高等數(shù)學(xué)課件：2-1-冪級數(shù)

1、第二節(jié)第二節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù) 一、冪級數(shù)的定義一、冪級數(shù)的定義二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪函數(shù)的運(yùn)算及其性質(zhì)三、冪函數(shù)的運(yùn)算及其性質(zhì)四、求冪級數(shù)的和四、求冪級數(shù)的和五、函數(shù)展開為冪級數(shù)五、函數(shù)展開為冪級數(shù)第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)2一、冪函數(shù)的定義一、冪函數(shù)的定義0010000()()()()nnnnnczzcc zzczzzz 的的冪冪級級數(shù)數(shù)010nnnnnc zcc zc zz 的的冪冪級級數(shù)數(shù)(,)nnnnnncaibzxiy 其其中中以后主要討論以后主要討論 z 的冪級數(shù)的冪級數(shù).0,nnnncza x 特特別別, ,當(dāng)當(dāng)為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，得得實(shí)實(shí)的的冪冪級級

2、數(shù)數(shù)：第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)3二、冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間二、冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)4第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)5xRR 0R - - 收斂半徑收斂半徑-收斂區(qū)間收斂區(qū)間xR 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)6第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)7|z|RR - - 收斂半徑收斂半徑 ,zR 收斂圓收斂圓第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)8第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)9第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)10第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)1111(4)nnnzn 212(5)()nnnzin 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

3、12第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)13第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)14第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)15第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)16解解:11(4)nnnzn 11, lim|lim0 ,nnnnnnccnn 212(5)()nnnzin 212222(1), limlim2 ,nnnnnncncncn 解解：11,22Rzi 收收斂斂半半徑徑收收斂斂圓圓為為,Rz ， 收收斂斂圓圓為為即即整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面. .第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)171 1冪級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算冪級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算三、冪級數(shù)的性質(zhì)三、冪級數(shù)的性質(zhì)設(shè)設(shè)0( ),nnns zc z 1zR 0(

4、),nnnT zw z 2,zR 12min,RR R 則則0( )( )()nnnns zT zzwz 000110011001100( )( )() () ()nnnnnnnnns zT zz wz wz wzz wz wz wzz wz wz wz zR 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)182 2冪冪級級數(shù)數(shù)的的分分析析性性質(zhì)質(zhì)第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)19第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)20四、求冪級數(shù)的和四、求冪級數(shù)的和第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)21第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)22第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)23第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)242

5、1200( )22nnnnnnS xxxx 212xx 211( 2 )xx 22212,(12)xx 11(,)22x 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)25211111( ) ( ) nnnnnnS xn xnxxnx21() () 1(1)nnxxxxxxx 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)261111(1)nnnnnnxnx111( )( )nnnnxx 2()()11xxxx 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)27例例5 5解：解：求求 的和函數(shù)的和函數(shù): :111( 1)nnnnz 11111( )( 1)( 1)()nnnnnnS znzz 1211( 1)1(1)nnnzzz

6、z 收斂半徑收斂半徑1R 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)28作作 業(yè)業(yè) 習(xí)習(xí) 題題 10.2（P244P244）1 1（2 2）（）（4 4）（）（6 6）（）（8 8）（）（1010）；）；2 2（2 2）（）（4 4）（）（6 6）3 3（2 2）（）（3 3）第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)29五、將函數(shù)展為冪函數(shù)五、將函數(shù)展為冪函數(shù)前面討論了冪前面討論了冪級數(shù)的收斂性及如何求冪級數(shù)的和函數(shù)問題。級數(shù)的收斂性及如何求冪級數(shù)的和函數(shù)問題?，F(xiàn)在考慮它的反問題，給定函數(shù)，現(xiàn)在考慮它的反問題，給定函數(shù)，能否將其表達(dá)成一個(gè)能否將其表達(dá)成一個(gè)冪級數(shù)，冪級數(shù)，即所謂函數(shù)展開為冪級數(shù)的問題。即所謂

7、函數(shù)展開為冪級數(shù)的問題。定義定義 設(shè)設(shè) f (z) 在在 z0 的鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱級數(shù)的鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱級數(shù)( )000()()!nnnfzzzn 為為 f (z)在在 z0 的的Taylor級數(shù)級數(shù)。若若00,z 稱稱( )0(0)!nnnfzn 為為 f (z) 的的Maclaurin級數(shù)級數(shù)。第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)30設(shè)設(shè) f (x) 在在 x0 的鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱級數(shù)的鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱級數(shù)( )000()()!nnnfxxxn f (x)在在 x0 的的Taylor級數(shù)級數(shù)。若若00,x ( )0(0)!nnnfxn f (x) 的的Macl

