數(shù)學(xué)教案不等式練習(xí)與答案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載不 等式 練習(xí)A組1若 a, b 是任意的實(shí)數(shù) , 且 ab , 則 ()(A)a 2b2(B)b1(C)lg( ab)0(D)( 1 ) a2不等式 2a23的解集是 ()x222( )()(B)(0,)(C),0)(0, )A,)(3333不等式x1x25 的解集為 ()(A),22,(B),12,(C), 23,(D)4若 n32的最小值為 ()0 , 則 nn2(A) 2(B) 4(C) 6(D) 85若 A=( x3)( x7) ， B=(x4)( x6) ，則 A， B 的大小關(guān)系為 _.6，b， c 是不全相等的正數(shù)，求證：設(shè) a1） (ab)(bc)(ca)8a

2、bc ；2） abcabbcca .7.yRx2y2xy2，求證()已知 x ，22( 1) b22(D)(,0)3,32,8如圖 1，把一塊邊長(zhǎng)是 a 的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)作成一個(gè)無(wú)蓋方底的盒子，問(wèn)切去的正方形邊長(zhǎng)是多少時(shí)，才能使盒子的容積最大？9b，c 0，且不全相等，求證a(bc) b(ac) c(ab) 6abc .已知 a ，22222210 已知a1，a2，an R，且a1a2an1，求證 (1 a )(1a )(1 a)2n.12nB組11. 已知 x ， y0 ，且 xy2. 試證： 1 x ， 1y 中至少有一個(gè)小于 2.y x學(xué)習(xí)

3、必備歡迎下載12. 求函數(shù) y5x1102x 的最大值 .13.已知 a 2b 21，求證 a cosb sin 1.14.已知 x2 y1，求 x 2y2 的最小值 .15.已知 2x3 y4z10 ，求 x 2y 2z2 的最小值 .16. 已知 a ， b ， c 是正數(shù)，求證2229.abb cc aa bc17. 證明： n35n (nN ) 能夠被 6 整除 .18. 設(shè) a,b, cR ,求證：abc3 .bcc aa b2不等式答案1. D . 提示：注意函數(shù)y( 1)x 的單調(diào)性；22. B . 提示：先移項(xiàng)，再通分，再化簡(jiǎn)；3. D . 提示：當(dāng) x 2 時(shí)，原不等式可以化

4、為( x1)(x 2) 5，解得 x 3，即不等式組 x2的解集是 (,3 .x1x25當(dāng) 2 x 1 時(shí)，原不等式可以化為(x1)( x 2) 5，即 3 5，矛盾 . 所以不等式組2x1，的解集為，x1x25當(dāng) x 1 時(shí)，原不等式可以化為(x1)( x2) 5，解得 x 2，學(xué)習(xí)必備歡迎下載即不等式組x1的解集是 2 ,) .x1x25綜上所述，原不等式的解集是(,32 ,) ;4. C.提示： n32nn32;2222nn5. AB .提示：通過(guò)考察它們的差與0 的大小關(guān)系，得出這兩個(gè)多項(xiàng)式的大小關(guān)系.因?yàn)?(x 3)(x7)( x4)( x6)(x210 x21)( x210x 24

5、)3 0所以 ( x 3)( x7)( x4)( x6) ;6提示：ab2 ab ，bc2bc ，ca2ca分別將以上三式相乘或相加即可;7.提示:x 2y2( x2y2 )(x2y2 )x2y22xyx y 2 ;244(2)8.提示:設(shè)切去的正方形邊長(zhǎng)為x ，無(wú)蓋方底盒子的容積為V ，則V( a2x)2 x1(a2 x)( a2x)4x1 (a2 x)(a2x)4x 3 2a344327當(dāng)且僅當(dāng) a2xa2x4x ，即當(dāng) xa 時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)V 取最大值2a3. 即當(dāng)切去的小正方627形邊長(zhǎng)是原來(lái)正方形邊長(zhǎng)的1 時(shí)，盒子容積最大 .69. 分析：觀察欲證不等式的特點(diǎn)，左邊3 項(xiàng)每一

