信號(hào)與系統(tǒng)筆記

1、對(duì)于信號(hào)的組合，其對(duì)于信號(hào)的組合，其周期性的判斷周期性的判斷以及基本周期的求?。阂约盎局芷诘那笕。海?）連續(xù)信號(hào)的情況：對(duì)于基波周期為）連續(xù)信號(hào)的情況：對(duì)于基波周期為T1的信號(hào)的信號(hào)x1(t)和和T2的信號(hào)的信號(hào)x2(t)，其和，其和x1(t)+x2(t)的周期性的周期性的判斷以及基本周期的求?。旱呐袛嘁约盎局芷诘那笕。簽橐挥欣頂?shù)若21TT則則x1(t)+x2(t)是周期的，其是周期的，其基波周期為基波周期為T0=LCM(T1,T2)（2）離散信號(hào)的情況：對(duì)于基波周期為）離散信號(hào)的情況：對(duì)于基波周期為N1的信號(hào)的信號(hào)x1n和和N2的信號(hào)的信號(hào)x2n,其和其和x1n+x2n的周期性的判斷以及

2、基本周期的求?。旱闹芷谛缘呐袛嘁约盎局芷诘那笕。?x1n+x2n始終是周期的，始終是周期的， 其其基波周期基波周期為：為： N0=LCM(N1,N2)最小公倍數(shù)（最小公倍數(shù)（Least Common Multiple，縮寫，縮寫L.C.M.）v信號(hào)的奇偶分解信號(hào)的奇偶分解對(duì)于對(duì)于連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)： )()()(0txtxtxe對(duì)于對(duì)于離散信號(hào)離散信號(hào)： nxnxnxoe)()(21)()()(21)(txtxtxtxtxtxoe2121nxnxnxnxnxnxoe（注：（注：e：even縮寫；縮寫；o：odd縮寫）縮寫）x(t) = e j 0t所有所有 x(t) 都滿足都滿足 x(t) =

3、 x(t+T0) , 因此因此 x(t) 是周期是周期信號(hào)。信號(hào)。周期復(fù)指數(shù)周期復(fù)指數(shù)令令a=j 0，得：得：000020)(TeeTtjtjn連續(xù)周期復(fù)指數(shù)連續(xù)周期復(fù)指數(shù) 具有兩個(gè)性質(zhì)：具有兩個(gè)性質(zhì)：0tje0 愈大，愈大， 振蕩頻率愈高；振蕩頻率愈高；0tje0對(duì)任何對(duì)任何 ， 都是周期的。都是周期的。tje0正弦信號(hào)正弦信號(hào))sin()cos(00)(0tjtetj取取實(shí)部實(shí)部則為正弦信號(hào)則為正弦信號(hào))cos()(0tAtx歐拉公式（歐拉公式（EulerEulers Relations Relation）: : e e j j 0 0t t = = coscos 0 0t + jsin

4、t + jsin 0 0t t和和 coscos 0 0t = (t = (e e j j 0 0t t + + e e -j-j 0 0t t ) / 2) / 2 sin sin 0 0t = (t = (e e j j 0 0t t - - e e -j -j 0 0t t ) / 2) / 2得得 離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào) 對(duì)于任意的對(duì)于任意的 0值，不一值，不一定是定是 n 的周期函數(shù)，只有當(dāng)?shù)闹芷诤瘮?shù)，只有當(dāng) 為為有理數(shù)有理數(shù)時(shí)它才時(shí)它才是是 n的周期函數(shù)的周期函數(shù)nje0Nm20離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)的周期性離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)的周期性 由定義由定義: : e j 0n =

