初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案⑼2

1、初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第 9 講應(yīng)用問(wèn)題選講我們知道， 數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科；我們?cè)趯W(xué)校中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，一方面是為學(xué)習(xí)其它學(xué)科和學(xué)習(xí)更深的數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)打下一個(gè)基礎(chǔ)，更重要的是為了現(xiàn)在和將來(lái)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)去解決一些日常生活、科學(xué)試驗(yàn)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中所遇到的實(shí)際問(wèn)題；運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路是：先將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題（我們稱之為建立數(shù)學(xué)模型），然后解答這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而解決這個(gè)實(shí) 際問(wèn)題；即：這里，建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵的一步；也就是說(shuō)，要通過(guò)審題，將實(shí)際問(wèn)題與 自己學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)、 數(shù)學(xué)方法聯(lián)系起來(lái)， 將其歸結(jié)到某一類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后解答這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題；下面介紹一些典型的數(shù)

2、學(xué)模型；一、兩個(gè)量變化時(shí)，和肯定的問(wèn)題兩個(gè)變化著的量， 假如在變化的過(guò)程中，它們的和始終保持不變，那么它們的差與積之間有什么關(guān)系呢？觀看下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個(gè)變化著的量， 假如在變化的過(guò)程中，和始終保持不變， 那么它們的差越小，積就越大；如它們能夠相等，就當(dāng)它們相等時(shí)，積最大；這個(gè)規(guī)律對(duì)于三個(gè)和三個(gè)以上的變量都是成立的；例 1 農(nóng)夫叔叔阿根想用20 塊長(zhǎng) 2 米、寬 1.2 米的金屬網(wǎng)建一個(gè)靠墻的長(zhǎng)方形雞窩；為了防止雞飛出，所建雞窩的高度不得低于2 米，要使雞窩面積最大，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別應(yīng)是多少？解：如上圖，設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為x 米和 y 米，就有x2y 1.2 

3、5;2024 ；長(zhǎng)方形的面積為由于 x 和 2y 的和等于 24 是一個(gè)定值， 故它們的乘積當(dāng)它們相等時(shí)最大，此時(shí)長(zhǎng)方形面積s 也最大；于是有x=12， y 6；例 2 假如將進(jìn)貨單價(jià)為40 元的商品按50 元售出，那么每個(gè)的利潤(rùn)是10 元，但只能賣(mài)出500 個(gè)；當(dāng)這種商品每個(gè)漲價(jià)1 元時(shí)，其銷售量就削減10 個(gè)；為了賺得最多的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？解：設(shè)每個(gè)商品售價(jià)為（50+x）元，就銷量為（500-10x）個(gè)；總共可以獲利:（50x-40 ）×（ 500-10x ）=10×（ 10+x）×（ 50-x）（元）；因（10+x）+（50x）=60 為肯定值，故當(dāng)1

4、0+x=50 x 即 x=20時(shí)，它們的積最大；此時(shí)，每個(gè)的銷售價(jià)為5020=70（元）；例 3 如一個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為54 厘米 2，為了使長(zhǎng)方體的體積最大，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各應(yīng)為多少厘米？解：設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為x， y， z 厘米，體積為v 厘米 3；2（xy yz+zx）=54，xy yz+zx=27；由于 v2=（ xyz ）2=（xy ）（ yz ）（ zx），故當(dāng) xy=yz=zx即 x=y=z=3 時(shí)， v2 有最大值，從而v 也有最大值；例 4 有一塊長(zhǎng) 24 厘米的正方形厚紙片， 在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)小正方形， 就可以做成一個(gè)無(wú)蓋的紙盒， 現(xiàn)在要使做成的紙盒容積最大， 剪

5、去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為幾厘米？解：如上圖，設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為x 厘米，就紙盒的容積為v=x（24-2x ）（ 24-2x ）=2 ×2x（12-x ）（ 12-x ） ；因 為 2x+（12-x ）+（12-x ）=24 是一個(gè)定值，故當(dāng)2x=12-x 12-x ，即 x=4 時(shí)，其乘積最大，從而紙盒的容積也最大；二、兩個(gè)量變化時(shí)，積肯定的問(wèn)題兩個(gè)變化著的量， 假如在變化的過(guò)程中，它們的乘積始終保持不變，那么它們的差與和之間有什么關(guān)系呢？觀看下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個(gè)變化著的量， 假如在變化的過(guò)程中，乘積始終保持不變， 那么它們的差越小，和就越?。蝗缢鼈兡軌蛳嗟?，就

