曲率函數(shù)圖形的描繪

1、3.7 曲曲 率率弧微分弧微分曲率及其計(jì)算公式曲率及其計(jì)算公式曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)(curvature)(arc element) 前面講了單調(diào)性、極值、最值、凹凸前面講了單調(diào)性、極值、最值、凹凸性。我們知道凹凸性反映的是曲線的彎性。我們知道凹凸性反映的是曲線的彎曲方向，但是朝同一方向彎曲的兩條曲曲方向，但是朝同一方向彎曲的兩條曲線，其彎曲的程度也不盡相同。線，其彎曲的程度也不盡相同。曲率就曲率就是表征彎曲程度的量，它等于單位路程是表征彎曲程度的量，它等于單位路程上方向（角度上方向（角度切線的傾斜角）的改切線的傾斜角）的改變量。變量。2一、弧微分一、

2、弧微分nrta0 xmxxx .),()(內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfxyo),(:00yxa基點(diǎn)基點(diǎn),),(為任意一點(diǎn)為任意一點(diǎn)yxm;)1(增大的方向一致增大的方向一致曲線的正向與曲線的正向與x,)2(sam .,取負(fù)號(hào)取負(fù)號(hào)相反時(shí)相反時(shí)取正號(hào)取正號(hào)一致時(shí)一致時(shí)的方向與曲線正向的方向與曲線正向當(dāng)當(dāng)ssam 規(guī)定規(guī)定3 為了得出曲線為了得出曲線 y = f (x) 的曲率公式的曲率公式, 先先計(jì)算弧長(zhǎng)函數(shù)計(jì)算弧長(zhǎng)函數(shù)s(x)對(duì)對(duì)x的微分的微分,稱為弧微分稱為弧微分.4)(xss 單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù).),(yyxxm 設(shè)設(shè)如圖，如圖，, xx 的的增增量量設(shè)設(shè)

3、對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于, s smm 0 mm0mm 于是于是 2xs2 xmm 2)( x 2mm|mm 2|mm 2 mm|mm 222)()()(xyx 2 mm|mm 21xy弧弧 s的增量為的增量為那末那末xyosxm0 x0mxx m s x y 5 xs2 xs2 mm|mm 21xy0 x令令取極限取極限,mm 221|xymmmm|limmmmmmm 即即1 又又yxyx 0lim得得 xsdd.d1d2xys 故故弧微分公式弧微分公式21y )(xss 為單調(diào)增函數(shù)為單調(diào)增函數(shù),xyosxm0 x0mxx m s x y 6如將如將.)d()d(d22yxs 則則如如曲曲線線),(y

4、xx ,d)(dttx .d)()(d22ttts .d1d2yxs sin)(cos)(yx代入公式代入公式,得得.d)()(d22 sxysd1d2 弧微分公式弧微分公式,d)(dtty ),(),(tytx )( 可化為參數(shù)方程形式可化為參數(shù)方程形式如曲線以極坐標(biāo)方程給出如曲線以極坐標(biāo)方程給出如曲線為參數(shù)方程如曲線為參數(shù)方程xd寫(xiě)到根式內(nèi)寫(xiě)到根式內(nèi),得得思考：弧微分的幾何意義？思考：弧微分的幾何意義？二、曲率及其計(jì)算公式二、曲率及其計(jì)算公式曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量。曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量。1m3m)2 2m2s 1s mm 1s 2s nn )弧段彎曲程度越

5、大弧段彎曲程度越大,轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同，轉(zhuǎn)角相同，弧段越短，彎曲程度越大弧段越短，彎曲程度越大1.曲率的定義曲率的定義1 ) s s) .m .mc0myxo.skmm 的平均曲率為的平均曲率為弧段弧段（設(shè)曲線設(shè)曲線c是光滑的，是光滑的，.0是基點(diǎn)是基點(diǎn)m,smm （. 切線轉(zhuǎn)角為切線轉(zhuǎn)角為mm定義定義sks 0lim曲線曲線c在點(diǎn)在點(diǎn)m處的曲率處的曲率,lim0存在的條件下存在的條件下在在dsdss .dsdk 8例例1 1 (1) 直線的曲率直線的曲率(2) 圓上各點(diǎn)處的曲率圓上各點(diǎn)處的曲率 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;ss 0limdsdk ss 0lim0，0 圓上各點(diǎn)

6、處的曲率等于半徑的倒數(shù)圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù).ss 0limdsdk rsrs1lim0 ，r1 圓的半徑越小曲率越大圓的半徑越小曲率越大.92.曲率的計(jì)算公式曲率的計(jì)算公式,)(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)設(shè)設(shè)xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctany 有有.12dxyds ,),(),(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)設(shè)設(shè) tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 10(1)(2),ddsk 例例2 2?2上哪一點(diǎn)的曲率最大上哪一點(diǎn)的曲率最大拋物線拋物線cbxaxy 解解,2baxy ,