5、 e j 0(n+N) 有有 e j 0N = 1 or 0N = 2 m 因此：因此： N = 2 m/ 0 定義：對(duì)任意的輸入信號(hào)，如果每一個(gè)時(shí)刻系統(tǒng)的輸出信號(hào)定義：對(duì)任意的輸入信號(hào)，如果每一個(gè)時(shí)刻系統(tǒng)的輸出信號(hào)值值僅取決于該時(shí)刻的輸入信號(hào)值僅取決于該時(shí)刻的輸入信號(hào)值, ,這個(gè)系統(tǒng)就是這個(gè)系統(tǒng)就是無(wú)記憶系統(tǒng)無(wú)記憶系統(tǒng)無(wú)記憶系統(tǒng)無(wú)記憶系統(tǒng)的例子的例子 y(t) =k x(t)y(t) =k x(t)nkkxny延遲單元：延遲單元：yn =xn-1yn =xn-1v記憶系統(tǒng)與無(wú)記憶系統(tǒng)記憶系統(tǒng)與無(wú)記憶系統(tǒng)記憶系統(tǒng)記憶系統(tǒng)的例子：的例子： 累加器：累加器：一個(gè)系統(tǒng)如果在一個(gè)系統(tǒng)如果在不同的輸入下

6、，導(dǎo)致不同的輸出不同的輸入下，導(dǎo)致不同的輸出，這樣的系統(tǒng)就是可逆的。，這樣的系統(tǒng)就是可逆的。所有的所有的非記憶系統(tǒng)非記憶系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)；所有的都是因果系統(tǒng)；所有的非因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)都是記憶系統(tǒng)。都是記憶系統(tǒng)。如果一個(gè)系統(tǒng)在任何時(shí)刻的如果一個(gè)系統(tǒng)在任何時(shí)刻的輸出只與系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的輸入和過(guò)去的輸入輸出只與系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的輸入和過(guò)去的輸入有關(guān)有關(guān)，而，而與系統(tǒng)未來(lái)的輸入無(wú)關(guān)與系統(tǒng)未來(lái)的輸入無(wú)關(guān)，則這個(gè)系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)。，則這個(gè)系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)。 如果系統(tǒng)的如果系統(tǒng)的輸入和輸出之間輸入和輸出之間滿足滿足疊加性疊加性和和齊次性齊次性，則該系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。，則該系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。 dthxthtxty

7、)()()(*)()(v 如何求卷積積分圖解法h(t) x(t) 2 1 1 1 t 2 4 t 卷積的圖解法有助于我們理解卷積的物理意義以 及求解步驟，以x(t)*h(t)為例：1、將h(）反折，得h(-）2、將h(-）沿軸時(shí)延t秒，得得h(t）3、將x(）與 h(t）相乘 ，得x(） h(t）4、沿軸對(duì)x (） h(t）積分一些重要的性質(zhì)（1）函數(shù)x(t)與單位沖激函數(shù)(t)卷積的結(jié)果仍然是x(t)本身。即：)()()(txttx)()()()()()()()()()()(txdttxttdtxdtxttx證明：)()()()2(00ttxtttx)()()() 3(2121tttxttt

8、tx證明：)() () () ()()()()(212212121tttxttdtttxdtttxttttx令)()()(:)(*)()()4(21221121tttxttxttxtxtxtx則若：2.3 LTI系統(tǒng)性質(zhì)系統(tǒng):dthxthtxty)()()(*)()(kknhkxnhnxny*h(t)x(t)y(t)=x(t)*h(t)hnxnyn=xn*hnp 交換律p 分配律p 結(jié)合律p 有記憶和無(wú)記憶p 可逆性p 因果性p 穩(wěn)定性離散時(shí)間: xn*hn=hn*xn連續(xù)時(shí)間: x(t)*h(t)=h(t)*x(t)h(t)x(t)y(t)=x(t)*h(t)x(t)h(t)y(t)=h(t

9、)*x(t)2.3.1 交換律離散時(shí)間: xn*h1n+h2n=xn*h1n+xn*h2n連續(xù)時(shí)間: x(t)*h1(t)+h2(t)=x(t)*h1(t)+x(t)*h2(t)h1(t)+h2(t)x(t)y(t)=x(t)*h1(t)+h2(t)h1(t)x(t)y(t)=x(t)*h1(t)+x(t)*h2(t)h2(t)2.3.2 分配律離散時(shí)間: xn*h1n*h2n=xn*h1n*h2n連續(xù)時(shí)間: x(t)*h1(t)*h2(t)=x(t)*h1(t)*h2(t)h1(t)*h2(t)x(t)y(t)=x(t)*h1(t)*h2(t)h1(t)x(t)y(t)=x(t)*h1(t)

