空間向量及其運算(共16頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上空間向量及其運算【基礎知識必備】一、必記知識精選1.空間向量的定義(1)向量：在空間中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量.(2)向量的表示有三種形式：a,，有向線段.2.空間向量的加法、減法及數(shù)乘運算.(1)空間向量的加法.滿足三角形法則和平行四邊形法則，可簡記為:首尾相連，由首到尾.求空間若干個向量之和時，可通過平移將它們轉化為首尾相接的向量.首尾相接的若干個向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為0，即+=0.(2)空間向量的減法.減法滿足三角形法則,讓減數(shù)向量與被減數(shù)向量的起點相同,差向量由減數(shù)向量的終點指向被減數(shù)向量的終點,可簡

2、記為“起點相同,指向一定”,另外要注意-=的逆應用.(3)空間向量的數(shù)量積.注意其結果仍為一向量.3.共線向量與共面向量的定義.(1)如果表示空間向量的有向線段在直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共線向量或平行向量.對于空間任意兩個向量a,b(b0),aba=b,若A、B、P三點共線,則對空間任意一點O,存在實數(shù)t,使得=(1-t)+t,當t=時,P是線段AB的中點,則中點公式為=(+).(2)如果向量a所在直線OA平行于平面或a在內,則記為a,平行于同一個平面的向量,叫作共面向量，空間任意兩個向量，總是共面的.如果兩個向量a、b不共線.則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y.

3、使p=xa+yb.對于空間任一點O和不共線的三點A、B、C，A、B、C、P共面的充要條件是=x+y+z（其中x+y+z=1）.共面向量定理是共線向量定理在空間中的推廣，共線向量定理證三點共線，共面向量定理證四點共面.4.空間向量基本定理如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個惟一的有序實數(shù)組x、y、z，使p=xa+yb+zc.特別的，若a、b、c不共面，且xa+yb+zc=O，則x=y=z=0.常以此列方程、求值.由于0可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，隱含著三向量都不是0.空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底.要注意，

4、一個基底是一個向量組，一個基向量是指基底中的某一向量.5.兩個向量的數(shù)量積.a·b=|a|·|b|·cos（a,b），性質如下：（1）a·e=|a|·cos<a,e>；（2）aba·b=0.（3）|a|2=a·a；（4）|a|·|b|a·b.二、重點難點突破（一）重點空間向量的加法、減法運算法則和運算律；空間直線、平面向量參數(shù)方程及線段中點的向量公式.空間向量基本定理及其推論，兩個向量的數(shù)量積的計算方法及其應用.（二）難點空間作圖，運用運算法則及運算律解決立體幾何問題，兩個向量數(shù)量積的幾何意義

5、以及把立體幾何問題轉化為向量計算問題.對于重點知識的學習要挖掘其內涵，如從向量等式的學習中可以挖掘出：（1）向量等式也有傳遞性；（2）向量等式兩邊加（減）相同的量，仍得等式.即“移項法則”仍成立；（3）向量等式兩邊同乘以相等的數(shù)或點乘相等的向量，仍是等式.這樣知識掌握更加深刻.用空間向量解決立體幾何問題.一般可以按以下過程進行思考：（1）要解決的問題可用什么向量知識來解決?需要用到哪些向量？（2）所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表示？（3）所需要的向量若不能直接用已知條件轉化為向量表示，則它們分別易用哪個未知向量表示？這些未知向量與已知條件轉化而來的向量有何關系？

6、(4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進行運算，才能得到所需要的結論?三、易錯點和易忽略點導析兩個向量的夾角應注意的問題：（a，b）=（b，a）；（a,b）與表示點的符號（a,b）不同;如圖9-5-1(a)中的AOB=<,>.圖(b)中的AOB=-（，）,<-,><,->=-（，）.【綜合應用創(chuàng)新思維點撥】一、學科內綜合思維點撥【例1】 已知兩個非零向量e1、e2不共線，如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3e1-3e2.求證：A、B、C、D共面.思維入門指導：要證A、B、C、D四點共面，只要能證明三向量、共面，于是只要證明存在三個非零實數(shù)、使+=0即可.證明

