全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(十)

1、全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(十)全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬(十) 第一試 一、選擇題：(每小題6分，共36分) 1、設(shè)集合M=-2,0,1，N=1,2,3,4,5，映射f：MN使對(duì)任意的xM，都有x+f(x)+xf(x)是奇數(shù)，則這樣的映射f的個(gè)數(shù)是 (A)45 (B)27 (C)15 (D)11 2、已知sin2q=a，cos2q=b，0q ，給出 值的五個(gè)： ; ; ; ; . 其中正確的是： (A) (B) (C) (D) 3、若干個(gè)棱長(zhǎng)為2、3、5的長(zhǎng)方體，依相同方向拼成棱長(zhǎng)為90的正方體，則正方體的一條對(duì)角線貫穿的小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)是 (A)64 (B)66 (C)68 (D) 4、遞增數(shù)列1,

2、3,4,9,10,12,13,，由一些正整數(shù)組成，它們或者是3的冪，或者是若干個(gè)3的冪之和，則此數(shù)列的第100項(xiàng)為 (A)729 (B)972 (C)243 (D)981 5、 (其中 ，x表示不超過(guò)x的最大整數(shù))的值為 (A) (B) (C) (D) 6、一個(gè)五位的自然數(shù) 稱(chēng)為"凸'數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它滿足abc，cde(如12430，13531等)，則在所有的五位數(shù)中"凸'數(shù)的個(gè)數(shù)是 (A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134 二、填空題：(每小題9分，共54分) 1、過(guò)橢圓 上任意一點(diǎn)P，作橢圓的右準(zhǔn)線的垂線PH(H為垂足)，并延長(zhǎng)PH到

3、Q，使得HQ=lPH(l1).當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡的離心率的取值范圍是 . 2、已知異面直線a、b所成的角為60，過(guò)空間一點(diǎn)P作與a、b都成角a(0a90)的直線l，則這樣的直線l的條數(shù)是f(a)= . 3、不等式 的解集為 . 4、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足條件|z-i|=1，且z0，z2i，又復(fù)數(shù)w使得 為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)w-2的輻角主值的取值范圍是 . 5、設(shè)a1,a2,a2021均為正實(shí)數(shù)，且 ，則a1a2a2021的最小值是 . 6、在一個(gè)由十進(jìn)制數(shù)字組成的數(shù)碼中，如果它含有偶數(shù)個(gè)數(shù)字8，則稱(chēng)它為"優(yōu)選'數(shù)碼(如12883，787480889等)，否則稱(chēng)它為"非

4、優(yōu)選'數(shù)碼(如2348756，958288等)，則長(zhǎng)度不超過(guò)n(n為自然數(shù))的所有"優(yōu)選'數(shù)碼的個(gè)數(shù)之和為 . 三、(20分) 已知數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為 的等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn. (1) 用Sn表示Sn+1; (2) 是否存在自然數(shù)c和k，使得 2成立. 四、(20分) 設(shè)異面直線a、b成60角，它們的公垂線段為EF，且|EF|=2，線段AB的長(zhǎng)為4，兩端點(diǎn)A、B分別在a、b上移動(dòng).求線段AB中點(diǎn)P的軌跡方程. 五、(20分) 已知定義在R+上的函數(shù)f(x)滿足 (i)對(duì)于任意a、bR+，有f(ab)=f(a)+f(b); (ii)當(dāng)x1時(shí)，f(x)0;

5、(iii)f(3)=-1. 現(xiàn)有兩個(gè)集合A、B，其中集合A=(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-20，p、qR+，集合B=(p,q)|f( )+ =0，p、qR+.試問(wèn)是否存在p、q，使 ，說(shuō)明理由. 第二試 一、(50分) 如圖，AM、AN是O的切線，M、N是切點(diǎn)，L是劣弧MN上異于M、N的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A平行于MN的直線分別交ML、NL于點(diǎn)Q、P.若 ，求證：POQ=60. M A P Q N L O 二、(50分) 已知數(shù)列a1=20，a2=30，an+2=3an+1-an(n1).求所有的正整數(shù)n，使得1+5anan+1是完全平方數(shù). 三、(50分) 設(shè)M為坐標(biāo)平面上坐標(biāo)為(p2021,7p2021)的點(diǎn)，其中p為素?cái)?shù).求滿足下列條件的直角三角形的個(gè)數(shù)： (1) 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是整點(diǎn)，而且M是直角頂點(diǎn); (2) 三角形的內(nèi)心是坐標(biāo)原點(diǎn). 參考答案 第一試 一、選擇題： 題號(hào)123456 答案ACBDDB 二、填空題： 1、 ; 2、 ; 3、 ; 4、 ; 5、40022021; 6、 . 三、(1)