命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件知識點與題型歸納

1、三丈咼考明萬向1. 理解命題的概念2. 了解“若p,則q”形式的命題的逆命題、 否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系.3. 理解充分條件、必要條件與充要條件 的含義 備考知考情常用邏輯用語是新課標(biāo)高考命題的熱點之一，考查形式以選擇題為主，試題多為中低檔題目，命題的重點主要有兩個：一是命題及其四種形式，主要考查命題的四種形式及命題 的真假判斷；二是以函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何中的線面關(guān)系等為 背景考查充要條件的判斷，這也是歷年高考命題的重中之 重命題的熱點是利用關(guān)系或條件求解參數(shù)范圍問題，考 查考生的逆向思維一、知識梳理名師一號P4知識點一命題及四種命題1、命題的概念在數(shù)學(xué)中用語言、符號

2、或式子表達的，可以 判斷真假 的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫真命題，判斷 為假的語句叫假命題.命題必須是陳述句，疑問句、祈使句、感嘆句 都不是命題。2 四種命題及其關(guān)系四種命題間的相互關(guān)系.（2）四種命題的真假關(guān)系 兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； 兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性無關(guān)注意：（補充）1、一個命題不可能同時既是真命題又是假命題2、常見詞語的否定原詞語等于（=大于（）小于（）是否定詞語:不等于（M）:不大于（W）:不小于（）不是原詞語都是至多有一個至多有n個或否定詞語不都是至少有兩個至少有n+1個且原詞語:至少有一個:任意兩個所有的任意的否定詞語一個也沒

3、有某兩個某些某個知識點二 充分條件與必要條件1、充分條件與必要條件的概念（1）充分條件：p q則p是q的充分條件即只要有條件p就能充分地保證結(jié)論q的成立，亦即要使q成立，有p成立就足夠了，即 有它即可（2）必要條件：p q則q是p的必要條件p q q p即沒有q則沒有p，亦即q是p成立的必須要有的 條件，即無它不可。（補充）（3）充要條件p q且q p即p q則p、q互為充要條件（既是充分又是必要條件）“ p是q的充要條件”也說成“ p等價于q ”、“ q當(dāng)且僅當(dāng)p ”等（補充）2、充要關(guān)系的類型（1）充分但不必要條件定義：若p q，但q p，則p是q的充分但不必要 條件；（2）必要但不充分條

4、件定義：若q p，但p q ,則p是q的必要但不充分條件(3) 充要條件定義：若p q，且q p，即p q ,則p、q互為充要條件；(4) 既不充分也不必要條件定義：若p q，且q p，則p、q互為既不充分也不必要 條件.3、判斷充要條件的方法：名師一號P6特色專題 定義法；集合法；逆否法(等價轉(zhuǎn)換法). 逆否法-利用互為逆否的兩個命題的等價性集合法-利用集合的觀點概括充分必要條件若條件p以集合A的形式出現(xiàn)，結(jié)論q以集合B的 形式出現(xiàn)，則借助集合知識，有助于充要條件的理解和判 斷.(1) 若a b，則p是q的充分但不必要條件(2) 若B A，貝u p是q的必要但不充分條件(3) 若A B，則p

5、是q的充要條件(4) 若 A B，且 A B，則p是q的既不必要也不充分條件(補充)簡記作-若A、B具有包含關(guān)系，則(1) 小范圍是大范圍的充分但不必要條件(2) 大范圍是小范圍的必要但不充分條件二、例題分析(一)四種命題及其相互關(guān)系例1.(1) 名師一號P4 對點自測1 命題若x，y都是偶數(shù)，則x + y也是偶數(shù)”的逆否命題 是()A 若x + y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B 若x+ y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù) C若x + y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D若x + y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)答案 C例1.(2)名師一號P5高頻考點 例1 下列命題中正確的是() 若aQ則abM 0的否命

6、題； 正多邊形都相似”的逆命題； 若m>0,則x2 + x m= 0有實根”的逆否命題；1 若X- 32是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題. A B C D解析： 中否命題為若a = 0,則ab= 0”正確； 中逆命題不正確； 中，= 1 + 4m,當(dāng)m>0時，40,原命題正確，故其逆否命題正確； 中原命題正確故逆否命題正確. 答案 B注意：名師一號P5高頻考點 例1規(guī)律方法 在判斷四個命題之間的關(guān)系時， 首先要分清命題的條件與結(jié)論， 再比較每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系. 要注意四種命題關(guān)系的相對性，一旦一個命題定為 原命題，也就相應(yīng)的有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”；判

