二元一次方程組競賽題集答案解析

1、 . 1 / 10 二元一次方程組典型例題 【例1】 已知方程組的解x，y滿足方程5x-y=3，求k的值. 【思考與分析】 本題有三種解法，前兩種為一般解法，后一種為巧解法. （） 由已知方程組消去k，得x與y的關系式，再與5x-y=3聯(lián)立組成方程組求出x，y的值，最后將x，y的值代入方程組中任一方程即可求出k的值. （） 把k當做已知數(shù)，解方程組，再根據(jù)5x-y=3建立關于k的方程，便可求出k的值. （） 將方程組中的兩個方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整體代入即可求出k的值. 把 代入，得，解得 k=-4. 解法二： ×3×，得 17y=k-22

2、， 解法三： +，得 5x-y=2k+11. 又由5x-y=3，得 2k+11=3，解得 k=-4. 【小結】 解題時我們要以一般解法為主，特殊方法雖然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的時間，可能這道題我們已經(jīng)用一般解法解了一半了，當然，巧妙解法很容易想 . 2 / 10 到的話，那就應該用巧妙解 二元一次方程組能力提升講義 知識提要 1 二元一次方程組?222111cybxacybxa的解的情況有以下三種： 當212121cc bbaa?時，方程組有無數(shù)多解。（兩個方程等效） 當212121ccbbaa?時，方程組無解。（兩個方程是矛盾的） 當2121bbaa?（即a1b2a2b10）時

3、，方程組有唯一的解： ? ?122 12 1121 22 11221babaacacybababcbcx （這個解可用加減消元法求得） 2 方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)時，一般是不定解，即有無數(shù)多解，若要求整數(shù)解，可按二元一次方程整數(shù)解的求法進行。 3 求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解（把待定系數(shù)當己知數(shù)），再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論。（見例2、3） 例題 例1. 選擇一組a,c值使方程組?cyaxyx275 1.有無數(shù)多解， 2.無解， 3.有唯一的解 【例2】 解方程組 【思考與分析】 本例是一個含字母系數(shù)的方程組.解含字母系數(shù)的方程組同解含字母系數(shù)的方程一樣，在方程兩

4、邊同時乘以或除以字母表示的系數(shù)時，也需要弄清字母的取值是否為零. 解：由，得 y=4mx， 把代入，得 2x+5（4mx）=8， 解得 （25m）x=-12，當25m0， 即m時，方程無解，則原方程組無解. 當25m0，即m時，方程解為 將代入，得 . 3 / 10 故當m 時， 原方程組的解為 例3. a取什么值時，方程組?3135yxayx 的解是正數(shù)？ 例4. m取何整數(shù)值時，方程組?1442yxmyx的解x和y都是整數(shù)？ 二元一次方程組的特殊解法 1.二元一次方程組的常規(guī)解法，是代入消元法和加減消元法。 這兩種方法都是從“消元”這個基本思想出發(fā)，先把“二元”轉化為“一元”把解二元一次方

5、程組的問題歸結為解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”轉化到“已知”的重要數(shù)學化歸思想。 2、靈活消元 （1）整體代入法 1. 解方程組yxxy?1423231 （2）先消常數(shù)法 2. 解方程組433132152xyxy? （3）設參代入法 3. 解方程組xyxy?321432: （4）換元法 4. 解方程組?xyxyxyxy?23634 . 4 / 10 （5）簡化系數(shù)法 5. 解方程組43313442xyxy? 課堂練習 1 不解方程組，判定下列方程組解的情況： ?96332yxyx ?32432yxyx ?153153yxyx 2 a取哪些正整數(shù)值，方程組?ayxayx24352

6、的解x和y都是正整數(shù)？ 3 要使方程組?12yxkkyx的解都是整數(shù)， k應取哪些整數(shù)值？ 二元一次方程組應用探索 【知識鏈接】 列二元一次方程組解應用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即： （1）審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個未知數(shù)； （2）找：找出能夠表示題意兩個相等關系； （3）列：根據(jù)這兩個相等關系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組； （4）解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值； （5）答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎上，寫出答案. 二元一次方程組是最簡單的方程組，其應用廣泛，尤其是生活、生產(chǎn)實踐中的許多問題，