7、:設(e1+e2)+(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=0.則(+2+3)e1+(+8-3)e2=0.e1、e2不共線，上述方程組有無數(shù)多組解,而=-5,=1,=1就是其中的一組,于是可知-5+=0.故、共面，所以A、B、C、D四點共面.點撥：尋找到三個非零實數(shù)=-5,=1,=1使三向量符合共面向量基本定理的方法是待定系數(shù)法.二、應用思維點撥【例2】 某人騎車以每小時公里的速度向東行駛，感到風從正北方向吹來，而當速度為2時，感到風從東北方向吹來.試求實際風速和風向.思維入門指導：速度是矢量即為向量.因而本題先轉化為向量的數(shù)學模型，然后進行求解，求風速和風向實質是求一向量.解:設a表示此人以

8、每小時公里的速度向東行駛的向量.在無風時,此人感到風速為-a,設實際風速為v,那么此人感到的風速向量為v-a.如圖9-5-2.設=-a,=-2a.由于+=,從而=v-a.這就是感受到的由正北方向吹來的風.其次，由于+=，從而v-2=.于是，當此人的速度是原來的2倍時感受到由東北方向吹來的風就是.由題意,得PBO=45°, PABO，BA=AO，從而PBO為等腰直角三角形.故PO=PB=.即|v|=.答：實際吹來的風是風速為的西北風.點撥：向量與物理中的矢量是同樣的概念，因而物理中的有關矢量的求解計算在數(shù)學上可化歸到平面向量或空間向量進行計算求解.知識的交叉點正是高考考查的重點，也能體

9、現(xiàn)以能力立意的高考方向.三、創(chuàng)新思維點撥【例3】 如圖9-5-3(1)，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點.（1）用向量法證明E、F、G、H四點共面；（2）用向量法證明BD平面EFGH.思維入門指導:(1)要證E、F、G、H四點共面，根據(jù)共面向量定理的推論，只要能找到實數(shù)x,y,使=x+y即可;(2)要證BD平面EFGH,只需證向量與共線即可.證明:(1)如圖9-5-3(2),連結BG,則=+=+(+)=+=+.由共面向量定理推論知，E、F、G、H四點共面.(2)=-=-=(-)=,EHBD.又EH面EFGH，BD面EFGH，BD平面EFGH.點撥：利用向

10、量證明平行、共面是創(chuàng)新之處，比較以前純幾何的證明，顯而易見用向量證明比較簡單明快.這也正是幾何問題研究代數(shù)化的特點.【例4】 如圖9-5-4，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為D1C1的中點，試求A1C1與DE所成角.思維入門指導：在正方體AC1中，要求A1C1與DE所成角,只需求與所成角即可.要求與所成角，則可利用向量的數(shù)量積，只要求出·及|和|即可.解:設正方體棱長為m,=a,=b,=c.則|a|=|b|=|c|=m，a·b=b·c=c·a=0.又=+=+=a+b,=+=+=c+a,·=(a+b)(c+a)=a·c+b

11、83;c+a2+a·b=a2=m2.又|=m,|=m,cos<,>=.<,>=arccos.即A1C1與DE所成角為arccos.點撥：A1C1與DE為一對異面直線.在以前的解法中求異面直線所成角要先找（作），后求.而應用向量可以不作或不找直接求.簡化了解題過程，降低了解題的難度.解題過程中先把及用同一組基底表示出來,再去求有關的量是空間向量運算常用的手段.四、高考思維點撥【例5】 （2000，全國，12分）如圖9-5-5，已知平行六面體ABCD一A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD.(1)求證：C1CBD；(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r,