7、2ay .)2(12232baxak 顯然顯然,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)abx .最最大大k,)44,2(2為拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)又又aacbab .拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大11322.(1)yky公式：例例 3 的曲率最?。康那首钚?？ t為何值時(shí)為何值時(shí), 曲線曲線)2, 0(),cos1();sin( ttayttax 求出最小曲率求出最小曲率, 寫(xiě)出該點(diǎn)的曲率半徑寫(xiě)出該點(diǎn)的曲率半徑.解解 232)(1|)(yytk 要使要使k(t)最小最小, 等價(jià)于等價(jià)于 最大最大, 故當(dāng)故當(dāng) 即即 t曲率最小曲率最小, 且且,41minak .41akr ,|2sin|41ta, 1|2sin| t|2si

8、n|t 擺線擺線三、曲率圓與曲率半徑三、曲率圓與曲率半徑定義定義d)(xfy mk1 .),(,.1,).0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點(diǎn)稱此圓為曲線在點(diǎn)如圖如圖作圓作圓為半徑為半徑為圓心為圓心以以使使在凹的一側(cè)取一點(diǎn)在凹的一側(cè)取一點(diǎn)處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點(diǎn)在點(diǎn)處的曲率為處的曲率為在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)曲線設(shè)曲線mdkdmdmkkyxmxfy ,曲率中心曲率中心 d.曲率半徑曲率半徑 xyo131.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù)曲率互為倒數(shù).1,1 kk即即注意注意: :2.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大曲線上一點(diǎn)處的曲率

9、半徑越大,曲線在該點(diǎn)曲線在該點(diǎn)處的曲率越小處的曲率越小(曲線越平坦曲線越平坦);曲率半徑越小曲率半徑越小,曲曲率越大率越大(曲線越彎曲曲線越彎曲).3.曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)附曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)附近曲線弧近曲線弧(稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似).曲率圓曲率圓y=y(x)與曲線與曲線y=f(x)的關(guān)系的關(guān)系:過(guò)同一點(diǎn)過(guò)同一點(diǎn)有公切線有公切線圓弧與曲線在該點(diǎn)處曲率相等，且彎曲方向相同圓弧與曲線在該點(diǎn)處曲率相等，且彎曲方向相同14 例例4 4 設(shè)工件表面的截線為拋物線設(shè)工件表面的截線為拋物線y 0. .4x2. . 現(xiàn)在要現(xiàn)在要用砂輪磨削其

10、內(nèi)表面用砂輪磨削其內(nèi)表面. . 問(wèn)用直徑多大的砂輪才比較合適？問(wèn)用直徑多大的砂輪才比較合適？ 解解 砂輪的半徑不應(yīng)大于拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑砂輪的半徑不應(yīng)大于拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑. . 拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑為拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑為 k 1 1. .25. . 因此因此, 選用砂輪的半徑不得超過(guò)選用砂輪的半徑不得超過(guò)1. .25單位長(zhǎng)單位長(zhǎng) 即直徑即直徑不得超過(guò)不得超過(guò)2. .50單位長(zhǎng)單位長(zhǎng). . y 0. .8x y0. .8 y |x 0 0 y |x 0 0. .8. . 把它們代入曲率公式把它們代入曲率公式 得得232)1 (|yyk 0.8. 15四、小結(jié)四、小結(jié)運(yùn)用微分學(xué)的理

11、論運(yùn)用微分學(xué)的理論,研究曲線和曲面的性研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支質(zhì)的數(shù)學(xué)分支微分幾何學(xué)微分幾何學(xué).基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圓曲率圓.曲線彎曲程度的描述曲線彎曲程度的描述曲率曲率;曲線弧的近似代替曲率圓曲線弧的近似代替曲率圓(弧弧).16作業(yè)作業(yè)習(xí)題習(xí)題3-7(1753-7(175頁(yè)頁(yè)) )3. 5. 圖形描繪的步驟圖形描繪的步驟作圖舉例作圖舉例漸近線漸近線(asymptotic line)3.6 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪18 現(xiàn)在我們還不能很好地現(xiàn)在我們還不能很好地作出函數(shù)的圖形作出函數(shù)的圖形 , 因?yàn)檫€不因?yàn)檫€不知道如何求曲線的漸近線知道如何求曲線的漸近線 .

12、中學(xué)就會(huì)求中學(xué)就會(huì)求了了.若動(dòng)點(diǎn)若動(dòng)點(diǎn) p 沿著曲線沿著曲線 y = f ( x ) 的某一方向無(wú)的某一方向無(wú)限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí), 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) p 到一直線到一直線 l 的距離的距離趨于零趨于零 , 則稱此直線則稱此直線 l 為曲線為曲線 y = f ( x ) 的一條的一條漸近線漸近線 . 一、曲線的漸近線一、曲線的漸近線曲線的漸近線曲線的漸近線水平漸近線水平漸近線垂直漸近線垂直漸近線斜漸近線斜漸近線1. 鉛直漸近線鉛直漸近線如果如果那么那么 0 xx0 xx 的一條的一條就是就是)(xfy 鉛直漸近線鉛直漸近線. )(limxf 或或 )(limxf 0 xx (垂直于垂直于x