7、大多需要通過設元、布列二元一次方程組來加以解決，現(xiàn)將常見的幾種題型歸納如下： 一、數(shù)字問題 例1 一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個兩位數(shù) 分析：設這個兩位數(shù)十位上的數(shù)為x，個位上的數(shù)為y，則這個兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關系可用下表表示： 十位上的數(shù) 個位上的數(shù) 對應的兩位數(shù) 相等關系 原兩位數(shù) x y 10x+y 10x+y=x+y+9 . 5 / 10 解方程組109101027xyxyyxxy?，得14xy?，因此，所求的兩位數(shù)是14 點評：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學習慣于只設一元，然后列一

8、元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效，但對有些問題是無能為力的，象本題，如果直接設這個兩位數(shù)為x，或只設十位上的數(shù)為x，那將很難或根本就想象不出關于x的方程一般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關的求數(shù)問題，一般應設各個數(shù)位上的數(shù)為“元”，然后列多元方程組解之 二、利潤問題 例2一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價是多少？ 分析：商品的利潤涉及到進價、定價和賣出價，因此，設此商品的定價為x元，進價為y元，則打九折時的賣出價為0.9x元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時的賣出價為0.8x元，獲利(0.8x-y)元，可

9、得方程0.8x-y=10. 解方程組0.920%0.810xyyxy?，解得200150xy?， 因此，此商品定價為200元 點評：商品銷售盈利百分數(shù)是相對于進價而言的，不要誤為是相對于定價或賣出價利潤的計算一般有兩種方法，一是：利潤=賣出價-進價；二是：利潤=進價×利潤率（盈利百分數(shù)）特別注意“利潤”和“利潤率”是不同的兩個概念 三、配套問題 例3 某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個工人每天可生產(chǎn)螺栓25個或螺母20個，如果一個螺栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？ 分析：要使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來

10、的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應滿足關系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)×2=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)×1因此，設安排人生產(chǎn)螺栓，人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓25個，螺母20個，依題意，得 120502201xyxy?，解之，得20100xy? 新兩位數(shù) y 10y+x 10y+x=10x+y+27 . 6 / 10 故應安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母 點評：產(chǎn)品配套是工廠生產(chǎn)中基本原則之一，如何分配生產(chǎn)力，使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品恰好配套成為主管生產(chǎn)人員常見的問題，解決配套問題的關鍵是利用配套本身所存在的相等關系，其中兩種最常見的配套問題的等量關系是： （1）“二合一”

11、問題：如果件甲產(chǎn)品和件乙產(chǎn)品配成一套，那么甲產(chǎn)品數(shù)的倍等 于乙產(chǎn)品數(shù)的倍，即ab?甲產(chǎn)品數(shù)乙產(chǎn)品數(shù)； （2）“三合一”問題：如果甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件，丙產(chǎn)品件配成一套，那么各種 產(chǎn)品數(shù)應滿足的相等關系式是：abc?甲產(chǎn)品數(shù)乙產(chǎn)品數(shù)丙產(chǎn)品數(shù) 四、行程問題 例4 在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米分別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個加油站駛去，結果往B站駛來的團伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住

12、，而另一團伙經(jīng)過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上問巡邏車和犯罪團伙的車的速度各是多少？ 【研析】設巡邏車、犯罪團伙的車的速度分別為x、y千米/時，則 ?3120120xyxy?，整理，得40120xyxy?，解得8040xy?， 因此，巡邏車的速度是80千米/時，犯罪團伙的車的速度是40千米/時 點評：“相向而遇”和“同向追及”是行程問題中最常見的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個相等關系，這個關系涉及到兩者的速度、原來的距離以及行走的時間，具體表現(xiàn)在： “相向而遇”時，兩者所走的路程之和等于它們原來的距離； “同向追及”時，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們原來的距離 五、貨運問題 典

13、例5 某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應各裝多少噸？ 分析：“充分利用這艘船的載重和容積”的意思是“貨物的總重量等于船的載重量”且“貨 . 7 / 10 物的體積等于船的容積”設甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，則 300621200xyxy?，整理，得3003600xyxy?，解得150150xy?， 因此，甲、乙兩重貨物應各裝150噸 點評：由實際問題列出的方程組一般都可以再化簡，因此，解實際問題的方程組時要注意先化簡，再考慮消元和解法，這樣可以減少