12、能使A1C平面C1BD?請給出證明.思維入門指導：根據(jù)兩向量的數(shù)量積公式a·b=|a|·|b|cos<a,b>知，兩個向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0,即aba·b=0, 所以要證明兩直線垂直,只要證明兩直線對應的向量數(shù)量積為零即可.(1)證明:設=a,=b,=c.由題可知|a|=|b|.設、中兩兩所成夾角為,于是=-=a-b,·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c|·|a|cos-|c|·|b|cos=0,C1CBD.(2)解:若使A1C平面C1BD,只須證A1CBD,A1CDC1,

13、由于:·=(+)·(-)=(a+b+c)·(a-c)=|a|2+a·b-b·c-|c|2=|a|2+|b|·|a|·cos-|b|·|c|cos-|c|2=0,得當|a|=|c|時A1CDC1.同理可證當|a|=|c|時,A1CBD.=1時,A1C平面C1BD.點撥：對于向量數(shù)量積的運算一些結論仍是成立的.（a-b）·（a+b）=a2-b2；(a±b)2=a2±2a·b+b2.五、經(jīng)典類型題思維點撥【例6】 證明：四面體中連接對棱中點的三條直線交于一點，且互相平分.（此點稱為

14、四面體的重心）思維入門指導：如圖9-5-6所示四面體ABCD中，E、F、G、H、P、Q分別為各棱中點.要證明EF、GH、PQ相交于一點O，且O為它們的中點.可以先證明兩條直線EF、GH相交于一點O，然后證明P、O、Q三點共線，即、共線.從而說明PQ直線也過O點.證明：E、G分別為AB、AC的中點，EGBC.同理HFBC.EGHF.從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對角線EF、GH相交于一點O，且O為它們的中點，連接OP、OQ.=+,=+,而O為GH的中點，+=0,GPCD，QHCD.=,=.+=+=0+-=0.=-.PQ經(jīng)過O點，且O為PQ的中點.點撥:本例也可以用共線定理的推論來證明,事實

15、上,設EF的中點為O.連接OP、OQ,則=-,而=-,=-2,則=-+2,=(+)，從而看出O、P、Q三點共線且O為PQ的中點，同理可得GH邊經(jīng)過O點且O為GH的中點，從而原命題得證.六、探究性學習點撥【例7】 如圖9-5-7所示，對于空間某一點O，空間四個點A、B、C、D（無三點共線）分別對應著向量a=，b=,c=,d=.求證：A、B、C、D四點共面的充要條件是存在四個非零實數(shù)、，使a+b+c+d=0，且+=0.思維入門指導：分清充分性和必要性，應用共面向量定理.證明：(必要性)假設A、B、C、D共面，因為A、B、C三點不共線，故，兩向量不共線，因而存在實數(shù)x、y，使=x+y,即d-a=x(

16、b-a)+y(c-a),(x+y-1)a-xb-yc+d=0.令=x+y-1, =-x,=-y,=1.則a+b+c+d=0,且+=0.（充分性）如果條件成立，則=-(+),代入得a+b+c+d=a+b+c-(+)d=0.即(a-d)+ (b-d)+(c-d)=0.又a-d=-=,b-d=,c-d=,+=0.、為非零實數(shù),不妨設0.則=-.與、共面，即A、B、C、D共面.點撥：在討論向量共線或共面時，必須注意零向量與任意向量平行，并且向量可以平移，因而不能完全按照它們所在直線的平行性、共面關系來確定向量關系.【同步達綱訓練】A卷:教材跟蹤練習題 （60分 45分鐘）一、選擇題（每小題5分，共30

17、分）1.點O、A、B、C為空間四個點，又、為空間一個基底，則下列結論不正確的是（ ）A.O、A、B、C四點不共線 B. O、A、B、C四點共面，但不共線C. O、A、B、C四點中任三點不共線 D. O、A、B、C四點不共面2.在正方體ABCDA1B1C1D1中,下列各式中運算的結果為的共有( ) （+）+ （+）+（+）+ （+）+A.1個 B.2個 C.3個 D.4個3.設命題p：a、b、c是三個非零向量;命題q：a,b,c為空間的一個基底，則命題p是命題q的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.設A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足

18、83;=0，·=0，·=0,則BCD是（ ）A.鈍角三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.不確定5.下列命題中，正確的是（ ）A.若a與b共線，則a與b所在直線平行B.若a平面，a所在直線為a，則aC.若a,b,c為空間的一個基底，則a-b,b-c,c-a構成空間的另一個基底D.若=+,則P、A、B三點共線6.若a=e1+e2+e3，b=e1-e2-e3，c=e1+e2，d=e1+2e23e3，且d=xa+yb+zc，則x、y、z分別為（ ）A.,-,-1 B.,1C.-,1 D.,-,1二、填空題（每小題4分，共16分）7.設向量a與b互相垂直，向量c與它們構成的角

19、都是60°，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么（a+3c）·（3b-2a） ；（2a+b-3c）2= .8.已知向量=2a，a與b的夾角為30°，且|a|=，則+在向量b的方向上的射影的模為 .9.如圖9-5-8，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB、AC，M是邊OA的中點,G是ABC的重心，則用基向量、表示向量的表達式為 .10.已知P、A、B、C四點共面且對于空間任一點O都有=2+,則= .三、解答題（每小題7分，共14分）11.如圖9-5-9，已知點O是平行六面體ABCDA1B1C1D1體對角線的交點，點P是空間任意一點.求證：+=8.12.如圖9

20、-5-10，已知線段AB在平面內，線段AC，線段BDAB,且與所成角是30°.如果AB=a,AC=BD=b,求C、D間的距離.B卷:綜合應用創(chuàng)新練習題 （90分 90分鐘）一、學科內綜合題(10分)1.如圖9-5-11所示，已知ABCD，O是平面AC外一點，=2,=2,=2,=2.求證：A1、B1、C1、D1四點共面.二、應用題（10分）2.在ABC中，C=60°,CD為C的平分線,AC=4，BC=2，過B作BNCD于N延長交CA于E，將BDC沿CD折起，使BNE=120°，求折起后線段AB的長度.三、創(chuàng)新題（60分）（一）教材變型題(10分)3.（P35練習2變

21、型）如圖9-5-12已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，求與的夾角.（二）一題多解(15分)4.已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點，且PA平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且M分成定比2，N分成定比1，求滿足=x+y+z的實數(shù)x、y、z的值.（三）一題多變(15分)5.設ab,<a,c>=,<b,c>=，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求|a+b+c|.（1）一變：設ab，<a，c>=，<b，c>=，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求|a+2b-c|.（2）二變：設ab，<a，c>=，且|a

22、|=1，|b|=2，|c|=3，|a+b+c|=，求-b與c的夾角.（四）新解法題（10分）6.如圖9-5-13，正方形ABCD和正方形ABEF交于AB，M、N分別是BD、AE上的點，且AN=DM，試用向量證明MN平面EBC.7.O為空間任意一點,A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足=+(),0,+),則P的軌跡一定通過ABC的（ ）A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心四、高考題(10分)8.（2002,上海,5分）若a、b、c為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是( )A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)·c=a·c+b·cC.m(a+

23、b)=ma+mb D.(a·b)·c=a·(b·c)加試題：競賽趣味題（10分）證明：+(a，b，c為正實數(shù)).【課外閱讀】用向量表示三角形的四心由高中數(shù)學新教材中的向量知識出發(fā)，利用定比分點的向量表達式，可以簡捷地導出三角形的重心、內心、垂心、外心這四心的向量表達式.【例】 如圖9-5-14，在ABC中，F(xiàn)是AB上的一點,E是AC上的一點,且=,=(通分總可以使兩個異分母分數(shù)化為同分母分數(shù))，連結CF、BE交于點D.求D點的坐標.解：在平面上任取一點O，連結OA、OB、OC、OD、OE、OF，由定比分點的向量表達式，得：=(+·)÷