6、項(xiàng)都是兩個(gè)數(shù)的平方之和與另一個(gè)數(shù)之積，右邊是三個(gè)數(shù)的積的6 倍. 這種結(jié)構(gòu)特點(diǎn)啟發(fā)我們采用如下方法.證明：因?yàn)?b2c2 2bc ， a 0 ，所以 a(b2c2 ) 2abc .因?yàn)?c2a2 2ac ， b0，所以 b(c2a2 ) 2abc .因?yàn)?a2b2 2ab ， c0 ，所以 c(a2b2 ) 2abc .由 于 a ， b ， c 不 全 相 等 ， 所 以 上 述 式 中 至 少 有 一 個(gè) 不 取 等 號(hào) ， 把 它 們 相 加 得a(b2c2 ) b(a2c2 ) c( a2b2 ) 6abc .10提示：觀察要證明的結(jié)論，左邊是n 個(gè)因式的乘積，右邊是2 的 n 次方，

7、再結(jié)合 a1 a2 an1 ，發(fā)現(xiàn)如果能將左邊轉(zhuǎn)化為a1 ， a2 ，an 的乘積，問(wèn)題就能得到解決 .證明：因?yàn)?a1R，所以1a11 a1a1 ，即 1 a2 a .211同理， 1 a22a2 ， 1an2an . 因?yàn)?a1 ， a2 ， anR ，由不等式的性質(zhì)，得 (1a1 )(1a2 )(1 an )2na1 a2an2n .學(xué)習(xí)必備歡迎下載因?yàn)?ai 1時(shí)， 1ai2 ai取等號(hào)，所以原式在a1a2an 1時(shí)取等號(hào) .11. 提示：要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰. 另外，如果從正面證明，需要對(duì)某一個(gè)分式小于2 或兩個(gè)分式都小于 2 等進(jìn)行分類

8、討論，而從反面證明，則只要證明兩個(gè)分式都不小于2 是不可能的即可 . 于是考慮采用反證法 .證明：假設(shè)1x ， 1y 都不小于 2，即 1x2，且 1y2 .yxyx因?yàn)?x ， y0，所以 1x2 y ，且 1 y2x . 把這兩個(gè)不等式相加，得2 x y2( x y) ，從而 x y2 . 這與已知條件x y 2 矛盾 . 因此， 1x ， 1y 都不小于 2是不可能的，即原命題成立 .yx12. 提示：利用不等式解決極值問(wèn)題， 通常設(shè)法在不等式一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋找不等式取等號(hào)的條件 .這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為acbd 的形式就能利用柯西不等式求其最大值.解：函數(shù)的定義域

9、為1 , 5 ，且 y0.y 5x 125 x52( 2)2( x 1) 2( 5 x )2274 63當(dāng)且僅當(dāng)2x155x 時(shí)，等號(hào)成立，即x1273 .時(shí)函數(shù)取最大值 62713. 提示 :a cosb sin(a cosbsin )2(a 2 b2 )(cos 2sin 2)a2b 2114. 提示 :1 (x2 y) 2(1222 )( x2y2 )5( x2y2 )x2y21.510015. 提示 :100(2 x3y4z)2(2 23242 )( x2y2z2 )x2y2z2.1112916. 提示 : 2( abc)(ab)bcca( ab)(bc)(ca)(a1b1c c1)(

10、1 11)29.ba2229.abbccaabc17. 提示：這是一個(gè)與整除有關(guān)的命題，它涉及全體正整數(shù)，若用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步應(yīng)證n 1 時(shí)命題成立；第二步要明確目標(biāo)，即在假設(shè)k35k 能夠被 6 整除的前提下，證明(k1) 35( k1) 也能被6整除.證明： 1）當(dāng) n1時(shí)， n 35n6 顯然能夠被6 整除，命題成立 .2）假設(shè)當(dāng) nk(k1)時(shí)，命題成立，即 k 35k 能夠被6整除.當(dāng) nk1時(shí)，(k1) 35(k1)k3323155( k35k ) 3k23k 6kkk( k 35k ) 3k(k 1) 6 .由 假 設(shè) 知 k 35k 能 夠 被 6 整 除 ， 而 k (k1) 是 偶 數(shù) ， 故 3k(k1) 能夠被 6 整除，從而學(xué)習(xí)必備歡迎下載(k 35k) 3k( k 1)6 即 (k1) 35(k1) 能夠被 6 整除 . 因此，當(dāng) nk1時(shí)命題成立 .由 1） 2）知，命題對(duì)一切正整數(shù)成立，即n 35n(nN) 能夠被6 整除;18. 證明：（法一）要證原不等式成立，只須證：a1b1c9b caa12cb即只須證： 2( abc)(111)9