14、計算量，增加準確度化簡時一般是去分母或兩邊同時除以各項系數(shù)的最大公約數(shù)或移項、合并同類項等 六、工程問題 例6 某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，按照這個服裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150套，按這樣的生產(chǎn)進度在客戶要求的期限內(nèi) 只能完成訂貨的45；現(xiàn)在工廠改進了人員組織結構和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？ 分析：設訂做的工作服是x套，要求的期限是y天，依題意，得 ?41505200125yxyx?，解得337518xy?. 點評：工程問題與行程問題相類似

15、，關鍵要抓好三個基本量的關系，即“工作量=工作時間×工作效率”以及它們的變式“工作時間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時間”其次注意當題目與工作量大小、多少無關時，通常用“1”表示總工作量 【例7】 某種商品價格為每件元，某人身邊只帶有元和元兩種面值的人民幣各若干張，買了一件這種商品. 若無需找零錢，則付款方式有哪幾種（指付出元和元錢的張數(shù)）？哪種付款方式付出的張數(shù)最少？ 【思考與分析】 本題我們可以運用方程思想將此問題轉化為方程來求解. 我們先找出問題中的數(shù)量關系，再找出最主要的數(shù)量關系，構建等式. 然后找出已知量和未知量設元，列方程組求解. 最后，比

16、較各個解對應的x+y的值，即可知道哪種付款方式付出的張數(shù)最少. 解： 設付出元錢的張數(shù)為x，付出元錢的張數(shù)為y，則x，y的取值均為自然數(shù). 依題意可得方程： 2x+5y=33. . 8 / 10 因為5y個位上的數(shù)只可能是或， 所以2x個位上數(shù)應為或. 又因為x是偶數(shù)，所以x 個位上的數(shù)是，從而此方程的解為： 由得x+y=12； 由得x+y=15. 所以第一種付款方式付出的張數(shù)最少. 答： 付款方式有種，分別是： 付出張元錢和張元錢；付出張元錢和張元錢；付出張元錢和張元錢. 其中第一種付款方式付出的張數(shù)最少. 【例8】某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，這棟大樓共有4道門，其中兩

17、道正門大小相同，兩道側門大小也相同.安全檢查中，對4道門進行了訓練：當同時開啟一道正門和兩道側門時，2分鐘內(nèi)可以通過560名學生；當同時開啟一道正門和一道側門時，4分鐘可以通過800名學生. （1） 求平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過多少名學生？ （2） 檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時因學生擁擠，出門的效率將降低20.安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學生應在5分鐘內(nèi)通過這4道門安全撤離.假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建造的這4道門是否符合安全規(guī)定？請說明理由. 【思考與解】（1）設平均每分鐘一道正門可通過x名學生，一道側門可以通過y名學生. 根據(jù)題意，得 所以平均每分鐘一道正門

18、可以通過學生120人，一道側門可以通過學生80人. （2） 這棟樓最多有學生4×8×45=1440（人）.擁擠時5分鐘4道門能通過 5×2×（120+80）×（1-20%）=1600（人）. 因為 1600>1440，所以建造的4道門符合安全規(guī)定. 答:平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過120名學生、80名學生；建造的這4道門符合安全規(guī)定. 【例9】某水果批發(fā)市場香蕉的價格如下表： 張強兩次共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，請問張強第一次、 . 9 / 10 第二次分別購買香蕉多少千克？ 【思考與分析】要想知道張

19、強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克，我們可以從香蕉的價格和張強買的香蕉的千克數(shù)以及付的錢數(shù)來入手.通過觀察圖表我們可知香蕉的價格分三段，分別是6元、5元、4元.相對應的香蕉的千克數(shù)也分為三段，我們可以假設張強兩次買的香蕉的千克數(shù)分別在某段范圍內(nèi)，利用分類討論的方法求得張強第一次、第二次分別購買香蕉的千克數(shù). 解：設張強第一次購買香蕉x千克，第二次購買香蕉y千克由題意，得0<x<25 當0<x20，y40 時，由題意，得 當0<x20，y>40 時，由題意，得（與0<x20，y40相矛盾，不合題意，舍去） 當20<x<25時，25<y<30此時張強用去的款項為5x+5y=5（x+y）=5×50=250<264（不合題意，舍去）. 綜合可知，張強第一次購買香蕉14千克，第二次購買香蕉36千克. 答： 張強第一次、第二次分別購買香蕉14千克、36千克. 【反思】我們在做這道題的時候，一定要考慮周全，不能說想出了一種情況就認為萬事大吉了，