6、當(dāng)它們相等時(shí)，和最小；例5 長(zhǎng)方形的面積為144 cm2，當(dāng)它的長(zhǎng)和寬分別為多少時(shí)， 它的周長(zhǎng)最短？解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為xcm 和 ycm，就有xy 144；故當(dāng) x=y=12 時(shí)， x+y 有最小值，從而長(zhǎng)方形周長(zhǎng)2（xy）也有最小值； 例 6 用鐵絲扎一個(gè)空心的長(zhǎng)方體，為了使長(zhǎng)方體的體積恰好是216cm3，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少厘米時(shí)，所用的鐵絲長(zhǎng)度最短？解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，就有 xyz 216；鐵絲長(zhǎng)度的和為4 （x y z ），故當(dāng) x y=z6 時(shí)，所用鐵絲最短；例 7 農(nóng)場(chǎng)方案挖一個(gè)面積為432 m2 的長(zhǎng)方形養(yǎng)魚(yú)池，魚(yú)池四周兩側(cè)分別有3

7、m和 4m的堤堰如下圖所示，要想占地總面積最小，水池的長(zhǎng)和寬應(yīng)為多少？解：如下列圖，設(shè)水池的長(zhǎng)和寬分別為xm和 ym，就有 xy 432；占地總面積為s=（x6）（ y8）cm2；于是 s=xy+6y+8x486y+8x+480；我們知道6y × 8x=48× 432 為肯定值，故當(dāng)6y=8x 時(shí)， s 最小，此時(shí)有6y=8x=144，故 y=24，x=18；例 8 某游泳館出售冬季同學(xué)游泳卡，每張240 元，使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每人只限一次；某班有48 名同學(xué)，老師準(zhǔn)備組織同學(xué)集體去游泳，除需購(gòu)買(mǎi)如干張游泳卡外，每次游泳仍需包一輛汽車(chē)，無(wú)論乘坐多少名同學(xué)，

8、每次的包車(chē)費(fèi)均為40 元；如要使每個(gè)同學(xué)游8 次，每人最少交多少錢(qián)？解：設(shè)一共買(mǎi)了x 張卡，一共去游泳y 次，就共有xy=48× 8=384（ 人 次 ）， 總用費(fèi)為（ 240x40y）元；由于 240x×40y=240× 40×384 是肯定值，故當(dāng)240x=40y ，即 y=6x 時(shí)，和最??；易求得x=8，y=48；此時(shí)總用費(fèi)為240×840×48=3840（元），平均每人最少交3840 ÷ 48=80（元）；三、利用不等關(guān)系來(lái)解答的應(yīng)用題例 9 某公司在 a，b 兩地分別庫(kù)存有某機(jī)器16 臺(tái)和 12 臺(tái)，現(xiàn)要運(yùn)往甲、乙

9、兩家客戶的所在地， 其中甲方15 臺(tái)，乙方 13 臺(tái)；已知從 a 地運(yùn)一臺(tái)到甲方的運(yùn)費(fèi)為 500 元，到乙方的運(yùn)費(fèi)為400 元，從 b 地運(yùn)一臺(tái)到甲方的運(yùn)費(fèi)為300 元，到乙方的運(yùn)費(fèi)為600 元；已知運(yùn)費(fèi)由公司承擔(dān)，公司應(yīng)設(shè)計(jì)怎樣的調(diào)運(yùn)方案，才能使這些機(jī)器的總運(yùn)費(fèi)最??？解：設(shè)由 a 地運(yùn)往甲方x 臺(tái)，就 a 地運(yùn)往乙方（ 16-x ）臺(tái)，b 地運(yùn)往甲方（15-x ）臺(tái)， b 地運(yùn)往乙方（ x 3）臺(tái)；于是總運(yùn)價(jià)為：s=500x+400（16-x ） 300（15-x ）+600（x-3 ）400x+9100；明顯， x 要滿意不等式3x15，于是當(dāng) x=3 時(shí)，總運(yùn)價(jià)最省，為400 ×

10、; 3 9100=10300（元）；調(diào)運(yùn)方案為：由a 地運(yùn)往甲方3 臺(tái)， a 地運(yùn)往乙方13 臺(tái)， b 地運(yùn)往甲方12臺(tái)， b 地運(yùn)往乙方0 臺(tái)；例 10 某校打算出版“作文集”，費(fèi)用是30 冊(cè)以內(nèi)為80 元，超過(guò) 30 冊(cè)的每?jī)?cè)增加 1.20 元；當(dāng)印刷多少冊(cè)以上時(shí)，每?jī)?cè)費(fèi)用在1.50 元以內(nèi)？解：明顯印刷的冊(cè)數(shù)應(yīng)當(dāng)大于30；設(shè)印刷了（ 30x）冊(cè)，于是總用費(fèi)為（ 80+1.2x ）元；故有80+1.2x 1.5×（ 30+x），以內(nèi)；例 11 現(xiàn)有三種合金：第一種含銅60，含錳40；其次種含錳10，含 鎳 90；第三種含銅20，含錳 50，含鎳 30；現(xiàn)各取適當(dāng)數(shù)量的這三種合金，

