(21在k),(kkrkkr221內(nèi)取點kkkrr221)(krkrkkkr嚴格的推導：嚴格的推導：22.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ado)(1 r)(2 r drdrdrrf )sin,cos(二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖

14、區(qū)域特征如圖, ).()(21 r23區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd drdrdrrf )sin,cos(aod)(2r)(1r24aod)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).(0 r drdrdrrf )sin,cos(25 drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標系下區(qū)域的面積極坐標系下區(qū)域的面積. drdrd 二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征

15、如圖區(qū)域特征如圖).(0 rdoa)(r,2 026例例1：將：將dyxfid,化成極坐標下的二重積分。化成極坐標下的二重積分。0:. 1222aayxda200:ardrdrrrfdia200sin,cosdx0yar 2702:. 222aaxyxdcos2ar 22cos20:ardrdrrrfdia22cos20sin,cosa2dax0y222)(:ayaxd例例1：將：將dyxfid,化成極坐標下的二重積分。化成極坐標下的二重積分。283.02:22bybyxdsin2br 0sin20:brdrdrrrfdib0sin20sin,cosb2bdx0y222)(:bbyxd例例1：

16、將：將dyxfid,化成極坐標下的二重積分。化成極坐標下的二重積分。2941:22yxd2021:rdrdrrrfdi2021sin,cosxy021d4.21r例例1：將：將dyxfid,化成極坐標下的二重積分。化成極坐標下的二重積分。30例例2：計計算算ydxdyxid221xyxyxd44:2222解：解：求曲線的交點求曲線的交點xyxyx44222233cos42:rdcos42rr4323cosdd r 302cos42d30|2sin423434drrdrid132, 121cosdxy0323131例例3. 計算計算,dd22dyxyxe其中其中.:222ayxd解解: 在極坐標

17、系下在極坐標系下,200:ard原式原式drreard0202aer)1(2ae2xe的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無法用直角故本題無法用直角2reddrr20d由于由于故故坐標計算坐標計算.rreard202)d(202rear32注注: 利用利用例例3可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式上非常有用的反常積分公式2d02xex事實上事實上, 當當d 為為 r2 時時,dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例利用例3的結果的結果, 得得)1 (limd42220aaxexe故故式成立式成立 .3

18、323 16 4sinr 22()dddxyxy 422sinsindrrr 1532() 224xyy222xyy33yx例例4. 計算計算其中其中d 為由圓為由圓所圍成的所圍成的22()dd ,dxyxy 222 ,xyy224xyy3yx及直線及直線3,3yx解：解：平面閉區(qū)域平面閉區(qū)域.3yx2sinr oxy2436d 34例例5：計算計算11:22yxyxd解解： 先畫先畫d域域1122ryx1 yx21cossin1:ordrddi)sin(cos1cossin120201sincosd221 yx122 yxdydxdyxyxi221sincosr35 計算二重積分計算二重積分

19、 ddxdyyxyx2222)sin(, , 其中積分區(qū)域為其中積分區(qū)域為41| ),(22 yxyxd. 解解由由對對稱稱性性，可可只只考考慮慮第第一一象象限限部部分分， 注意：注意：被積函數(shù)也要有對稱性被積函數(shù)也要有對稱性. . ddxdyyxyx2222)sin( 210sin42rdrrrd. 4 14dd 1d例例6 636例例7. 求球體求球體22224azyx被圓柱面被圓柱面xayx222)0( a所截得的所截得的(含在柱面內(nèi)的含在柱面內(nèi)的)立體的體積立體的體積. 解解: 設設由對稱性可知由對稱性可知20,cos20:arddd4422rrravd20d4cos2022d4arr

20、rad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza220d2cos202222)4d(4arara37例例8. 計算二重積分計算二重積分,dd)cos(22yxyxxid其中其中 d為圓域為圓域222ryx解解: 利用對稱性利用對稱性.yxxiddd,dd)cos(22yxyxdrdrrdr0220cos02sin r382222322ayxdyxx )(解：解：積分域是圓域，關于積分域是圓域，關于x, ,y軸軸 對稱對稱2220)32(ayxdyx22222222ayxayxdydx而222222adayx 2424aa原式例例9.222)(2122ayxdyx44a39內(nèi)容小結內(nèi)容小結(1) 二重積分化為累次積分的方法二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形直角坐標系情形 : 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxd則則)()(21d),(dd),(xyxybadyyxfxyxf 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdyc