第六章壓桿穩(wěn)定

1、第六章 壓桿穩(wěn)定 6-1 引言1、構(gòu)件失效形式存在三種失效強(qiáng)度失效：構(gòu)件最大應(yīng)力超過許 用應(yīng)力。剛度失效：變形量超過許用變形。穩(wěn)定性失效：桿件受軸向壓力， 逐漸增大壓力p，當(dāng)p達(dá)到一定時，桿突然向側(cè)向彎曲，失去繼續(xù)承載稱為穩(wěn)定性失 效，簡稱失穩(wěn)。2、本章研究重點掌握桿件失穩(wěn)前所承受的最大載荷即臨界載荷計算公式和臨界應(yīng)力計算式及壓桿穩(wěn)定性校核。了解影響壓桿臨界力的主要因素及提高穩(wěn)定性的主要途徑。6-2 壓桿穩(wěn)定的基本問題一、問題提出直桿承受軸向載荷其破壞有兩種強(qiáng)度屈服破壞失穩(wěn)破壞例如：對于一個長l，截面尺寸為bt = 102 mm2 矩形截面桿。屈服強(qiáng)度s =235mpa，求使之屈服所需力ann

2、= sa=20 235=4700(n)但對某一長度壓桿，使之失穩(wěn)的軸向力只需100n，并且桿越長，所需軸向力越小。二、平衡的穩(wěn)定性平衡穩(wěn)定性穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡1、穩(wěn)定平衡如圖：小球受一瞬間推力，小球在凹面往復(fù)擺動，最后總停在最低位置點，位能極小，屬于穩(wěn)定平衡。f2、不穩(wěn)定平衡如圖：凸面小球加一瞬間推力，小球沿表面滾下，無法回到原位置，凸面上小球處于不穩(wěn)定平衡。3、隨遇平衡如圖：平面小球受到瞬間水平力作用，位能不變，其停止位置是不確定的，其平衡是隨遇平衡。fggr判斷三種平衡方法： 穩(wěn)定平衡物體受一微小側(cè)向力，物體經(jīng)幾次位置變動后，又靜止于初始位置物體初始處于穩(wěn)定平衡。不穩(wěn)定平衡物體受一

3、微小側(cè)向力作用后，運(yùn) 動就不停止了，再也回不到初始 狀態(tài)物體初始處于不穩(wěn)定平衡。 隨遇平衡物體受一力作用，運(yùn)動一段后，又靜止于某一位置，位置是不定的物體初態(tài)是隨遇平衡。三、剛性壓桿穩(wěn)定性問題如圖：一剛性cd桿上端連有兩個彈簧，剛度k，桿軸向壓力p，d端固定鉸支座。dcpxcdffpxx在c端加一微小側(cè)向力f，使c端偏轉(zhuǎn)，位移x，桿上端受力圖。c端受左彈簧推力fx ，右彈簧拉力fx 及壓力p兩彈簧使桿恢復(fù)到垂直位置，恢復(fù)力矩 m1 = 2kx壓力p使桿傾斜，傾斜力矩m2 m2 = px當(dāng)m1 m2 ，桿運(yùn)動幾次后 最終處于平衡 桿處于穩(wěn)定平衡。當(dāng)m2 m1 ，桿受到瞬間側(cè)向力作用就會連續(xù) 傾斜。

4、當(dāng)m1 = m2 ，桿受到瞬間側(cè)向力作用后，傾斜 一定角度后，就處于穩(wěn)定狀態(tài)。 此時cd桿處于穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定 平衡之間臨界狀態(tài)。 此時載荷p臨界載荷。如圖：一理想壓桿，桿件受壓力p作用。逐漸增加p，壓桿發(fā)生的現(xiàn)象1、壓力p從0逐漸增加，當(dāng)壓力p小于某極限plj時，桿始終保持直線，即使桿側(cè)向受一微力作用發(fā)生微小彎曲，外力去除后，桿又恢復(fù)直線，p plj ，壓桿是穩(wěn)定平衡。p2、當(dāng)壓力p達(dá)到某極限plj時，桿受一側(cè)向微力桿變彎曲，撤去外力 桿仍彎曲，當(dāng)p=plj時，壓桿處于隨遇平衡， plj稱為臨界壓力。又稱使壓桿保持直線的最大軸向力或使壓桿變曲線的最小力。3、桿失穩(wěn)后，在plj壓力作用下，壓桿

5、逐漸彎曲。6-3 兩端球鉸支座細(xì)長壓桿的臨界壓力plj 一、臨界壓力計算式推導(dǎo)如圖（1）：一端固定鉸支，一端滑動鉸支，受軸向力plj作用， plj為使壓桿保持微小彎曲平衡的最小軸向壓力，桿件微彎曲平衡如圖（2），變形量為yplj( 1 )pljy( 2 )plj用截面法在桿上任一位置截開，分離體受力圖（3）yplj( 3 )n=pljm(x)xn = plj ，m(x)= plj y，撓度y為負(fù)撓曲線微分方程：eimyx)( eipyy 令0 pyeiyeipk 20 2yky截開截面存在內(nèi)力n及彎矩m(x)方程通解：y=c1 sinkx+c2 coskx 邊界條件： x=0，y=0 得 c2

6、 =0，x=l，y=0即 y=c1 sinkl=0c10，sinkl=0，kl=n(n=0,1,2 )nleip222leinpn=0 p=0，與原假設(shè)相反，不成立使p最小，n=122minleipplj此式稱為歐拉公式n=1時，lkxlcysin1正弦波曲線兩端鉸支壓桿臨界狀態(tài)撓曲線為半個正弦波曲線如圖：lyx6-4 其它支座條件下細(xì)長桿的臨界壓力plj工程上兩端約束最典型有四種情況：兩端鉸支一端自由 一端固定一端鉸支 一端固定兩端固定兩端鉸支約束壓桿受力模型一端自由一端固定約束受力模型一端鉸支一端固定約束受力模型兩端固定約束受力模型pppp這四種約束的壓桿臨界壓力計算， 采用相當(dāng)長度法相當(dāng)

7、長度法在壓桿某一相當(dāng)長度內(nèi)任何約束壓桿 其失穩(wěn)撓曲線均為半波正弦曲線，由此將其它約束壓桿轉(zhuǎn)化為兩端鉸支壓桿，利用歐拉公式計算臨界壓力。例：一端固定，一端自由桿，其失穩(wěn)撓曲線為半波正弦曲線。如圖：則半波正弦曲線長2l，與2l長兩端鉸支壓桿失穩(wěn)撓曲線相同。2l為此種約束的相當(dāng)長度。兩端鉸支的2l壓桿，失穩(wěn)臨界壓力plj22)2( leiplj2lpl由此得到其它約束情況壓桿臨界壓力：22)( leiplj歐拉公式一般表達(dá)式l壓桿相當(dāng)長度 長度系數(shù)四種約束的取值：兩端鉸支：=1，一端自由一端固定： =2一端鉸支一端固定：=0.7，兩端固定： =0.5越大，plj越小，越易失穩(wěn)，工程上盡可能固支。例題

8、：如圖，已知 ef為剛性軸，端部受力p，受兩細(xì)長桿ab,cd支承，ab,cd抗彎剛度ei，求結(jié)構(gòu)最大允許載荷。abcdefpla/2a/2a解：對ef桿進(jìn)行受力分析，受力圖pncdabrrnxy列平衡方程x=0y=0m(e)=0rx=0ry+nab+ncdp=0paanancdab22三個方程，四個未知數(shù)，屬超靜定問題，需補(bǔ)充方程。ab、cd壓桿：各桿最大可承受載荷為臨界載荷壓桿失穩(wěn)時仍具有承載能力，承載極限載荷為pljab桿承載極限 cd桿承載極限22leinab22leincdpaaleialei2222222243leip6-5 壓桿的臨界應(yīng)力一、臨界應(yīng)力lj 由歐拉公式 得壓桿臨界應(yīng)力

9、plj 22leiplj壓桿臨界狀態(tài)時 桿截面的應(yīng)力臨界應(yīng)力lj aleiapljlj22)(人為規(guī)定：i=i2a， i截面最小慣性半徑aii 令 ，稱為壓桿柔度或壓桿長細(xì)比物理意義：反映壓桿長度l、約束條件、橫截面尺寸及形狀i對臨界應(yīng)力影響。il22elj歐拉公式另一種表達(dá)方式。注意：lj與壓桿材料(e)、兩端約束()、長度(l)、橫截面積大小及形狀有關(guān)。壓桿局部削弱，壓桿臨界應(yīng)力不變，對穩(wěn)定問題不必考慮局部結(jié)構(gòu)；但對強(qiáng)度問題，必須考慮局部削弱問題。如圖：壓桿橫截面有一孔，其臨界壓力與無孔壓桿相同。壓桿存在兩個慣性矩i時 如矩形截面，臨界壓力plj 計算式中i應(yīng)取最小的i 如圖：bh 123