8、aurin級數(shù)級數(shù)。特別地，首先考慮實(shí)函數(shù)的情況特別地，首先考慮實(shí)函數(shù)的情況:記記(1)10( )( )()(1)!nnnfRxxxn ( )0100()( )()!knknkfxSxxxk 1( )( )( )nnf xSxRx Taylor定理定理第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)311lim( )( )nnSxf x lim( )0nnRx 時(shí)，時(shí)，即在即在lim( )0nnR x 的條件下的條件下,Taylor級數(shù)收斂到級數(shù)收斂到 f (x) ,有有 f (x)在在 x0處的處的Taylor展開式（展開式（ f (x)能展開成能展開成 x- -x 0Taylor級數(shù)級數(shù))( )000(

9、)( )()!nnnfxf xxxn Taylor定理定理定理定理2.90lim( )0,()nnRxxN x 設(shè)設(shè) f (x)在在 x0某鄰域某鄰域 內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)， 則則 : f (x)在在 內(nèi)能展開成內(nèi)能展開成 x- -x 0 Taylor級數(shù)級數(shù)0()N x0()N x第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)3200( )000( )()()(0,1,2)!nnnnnf xxxxfxaxxann 如如果果在在的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能展展開開成成的的冪冪級級數(shù)數(shù)，則則必必有有 。唯一性唯一性: :若若f (x)可展開為可展開為 x 的冪級數(shù)，則它的冪級數(shù)，則它 的展開式必唯一，的展

10、開式必唯一， 即為即為Maclaurin級數(shù)級數(shù)特別當(dāng)特別當(dāng)00 x ，( )0(0)!nnnfxn 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)33將實(shí)函數(shù)將實(shí)函數(shù) f (x) 展開為冪級數(shù)的步驟：展開為冪級數(shù)的步驟： 將函數(shù)展開為冪級數(shù)的方法將函數(shù)展開為冪級數(shù)的方法: :1. 1. 直接法：直接法：第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)34第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)35第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)36第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)37解解第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)38 1: ln(1)1xx 解解11x 231ln(1)( 1)23nnxxxxxn 11 ( 1)nnnxn =

11、 0( 1)nnnx 21(1), 11nnxxxx 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)3911( 1)311( ) ()33nnnnf xxxn 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)40第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)41第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)42( )000()( )()!nnnfzf zzzn 01( )( )d()2rLff zzzriz 下面考慮復(fù)函數(shù)的情況下面考慮復(fù)函數(shù)的情況:第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)4300011()(1)zzzzz 200000001(1()()nzzzzzzzzzz 20002310000()()1()()()nnzzzzzzzzzz 1

12、0011000()()()()nnNnnnnNzzzzzz 0000|,| 1rzzLzrzzrz 而而| | |第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)440101( )( )()2()rnNnn NLfRzzzdiz 其中其中()1000()()( )!nNnNnfzzzRzn 101001()( )()( )2()rNnNnnLfdf zzzRziz 于是于是（解析函數(shù)的（解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式）高階導(dǎo)數(shù)公式）000, 01zzzzqqzr 令令0,( ),rMfML 使使( ), 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)45000()1( )2rnNnNLfzzRzdszz 1221Nnn NMM

13、qqrrq lim0lim( )0NNNNqRz 于是于是()000()( )()!nnnfzf zzzn 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)46( )01()1( )!2()nnnLofzfCdniz 注注第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)471. 1. 直接法：直接法：將將 復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù) f (z) 展開為冪級數(shù)的步驟：展開為冪級數(shù)的步驟：( )0000()( )() ,!nnnfzf zzzzzRn )(00最近一個(gè)奇點(diǎn)的距離的距到從zzfzR 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)48( )( )( )(),nznzfzee ( )(0)1,nf 01,!znnezn z 第十章第十章 函

14、數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)49sin2izizeezi 01!znnezn 解解 ：01()!iznneizn 01()!iznneizn 00111()() 2!nnnnizizinn 1211(1),(21)!nnnzzn 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)5001,!znnezzn 210sin( 1),(21)!nnnzzzn 20(1)cos,(2)!nnnzzzn 11ln(1)( 1),1nnnzzzn 展式：幾個(gè)初等函數(shù)的 Maclaurin11ln(1)( 1),11nnnxxxn 0(1)(1)(1), ( 1 1)!mnnm mmnxx x,n 第十章第十章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)51例例3 求函數(shù)在指定點(diǎn)