機械工程豬豬俠

1、機械動力學作業(yè) -簡諧振動的合成 作者：豬豬俠題目：X1=A1sin(1t+1) X2=A2sin (2t+2) X=X1 +X2 （1） A1A2 1=2 1=2=0，2k(k為整數(shù))（2） A1A2 1=2 1-2= ， k(k為奇數(shù)數(shù))（3） A1A2 1=2 1-2=/ 2， (k為奇數(shù))（4） A1=A2 1-2=(小正數(shù)) 1=2=0=0.1,0.01，0001通過頻率差的大小觀察圖像（5） 1/2=n (n=2)（6） 1/2=n (n=3) 上面連個情況可以歸結(jié)為1/2=有理數(shù)（7） 1/2=無理數(shù) 根據(jù)示意圖分別分析X = X1 + X2根據(jù)分組情況，在滿足各種情況下的參數(shù)下

2、，把變量設(shè)計為具體的參數(shù)，通過matlab軟件，畫出相應(yīng)的圖形，對于某種情況，多次改變參數(shù)，觀察其規(guī)律。情況1A1A2 1=2 1=2=0設(shè)X1=5*sin(20*pi*t) X2=10*sin (20*pi*t) X = X1 + X2 由MATLAB畫出X1 X2 X函數(shù)圖形clccleart=0:0.001:0.2X1=5*sin(20*pi*t);AA1A2 y x oj2jAxAyX2=10*sin(20*pi*t);X=X1+X2;hold onplot(t,X1,':r');plot(t,X2,':b+');plot(t,X,':g*

3、9;);legend('X1','X2','X');圖中上方是紅色的函數(shù)圖象，藍色是X2的函數(shù)圖象，綠色是X = X1 + X2 的函數(shù)圖象。由圖可知兩個振動的角頻率和原來簡諧振動的角頻率相同，振幅發(fā)生改變，那么他們振幅的大小是兩個振幅的簡單疊加。情況2A1A2 1=2 1-2= 設(shè)X1=5*sin(20*pi*t) X2=10*sin (20*pi*t+) ,X = X1 + X2由MATLAB畫出X1 X2 X函數(shù)圖形clccleart=0:0.001:0.2X1=5*sin(20*pi*t);X2=10*sin(20*pi*t+pi);X=

4、X1+X2;hold onplot(t,X1,':r');plot(t,X2,'-.b+');plot(t,X,'-g*');legend('X1','X2','X');圖中紅色是X1的函數(shù)圖象，藍色是X2的函數(shù)圖象，綠色是X = X1 + X2 的函數(shù)圖象。由圖可知兩個振動的角頻率相同，振幅不同，初相位相差一個，那么他們的振動合成之后角頻率和原來簡諧振動的角頻率相同，初相位移動一個，改變的只是振幅，振幅的大小是兩個振幅之差。合振動的振幅與計時起始時刻無關(guān)。由情況1和情況2的綜合分析可知： (1)若

5、兩分振動同相， A1A2 1=2 1-2=2k(k為整數(shù))，則A=A1+A2,兩個分振動加強 (2)若兩分振動反相， A1A2 1=2 1-2=k(k為奇數(shù)數(shù))，則A=A1+A2,兩個分振動減弱 情況3A1A2 1=2 1-2=/ 2設(shè)X1=5*sin(20*pi*t) X2=3*sin (20*pi*t+/2) , X = X1 + X2由MATLAB畫出X1 X2 X函數(shù)圖形clcClear t=0:0.001:0.2X1=5*sin(20*pi*t);X2=10*sin(20*pi*t+pi/2);X=X1+X2;hold onplot(t,X1,':r');plot(t

6、,X2,'-.b+');plot(t,X,'-g*');legend('X1','X2','X');圖中紅色是X1的函數(shù)圖象，藍色是X2的函數(shù)圖象，綠色是X = X1 + X2 的函數(shù)圖象。由圖可知兩個振動的角頻率相同，振幅不同，初相位相差一個/ 2，那么他們的振動合成之后的振動頻率并沒有改變，改變的是初相位和振幅，振幅的大小是兩個振幅在矢量方向上的合成。兩個不同方向，同頻率的簡諧振動的合成仍為簡諧振動，且角頻率頻不變，但其振幅與相位差有密切的關(guān)系?？梢酝ㄟ^如下圖的方法矢量合成。如果兩個簡諧振動的角頻率不同進行合成