10、1bhi 1232hbi phb二、歐拉公式適用范圍歐拉公式由近似微分方程導(dǎo)出， 在小變形下服從虎克定律歐拉公式適用范圍：lj p壓桿臨界應(yīng)力不大于材料比例極限，此時壓桿失穩(wěn)為彈性失穩(wěn)。如果 lj p，材料發(fā)生了塑性變形，不服從虎克定理 ，eimyx)( 不成立，歐拉公式也不存在。eimyx)( 只有當(dāng)柔度 ，歐拉公式才成立。令 plje22pe2pe2ppe2當(dāng)p 壓桿稱為大柔度桿或細(xì)長桿，歐拉公式成立。il計算當(dāng)p 時臨界壓力計算公式成立特別注意：計算壓桿臨界壓力plj或臨界應(yīng)力lj時首先計算 及如果 p ，則可應(yīng)用)(ilppe222)( leiplj#三、中柔度壓桿的臨界公式1、直線公

11、式lj = ab a、b值是與材料性質(zhì)有關(guān)常數(shù)。由a、b及 可計算出臨界應(yīng)力lj 臨界壓力plj = lj a直線公式適用范圍：p lj = ab s ， 令basbass當(dāng)s p 時，直線公式成立 即lj = ab用圖表示個公式應(yīng)用范圍：sp短粗桿壓縮強(qiáng)度失效問題中柔度桿失穩(wěn)問題細(xì)長桿失穩(wěn)問題 =ljs =a-b =e22ljlj6-6 壓桿穩(wěn)定性校核一、穩(wěn)定安全準(zhǔn)則為了保證壓桿受力不失穩(wěn)，其工作壓力必小于臨界壓力plj 還要有一定安全儲備。壓桿最大允許壓力pmaxwljnppmax或wplj計算臨界壓力nw穩(wěn)定安全系數(shù)w穩(wěn)定許用應(yīng)力，wljwn穩(wěn)定安全系數(shù)nw總大于強(qiáng)度安全系數(shù)ns(nb)

12、其原因：實際中存在一些難以避免因素（如不完平直、材料不均、壓力偏心及支座缺陷等），這些因素對壓桿穩(wěn)定影響巨大。壓桿失穩(wěn)屬突然性，危害大。注意:有局部削弱壓桿的安全校核方法：首先進(jìn)行穩(wěn)定性校核，此時不必考慮削弱處結(jié)構(gòu)與尺寸。按臨界無缺陷壓桿計算對削弱處進(jìn)行強(qiáng)度計算wljnpp _ap兩者均安全，則此壓桿才是安全的二、壓桿穩(wěn)定安全系數(shù)法如果計算出臨界壓力plj ，壓桿工作時載荷p壓桿工作安全系數(shù) ljljppn如果 nnw 則 壓桿穩(wěn)定例題：如圖一手動擠壓裝置。已知ab為剛性桿，壓桿bc,其彈性模量e=206gpa，p=235mpa，如果壓桿安全系數(shù)nw =4求a端允許最大力p1003006200

13、bcdap解：取ab桿 為研究對象, 其受力如圖列力矩平衡方程 nbc100= p3003bcnp nnpbcd求nbcil5 . 14646424dddaii3 .1335 . 12001932ppe p 可用歐拉公式計算臨界壓力plj )(6 .3228)22nleiplj（許用壓力)(807 nnpnwljbc)(2693maxnnpbc6-7 提高壓桿穩(wěn)定性措施由臨界應(yīng)力公式 可以看出由以下有關(guān)方面因素影響壓桿穩(wěn)定性，提高穩(wěn)定性方法如下：一、減小壓桿柔度 2222)(eileljil中間加支座，長度l縮短一半,plj增加為原來的4倍。1、減小壓桿長度l 細(xì)長桿可以通過中間加支座減小l，如圖：pp2、增加截面最小慣性半徑,選擇合理截面形狀不同截面i不同，如果將材料布置到離中心遠(yuǎn)一些則可增加i, 如采用空心結(jié)構(gòu)。3、加強(qiáng)支座約束盡量采用最小結(jié)構(gòu)，如兩端固支= 0.5最小。盡可能采用兩端固支結(jié)構(gòu)。如:由兩端鉸支約束,改為兩端固支約束,臨界載荷可增加4倍aii 二、合理選材提高e值1、對細(xì)長桿 對各種鋼材e均相差不