7、定命題為真命題時要進行推理，判定命題為假命題時只需舉出反例即可. 對涉及數(shù)學(xué)概念的命題的判定要從概念本身入手.例1.(3) 名師一號P4 對點自測2(2014陜西卷)原命題為 若乙衛(wèi)互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1| = |Z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷 依次如下，正確的是()A .真，假，真B .假，假，真C .真，真，假D .假，假，假解析 易知原命題為真命題，所以逆否命題也為真, 設(shè) Z1= 3 + 4i, Z2= 4+ 3i，則有|Z2|,但是乙與Z2不是共軛復(fù)數(shù)，所以逆命題為假， 同時否命題也為假.注意：名師一號P5問題探究 問題2四種命題間關(guān)系的兩條規(guī)律(1)逆命題與否

8、命題互為逆否命題；互為逆否命題的兩個命題同真假.當(dāng)判斷一個命題的真假比較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假 同時要關(guān)注 特例法”的應(yīng)用例2.(補充)(2011山東文5)已知a, b, c R，命題 若a b c=3 , 則a2 b2 c2 > 3的否命題是()(A) 若 a+b+c3,則 a2 b2 c2 <3(B) 若 a+b+c=3，則 a b c <3*”(C) 若 a+b+cz 3,貝U a2 b2 c2 > 3(D) 若 a b c > 3，則 a+b+c=3【答案】A 來【解析】命題 若p，則q ”的否命題是： 若 p，則 q ”例2.（補充）命題

9、：若xy 0 ,則x 0或y 0 ”的否定是：【答案】若xy 0 ,則x 0且y 0【解析】命題的否定只改變命題的結(jié)論。意：命題的否定與否命題的區(qū)別（二）充要條件的判斷與證明例1.（1）（補充）（07湖北）已知p是r的充分條件而不是 必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的 必要條件?，F(xiàn)有下列命題：s是q的充要條件；p是q 的充分條件而不是必要條件；r是q的必要條件而不是 充分條件；p是s的必要條件而不是充分條件；r是 s的充分條件而不是必要條件，則正確命題序號是（）A. B. C. D. 答案:bq注意：s1、利用定義判斷充要條件名師一號P6特色專題方法一定義法 定義法就是將充

10、要條件的判斷轉(zhuǎn)化為兩個命題 若p,則q”與若q,則p”的判斷，根據(jù)兩個命題是否正確，來確定 p與q之間的充要關(guān)系. p q則p是q的充分條件；q是p的必要條件2、利用逆否法判斷充要條件名師一號P6特色專題方法三等價轉(zhuǎn)化法當(dāng)所給命題的充要條件不好判定時，可利用四種命題 的關(guān)系，對命題進行等價轉(zhuǎn)換.常利用原命題與逆命題的 真假來判斷p與q的關(guān)系.令p為命題的條件，q為命題 的結(jié)論，具體對應(yīng)關(guān)系如下： 如果原命題真而逆命題假，那么p是q的充分不必要條件； 如果原命題假而逆命題真，那么p是q的必要不充分條件； 如果原命題真且逆命題真，那么p是q的充要條件； 如果原命題假且逆命題假，那么p是q的既不充分

11、也不必要條件.簡而言之,逆否法-利用互為逆否的兩個命題的等價性例1.（2）名師一號P6特色專題 例1 （2014北京卷）設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列.則q>i”是 色為遞增數(shù)列”的（）A .充分而不必要條件B .必要而不充分條件C.充分必要條件D .既不充分也不必要條件【規(guī)范解答】若q>1，則當(dāng)ai= 1時，an = 1，an為遞減數(shù)列，所以q>1” ?待為遞增數(shù)列”；1 1 1若an為遞增數(shù)列，則當(dāng)an= 2 n時，a1 = 2 q= <1， 即W為遞增數(shù)列”？ / q>1”.故選d.例1.（3）名師一號P6特色專題 例2（2014湖北卷）設(shè)U為全集.A，B是集合

12、，則 存在 集合C使得A C，B ?uC'是“AGB= ”的（）A .充分而不必要條件B .必要而不充分條件C .充要條件D .既不充分也不必要條件【規(guī)范解答】 如圖可知，存在集合C,使A C， B ?UC，則有AGB =.若AAB=，顯然存在集合 C. 滿足A C，B ?uC.故選C.例 1.(4) 名師一號 P4 對點自測 5已知 p： 4<k<0, q：函數(shù) y= kx2 kx 1 的值 恒為負，則 p 是 q 成立的 ()A .充分不必要條件B .必要不充分條件C .充要條件D .既不充分也不必要條件解析：4<k<0?k<0, = k2+ 4k&l