7、，則其合振動較為復雜。情況4（“拍”現(xiàn)象）A1=A2 1-2=(小正數(shù)) 1=2=0設(shè)X1=5*sin(t) X2=5*sin(1.001*t) X = X1 + X2由MATLAB畫出X1 X2 X函數(shù)圖形clccleart=0:0.1:20000X1=5*sin(t);X2=5*sin(1.001*t);X=X1+X2;hold onplot(t,X1,':r');plot(t,X2,'-.b+');plot(t,X,'-g*');legend('X1','X2','X')clccleart=0

8、:0.01:2000X1=5*sin(t);X2=5*sin(1.01*t);X=X1+X2;hold onplot(t,X1,':r');plot(t,X2,'-.b+');plot(t,X,'-g*');legend('X1','X2','X')clccleart=0:0.001:200X1=5*sin(t);X2=5*sin(1.1*t);X=X1+X2;hold onplot(t,X1,':r');plot(t,X2,'-.b+');plot(t,X,'

9、;-g*');legend('X1','X2','X')圖中紅色是X1的函數(shù)圖象，藍色是X2的函數(shù)圖象，綠色是X = X1 + X2 的函數(shù)圖象。通過比較三組參數(shù)的圖像比較：A1=A2 A1=A2 1-2=(小正數(shù)) ，個簡諧振動的頻率相差不大（即1+2>>2-1）且振幅相等（即A1=A2）初相位相同（1=2=0）由圖可知合振動不再是簡諧振動，但是振幅是周期性變化的，合成的振動忽強忽弱，單位時間內(nèi)振動加強或減弱的次數(shù)是一定的，并且最大的振幅是兩個振動的振幅之和。有數(shù)學公式推導解釋該現(xiàn)象：即：（，）式中正弦函數(shù)完成幾個循環(huán)后，余

10、弦函數(shù)才能完成一個循環(huán)，這是一個頻率為w,的變幅振動，振幅在2A與零之間緩慢地周期性變化，這種特殊的現(xiàn)象稱為“拍”情況51/2=n (n=2) 1=2=0設(shè)X1=2sin(2t) X2=3sin (1t) X = X1 + X2由MATLAB畫出X1 X2 X函數(shù)圖形clccleart=0:0.0001:20X1=5*sin(t);X2=5*sin(2*t);X=X1+X2;hold onplot(t,X1,':r');plot(t,X2,'-.b+');plot(t,X,'-g*');legend('X1','X2

11、9;,'X')紅色是X1的函數(shù)圖象，藍色X2的函數(shù)圖象，綠色是X1 + X2 的合成圖象。由圖可知兩個振動的頻率相差較大，但有簡單的整數(shù)比，并且整數(shù)比為偶數(shù)，初相位相同，振幅不同，那么他們的振動合成之后的振動不再是間歇振動，而是具有穩(wěn)定封閉的振動軌跡，是周期性振動，并且合振動的振幅與初相位有關(guān)。具體的對比分析將放在情況6之后來分析。情況61/2=n (n=3) 1=2=0設(shè)X1=2sin(3t) X2=3sin (1t) X = X1 + X2由MATLAB畫出X1 X2 X函數(shù)圖形clccleart=0:0.0001:20X1=5*sin(t);X2=5*sin(3*t);X

12、=X1+X2;hold onplot(t,X1,':r');plot(t,X2,'-.b+');plot(t,X,'-g*');legend('X1','X2','X')圖中紅色是X1的函數(shù)圖象，藍色是X2的函數(shù)圖象，綠色X = X1 + X2 的合成圖象。由圖可知兩個振動的頻率相差較大，但有簡單的整數(shù)比，并且整數(shù)比為奇數(shù)，初相位相同，振幅不同，那么他們的振動合成之后的振動不再是間歇振動，而是具有穩(wěn)定封閉的振動軌跡，是周期性振動，并且合振動的振幅與初相位有關(guān)。有數(shù)學公式推導解釋該現(xiàn)象：若與之比為有理數(shù)，即：，經(jīng)過變換，令所以：，并且，所以，當頻率比為有理數(shù)時，可以合成周期振動，但不是簡諧振動，合成振動的周期為兩個簡諧振動周期的最小公倍數(shù)。情況71/2=無理數(shù)，1=2=0設(shè)X1=5*sin(t); X2=10*sin(sqrt(3)*t); X = X1 + X2由MATLAB畫出X1 X2 X函數(shù)圖形clccleart=0:0.001:20X1=5*sin(t);X=X1+X2;hold onplot(t,X1,':r');plot(t,X2,'-.b+