10、*h2(t)h2(t)2.3.3 結(jié)合律性質(zhì)系統(tǒng)的無(wú)記憶性意味著，任何時(shí)刻的輸出信號(hào)值僅取決于同一時(shí)刻的輸入信號(hào)值，而與其他時(shí)刻的輸入信號(hào)值無(wú)關(guān)。無(wú)記憶系統(tǒng): DT: yn=kxn, hn=kn CT: y(t)=kx(t), h(t)=k(t)即：在一個(gè)LTI系統(tǒng)中，只有滿足下列條件時(shí)，LTI系統(tǒng)才是無(wú)記憶的。2.3.4 有記憶和無(wú)記憶LTI系統(tǒng)( )0,0, 0,0h ttorh nn 給定一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，逆系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h1(t) ，則必定有：h(t) *h1(t) =(t) 2.3.5 LTI系統(tǒng)的可逆性 (t) x(t)x(t)* (t)=x(t)h(t) x(t)x

11、(t)h1(t) 因此，滿足條件: h(t)*h1(t)=(t) or hn*h1n=n傅立葉變換（傅立葉變換（CFT）( )()CFTx tX j () ( )( )j tX jF x tx t edt11( )()()2j tx tFX jX jed傅立葉傅立葉正變換正變換：傅立葉傅立葉反變換反變換：4.3 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換性質(zhì)連續(xù)時(shí)間傅立葉變換性質(zhì)x(t)和和X(j)這對(duì)這對(duì)傅立葉變換對(duì)傅立葉變換對(duì)用下列符號(hào)表示：用下列符號(hào)表示：( )()Fx tX j ()( )j tX jx t edt1( )()2j tx tX jed注：注：1( )()2j tx tX jed當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)時(shí)1

12、(0)()2xX jd對(duì)對(duì)()( )j tX jx t edt當(dāng)當(dāng) =0時(shí)時(shí)(0)( )Xx t dt二、時(shí)移性質(zhì)二、時(shí)移性質(zhì)若若( )()Fx tX j 則則00()()j tFx tteX j 一、線性一、線性若若( )()Fx tX j ( )()Fy tY j ( )( )()()Fax tby taX jbY j 頻移性質(zhì)頻移性質(zhì)00( )( ()jtFex tX j 為傅立葉變換的為傅立葉變換的頻移性質(zhì)頻移性質(zhì)。該性質(zhì)表明：時(shí)間函。該性質(zhì)表明：時(shí)間函數(shù)在時(shí)域中被頻率為數(shù)在時(shí)域中被頻率為0的的虛指數(shù)函數(shù)加權(quán)虛指數(shù)函數(shù)加權(quán)，等效于，等效于頻域中將其傅立葉變換頻域中將其傅立葉變換沿頻率軸

13、右移沿頻率軸右移0 ?；陬l移性質(zhì)的基于頻移性質(zhì)的頻譜搬移技術(shù)頻譜搬移技術(shù)在在通信和信號(hào)處理通信和信號(hào)處理中得到了廣泛的應(yīng)用，例如，中得到了廣泛的應(yīng)用，例如，載波幅度調(diào)制載波幅度調(diào)制、同步同步解調(diào)解調(diào)、變頻和、變頻和混頻混頻等技術(shù)！等技術(shù)！00( )( ()jtFex tX j njNjnjjenxeXdeeXnx)()(212離散時(shí)間離散時(shí)間F5.3 離散時(shí)間傅氏變換的性質(zhì)離散時(shí)間傅氏變換的性質(zhì)1、 周期性)(jFTeXnx)()()2(jFTjeXeX2 、線性If)(11jFTeXnx)(22jFTeXnxthen)()(2121jjFTebXeaXnbxnax3、 時(shí)移和頻移性質(zhì)If)(jFTeXnxthen)(00jnjFTeXennx)()(00jFTnjeXnxe4、共軛及共軛對(duì)稱性(1)(jFTeXnx)(* *jFTeXnx(2) *nxnx)(*)(jjeXeX)(RejeX)(jeXPm是的偶函數(shù)是的奇函數(shù) jjjjjRIeoFjjeReFjjwoIoX eX ejX eX eX eandx nX eX ex njX eX