24、(1+)= = 又= (其中=,).整理、式得=.所以=+ 由式出發(fā)，可得三角形四心的向量表達式：（1）若BE、CF是ABC兩邊上的中線，交點G為重心.由式可得重心G的向量表達式：=(+).（2）若BE、CF是ABC兩內角的平分線，交點I是內心.因為=,=,由式可得內心I的向量表達式：=+.（3）若BE、CF是ABC兩邊上的高，交點H是垂心.=.同理=.由式可得垂心H的向量表達式：=+.（4）若BE、CF的交點O是ABC的外心，即三邊中垂線交點，則OA=OB=OC.根據(jù)正弦定理：=.同理=.由式可得外心O的向量表達式：=+.這四個向量表達式，都由式推出，都有著各自輪換對稱的性質.好記，好用!新

25、教材的優(yōu)越性,由此可見.參考答案A卷一、1.B 點撥：空間向量的一組基底是不共面的.2.D 點撥:+=+=,同理根據(jù)空間向量的加法運算法則可知(2)、(3)、(4)的計算結果也為.3.B 點撥：當三個非零向量a、b、c共面時，a、b、c不能構成空間的一個基底，但是a，b,c為空間的一個基底時，必有a、b、c都是非零向量.因此由P推不出q，而由q可推出P.4.B 點撥：·=0ACAB.同理可得ACAD,ABAD.設AB=a，AC=b，AD=c.則BC=,CD=,BD=.cosBCD=0,故BCD為銳角.同理CBD、BDC亦為銳角.則BCD為銳角三角形.5.D 點撥:向量共線則其所在直線

26、平行或重合,故A錯誤;向量平行于平面,則向量在面內或所在直線與面平行,故B錯誤;取1=2=3=1,則1(a-b)+2(b-c)+3(c-a)=0,即a-b,b-c,c-a是共面向量,不能構成空間的基底,故C錯. x+y+z=1 x=,6.A 點撥: x-y+z=2 y=-, x-y=3 z=-1.二、7.-62，373 點撥：（a+3c）·（3b-2a）=3a·b-2a2+9c·b-6a·c=3|a|·|b|·cos90°-2|a|2+9|c|·|b|·cos60°-6|a|·|c|&

27、#183;cos60°=-62.8.3 點撥：+=,在b方向投影為|·cos<,b>=2|a|·cos30°=3.9.=-+ 點撥：如答圖9-5-1所示，連AG延長交BC于E，=+=+=+·(+)=+(-)+(-)=-+.10.=- 點撥：根據(jù)共面向量定理知，P、A、B、C四點共面，則=x+y+z,且x+y+z=1.三、11.證明:設E、E1分別是平行六面體的面ABCD與A1B1C1D1的中心,于是有+=(+)+(+)=2+2=4,同理可證+=4.又平行六面體對角線的交點O是EE1的中點，+=2,+=4+4=4(+)=8.12.解:

28、由AC,可知ACAB.過D作DD,D為垂足,則DBD=30°,<,>=120°,|2=·=(+)2=|2+|2+|2+2·+2·+2·=b2+a2+b2+2b2·cos120°=a2+b2.CD=.B卷一、1.證明：=-=2-2=2(-)=2=2(+)=2(-)+(-)=2-2+2-2=(-)+(-)=+,A1、B1、C1、D1四點共面.二、2.解：如答圖9-5-2.解：過A作AMCD的延長線于M,則CM=4cos30°=2.CN=2cos30°=,MN=CM-CN=.又AM=AC·sin30°=2,BN=BC·sing30°=1,且<,>=120°,<,>=60°.AMMN，則·=0.