13、t;0，函數(shù) y= kx2 kx1的值恒為負，但反之不一定有4<k<0,如k = 0時， 函數(shù)y= kx2 kx 1的值恒為負，即p? q,而q? p. 可用定義或集合法3、利用集合法 判斷充要條件名師一號 P6 特色專題 方法二 集合法涉及方程的解集、 不等式的解集、 點集等與集合相關(guān) 的命題時，一般采用集合間的包含關(guān)系來判定兩命題之間 的充要性.具體對應(yīng)關(guān)系如下：若條件p以集合A的形式出現(xiàn)，結(jié)論q以集合B的 形式出現(xiàn)， 則借助集合知識， 有助于充要條件的理解和判 斷.(1)若a b，則p是q的充分但不必要條件( 2)若 B A ，則 p 是 q 的必要但不充分條件(3) 若A

14、B，則p是q的充要條件( 4)若 A B ，且 A B ，則 p 是 q 的既不必要也不充分條件(補充)簡記作-若A、B具有包含關(guān)系，則( 1 )小范圍是大范圍的 充分但不必要條件( 2)大范圍是小范圍的 必要但不充分條件例2名師一號P5高頻考點 例3log2x, x>0,函數(shù)f(x)= ex有且只有一個零點的2x-a, x<0充分不必要條件是()1 1A. a<0或 a>1B. 0<a<2 C.qvavl D. a<0log2x, x>0,解析：因為f(x)二有且只有一個零點2x a, x<0的充要條件為a<0或 a>1.由選

15、項可知，使a<0或 a>1”成 立的充分條件為選項D.注意：名師一號P5高頻考點 例3規(guī)律方法 有關(guān)探求充要條件的選擇題，解題關(guān)鍵是：首先，判斷是選項“推”題干，還是題干“推”選項；其次，利用以小推大的技巧，即可得結(jié)論.務(wù)必審清題，明確“誰是條件”！此題選項是條件！練習(xí)：(補充)已知p: x 3且y 2，q:x y 5 ,則p是q的條件。答案：既不充分條件也不必要條件例3.名師一號P6特色專題例3已知命題p:關(guān)于x的方程4/ 2ax+ 2a+ 5 = 0的解集 至多有兩個子集，命題q： 1 m<x< 1 m，m>0，若 p是q的必要不充分條件，求實數(shù) m的取值范圍

16、.【規(guī)范解答】 T p是q的必要不充分條件， p是q的充分不必要條件.對于命題p，依題意知= ( 2a)24 4(2a+ 5)= 4(a2 8a 20) 2< a< 1,0令 P= a| 2<a< 10 Q = x|1 m<x< 1 m， m>0， 由題意知P Q，m>0，m>0， 1 m< 2， 或 1 m< 2，1 +101 + m>10，解得9.因此實數(shù)m的取值范圍是m|m>9. 注意：（補充）凡結(jié)合已知條件 求參數(shù)的取值范圍 是求滿足條件的等價條件即充要條件 練習(xí)：（補充）已知 p: 2 x 10;q:1 m

17、 x 1 m（m 0）若 p是 q的必要但不充分條件， 求實數(shù)m的取值范圍.解：p是 q的必要但不充分條件 即 p q且 q p等價于 q p p q即 p是q的充分但不必要條件令 A x 2 x 10x1 m x 1 m(m 0)C1m2 °B即解得m 91m10所以實數(shù)m的取值范圍是 mm 9m 2m 101注：A是B的真子集，須確保1中的等號不同時取得例4.（補充）求證：關(guān)于x的方程ax2 + 2x + 1 = 0至少有一個負根的 充要條件是a< 1.證明：充分性：當(dāng)a= 0時，方程為2x+ 1 = 0的根為 x=2，方程有一個負根，符合題意.當(dāng) a<0 時，= 4

18、 4a>0，方程 ax2 + 2x+ 1= 0 有兩個 1不相等的實根，且a<0,方程有一正一負根，符合題意.a當(dāng) Ovawi時，= 4 4a>0方程ax2 + 2x+ 1 = 0有實根，且av02->0故方程有兩個負根，符合題意.綜上：當(dāng)awl時，方程ax2 + 2x+ 1 = 0至少有一個負根. 必要性：若方程ax2 + 2x + 1 = 0至少有一個負根.當(dāng)a= 0時，方程為2x + 1= 0符合題意.當(dāng)aO寸，方程ax2 + 2x + 1= 0應(yīng)有一正一負根或兩= 4 4a>01個負根.則a<0或2a<°1>0解得a<0或0<aw 1.綜上：若方程ax2 + 2x+ 1 = 0至少有一負根，則a< 1. 故關(guān)于x的方程ax2 + 2x + 1= 0至少有一個負根的充要條 件是aw 1.注意：(補充)證明充要條件務(wù)必明確充分性和必要性并分別給予證明練習(xí)：(補充)已知f (x)是定義在R上的函數(shù)， 求證：f (x)為增函數(shù)的充