13、軸的軸的漸近線漸近線)222. 水平漸近線水平漸近線如果如果那么那么 )(limxfby 的一條的一條就是就是)(xfy 水平漸近線水平漸近線.xxb或或b( (b為常數(shù)為常數(shù)) )(平行于平行于x軸的軸的漸近線漸近線) )(limxf兩種漸近線的定義兩種漸近線的定義*3 斜漸近線斜漸近線有則曲線)(xfy 斜漸近線斜漸近線.bxky)(x或若若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或( p75 題題13)函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪ox

14、yxy1, 01limxx . 0 y水平漸近線, 1lim0 xx . 0 x垂直漸近線. sin 的漸近線求曲線xxy , 0sinlim xxx. sin 0 的水平漸近線是曲線xxyyoxyxxysin0y 曲線可以穿過(guò)曲線可以穿過(guò)其漸近線其漸近線 .解解例例1. ln 的漸近線求曲線xy 的定義域： ln xy ) , 0(x, lnlim 0 xx是曲線 0 x. ln的垂直漸近線xy oxyxyln1解解例例2例例. 求曲線求曲線211xy的漸近線的漸近線 .解解:2)211(limxx2 y為水平漸近線為水平漸近線;,)211(lim1xx1 x為垂直漸近線為垂直漸近線.21利

15、用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.確定函數(shù)的定義域、值域、間斷點(diǎn)確定函數(shù)的定義域、值域、間斷點(diǎn),函數(shù)是否有奇偶性、周期性函數(shù)是否有奇偶性、周期性.判定判定和拐點(diǎn)和拐點(diǎn),討論函數(shù)的單調(diào)性和極值討論函數(shù)的單調(diào)性和極值,曲線的凹凸性曲線的凹凸性漸近線漸近線. 適當(dāng)計(jì)算曲線上一些點(diǎn)的坐標(biāo)適當(dāng)計(jì)算曲線上一些點(diǎn)的坐標(biāo),是否與坐標(biāo)軸是否有交點(diǎn)是否與坐標(biāo)軸是否有交點(diǎn).特別注意特別注意函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪二、圖形描繪的步驟二、圖形描繪的步驟2829例例.2)1(4)(2的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxf解解, 0: xd非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù),)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xx

16、xf , 0)( xf令令, 2 x得駐點(diǎn)得駐點(diǎn), 0)( xf令令. 3 x得得2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y水水平平漸漸近近線線三、作圖舉例三、作圖舉例2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x鉛直漸近線鉛直漸近線x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐點(diǎn)拐點(diǎn)極小極小值值間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)3 )926, 3( 無(wú)斜漸近線無(wú)斜漸近線.3)2(4)(xxxf 4)3(8)(xxxf 2)1(4)(2 xxxf列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn)凹凸區(qū)間

17、及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):30),0 , 31( ),2, 1( ),6 , 1().1 , 2(作圖作圖2)1(4)(2 xxxf拐點(diǎn)拐點(diǎn))926, 3( 極小值極小值3)2( f補(bǔ)充點(diǎn)補(bǔ)充點(diǎn)),0 , 31( x)(xf )(xf)(xf )3,( ), 0()2, 3( 3 )0 , 2( 2 0 0 不存在不存在 0 拐點(diǎn)拐點(diǎn)極小值極小值間間斷斷點(diǎn)點(diǎn), 2 y. 0 x水平漸近線水平漸近線: :垂直漸近線垂直漸近線: :xyo3 1 6 2 2 1 1 2 3函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪. ) 1() 1( 23的圖形作出函數(shù)xxy :函數(shù)的定義域. ) , 1() 1 ,(x, ) 1()5(

18、) 1(32xxxy, ) 1() 1(244 xxy , 5 , 1 , 0 xxy得駐點(diǎn)令 , 1 , 0 xy得拐點(diǎn)可疑點(diǎn)令解解xyy y)5 ,(5) 1 , 5(1) 1 , 1(1) , 1 (000極大極大拐點(diǎn)拐點(diǎn)例例, 5 : x極大點(diǎn), 5 .13)5( : f極大值. )0 , 1 ( 拐點(diǎn)為 , ) 1() 1(lim23xxx曲線無(wú)水平漸近線曲線無(wú)水平漸近線 . , ) 1() 1(lim231xxx. 1為垂直漸近線x1) 1() 1(lim)(lim23xxxxxfxx1a5) 1(125lim)(lim22xxxxaxfxx5b . 5 xy曲線有斜漸近線 . ) 1 , 0( ,軸相交于點(diǎn)曲線與此外yoxy15 xy523) 1() 1(xxy5 .130) (1,63912-3-6-9-12-153-3( 3) 3) ( 3 3)3(3 6)6(6 (6 ) )x y f(x)的圖形的圖形 11/311/3拐點(diǎn)拐點(diǎn)4 4極大極大 鉛直漸近線為鉛直漸近線為x3 水平漸近線為水平漸近線為y 1. . f(0) 1 f( 1)8 f( 9)8 f( 15)11/4. . y1x3(3,4)311, 6(1,8)(9,8)411,15(例 3. 作函數(shù)2) 3(361xxy的圖形. 練習(xí)練習(xí) 解解 函數(shù)性態(tài)分析表