高數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)專題

1、 第八章 第五節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 本節(jié)討論本節(jié)討論 :1) 方程在方程在什么條件什么條件下才能確定隱函數(shù)下才能確定隱函數(shù) .例如例如, 方程方程02Cyx當(dāng)當(dāng) C 0 時(shí)時(shí), 不能確定隱函數(shù)不能確定隱函數(shù);2) 在方程能確定隱函數(shù)時(shí)在方程能確定隱函數(shù)時(shí), 研究其研究其連續(xù)性、可微性連續(xù)性、可微性 及及求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法問題問題 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱

2、函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程則方程00),(xyxF在點(diǎn)單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)并有連續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù); ;的的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxFy滿足條件滿足條件機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)0)(,(xfxF兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)0ddxyyFxFy

3、xFFxydd0yF, ,所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)0 0y y) )F F( (x x, ,為為方方程程f f( (x x) )y y設(shè)設(shè)在在),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)則則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù), ,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) :)(yxFFxxyxxydd則還有則還有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 驗(yàn)證方程驗(yàn)證方程01sinyxeyx在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)某鄰

4、域某鄰域可可確定一個(gè)確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)單值可導(dǎo)隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx連續(xù)連續(xù) ,由由 定理定理1 可知可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù)導(dǎo)的隱函數(shù) 則則xyFy cos在在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且且機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 并求并求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)

5、(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)1兩邊再對(duì)兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)yyyy cos)(sin2令令 x = 0 , 注意此時(shí)注意此時(shí)1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex導(dǎo)數(shù)的另一求法導(dǎo)數(shù)的另一求法 利用隱函數(shù)求導(dǎo)利用隱函數(shù)求導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2 . 若函數(shù)若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內(nèi)具有的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程則方程0),(zyxF在點(diǎn)在點(diǎn))

6、,(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足滿足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在點(diǎn)在點(diǎn)滿足滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確某一鄰域內(nèi)可唯一確機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0),(,(yxfyxF兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)xFzxFFxzzyFFyz同樣可得同樣可得,0),(),(所確定的隱函數(shù)是方程設(shè)yxFyxfz則則zFxz00),(000zFzyx的某鄰域內(nèi)在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè)

7、,04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 再對(duì)再對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)解法解法2 利用公式利用公式設(shè)設(shè)zzyxzyxF4),(222則則,2xFxzxFFxz兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xz例例3. 設(shè)設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(zyzxF.dz求解法解法1

8、 利用偏導(dǎo)數(shù)公式利用偏導(dǎo)數(shù)公式.是由方程設(shè)),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù),)dd(2121yFxFFyFxz則)()(2221zyzxFF 已知方程已知方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故故對(duì)方程兩邊求微分對(duì)方程兩邊求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 微分法微分法. .0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

9、 下頁 返回 結(jié)束 二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(稱為稱為F、G 的的雅可比雅可比( Jacobi )行列式行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 ,即即雅可比 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3.3.,0),(0000vuyxF的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)設(shè)函

10、數(shù)),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF則方程組則方程組0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在點(diǎn)的單值連續(xù)函數(shù)的單值連續(xù)函數(shù)),(, ),(yxvvyxuu且有偏導(dǎo)數(shù)公式且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : : 在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件確定一組滿足條件滿足滿足: :0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)；, ),(000yxuu 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(000yxvv ),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理證明略定理

11、證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：數(shù)公式如下：vvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1(P34-P35)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxGFyyGFxxGFyyGF0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的線性方程組這是關(guān)于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隱函數(shù)組有隱函數(shù)組則則兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得,),(),(yxvvyxuu設(shè)方程組設(shè)方程組,0vuvuGGFFJ在點(diǎn)在點(diǎn)P 的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0公式 目錄 上頁 下

12、頁 返回 結(jié)束 故得故得系數(shù)行列式系數(shù)行列式同樣可得同樣可得),(),(1vyGFJyu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv例例4. 設(shè)設(shè), 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程組兩邊對(duì)方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx練習(xí)練習(xí): 求求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 答案答案:由題設(shè)由題設(shè)故有故有例例5.5.設(shè)函數(shù)設(shè)函

13、數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)(u,v) 的某一的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 證明函數(shù)組證明函數(shù)組),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi). ),(, ),(yxvvyxuu2) 求求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG對(duì)對(duì) x , y 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn)在與點(diǎn) (u, v) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), ,且且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

14、),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式兩邊對(duì)式兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則有則有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理由定理 3 可知結(jié)論可知結(jié)論 1) 成立成立.2) 求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). , 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 從方程組從方程組解得解得同理同理, 式兩邊對(duì)式兩邊對(duì) y 求導(dǎo)求導(dǎo), 可得可得,1vxJyuuxJyv1, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyu

15、xJ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 從方程組從方程組解得解得同理同理, 式兩邊對(duì)式兩邊對(duì) y 求導(dǎo)求導(dǎo), 可得可得,1vxJyuuxJyv1xuxv例例5的應(yīng)用的應(yīng)用: 計(jì)算極坐標(biāo)變換計(jì)算極坐標(biāo)變換sin,cosryrx的反變換的導(dǎo)數(shù)的反變換的導(dǎo)數(shù) .),(),(ryxJxrx同樣有同樣有22yxyyr22yxxy所以所以由于由于vyJ 1uyJ 1cos1rrsin1rcossinsincosrrryJ1cos22yxxryJ 122yxyrr機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)隱函數(shù)( 組組) 存在定理存在定理2. 隱函數(shù)隱函數(shù) ( 組組) 求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法

16、方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算 ;方法方法2. 利用微分形式不變性利用微分形式不變性 ;方法方法3. 代公式代公式思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè)設(shè), ),(zyxzyxfz求求.,yxzxxz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf11f 1zx2f yxzxzy211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy21fzxf21fzyf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(zyxzyxfz解法解法2. 利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù)利用全微

17、分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù). .,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由由d y, d z 的系數(shù)即可得的系數(shù)即可得)()(xzzxyy及,2 yxeyx備用題備用題.ddxu求分別由下列兩式確定分別由下列兩式確定 :又函數(shù)又函數(shù)),(zyxfu 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,1. 設(shè)設(shè)解解: 兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì)兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解得解得因此因此 zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 設(shè)設(shè))(, )(xzzxyy是由方程是由方程)(yxfxz和和0),(zyxF所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) , 求求.ddxz解法解法1 分別在各方程兩端對(duì)分別在各方程兩端對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zy