11、組成一塊含鎳45的新合金，重量為1 千克；（1）求新合金中其次種合金的重量的范疇；（2）求新合金中含錳的重量的范疇；解：設(shè)第一種合金用量為x 千克， 其次種合金用量為y 千克， 第三種合金用量為 z 千克，依題意有（1）假如不取第一種合金，即x=0，那么新合金中其次種合金重量最小；解 得 y=0.25 ；假如不取第三種合金，即z=0，那么新合金中其次種合金重量最大；解得y 0.5 ；新合金中其次種合金的重量范疇是0.25 克 到 0.5 克 ；（2）由可得z1.5-3y ，x=2y0.5 ；故新合金中含錳的重量為s40 x+10y+50z=40（ 2y-0.5 ） 10 y 50（ 1.5-3

12、y ）0.55-0.6y；由于 0.25 y 0.5 ，所以 0.25 s0.4 ，即新合金中含錳的重量范疇是0.25克 到 0.4 克 ；例 12 某商店需要制作如下圖所示的工字形架100 個(gè)，每個(gè)由三根長(zhǎng)為2.3米、1.7 米、1.3 米的鋁合金材料組裝而成；市場(chǎng)上可購(gòu)得該鋁合金材料的原料長(zhǎng)為 6.3 米；問(wèn)：至少要買(mǎi)回多少根原材料，才能滿意要求（不計(jì)損耗）？解：每根原材料的切割有下表的七種情形：明顯，三種方案損耗較??；方案依次切割原材料42 根、14根、29 根、1 根，可得 2.3 米、1.7 米、1.3 米的材料各100 根，共用原材料42 14291=86（根）；練 習(xí) 91銷售某

13、種西服， 當(dāng)每件售價(jià)為100 元時(shí)可售出1000 件；假如定價(jià)每下降1，那么銷售量將提高0.5 ，又知道這批西服是每件80 元成本購(gòu)進(jìn)的；問(wèn)：應(yīng)如何定價(jià)才能使獲利最大？2下圖是一個(gè)面積為4m2 的窗戶，當(dāng)ab 的值是多少時(shí)，窗戶的框架所用的材料最??？3有一個(gè)長(zhǎng)為80cm、寬為 40cm的木板，要以它為原材料做一個(gè)無(wú)蓋的木盒，應(yīng)當(dāng)如何制作才能使木盒的容積最大？最大的容積是多少？4某廠要建造一個(gè)無(wú)蓋的露天水槽，其底為正方形，容量為 64000m3；在建造時(shí)，槽底的造價(jià)是四壁的 2 倍，這個(gè)水槽的底面邊長(zhǎng)和高的比例是多少時(shí)， 造價(jià)最?。?a 城有化肥 200 噸，b 城有化肥 300 噸，現(xiàn)要將化肥

14、運(yùn)往 c，d 兩村；已知從 a 城運(yùn)往 c，d兩村的運(yùn)價(jià)分別是每噸 20 元和 25 元，從 b 城運(yùn)往 c，d 兩村的運(yùn)價(jià)分別是每噸 15 元和 22 元；某個(gè)體戶承包了這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)， 請(qǐng)你幫他算一算，如何調(diào)運(yùn)才能使運(yùn)費(fèi)最?。?有兩個(gè)同學(xué)參與4 次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，他們的平均分?jǐn)?shù)不同，但都是低于90分的整數(shù)；他們又參與了第5 次測(cè)驗(yàn)，這樣5 次的平均分?jǐn)?shù)都提高到了90 分，求第 5 次測(cè)驗(yàn)二人的得分（滿分為100 分）；7某機(jī)械廠要把一批長(zhǎng)7300 毫米的鋼筋截成長(zhǎng)290 毫米、 210 毫米和 150毫米的鋼筋各一段組成一套鋼筋架子；現(xiàn)在做 100 套鋼筋架子， 至少要用去長(zhǎng)為7300 毫米的鋼筋

15、多少根？8下表所示為x，y，z 三種食品原料的維生素含量（單位：?jiǎn)挝? 千克）及成本：現(xiàn)在要將三種食物混合成100 千克的混合物，要求混合物至少需含44000 單位的維生素a 及 48000 單位的維生素b0 假如所用的食物中x，y，z 的重量依次為 x 千克、 y 千克、 z 千克，那么請(qǐng)定出x，y， z 的值，使得成本為最少；練習(xí) 9 答案：1.91 元；解：設(shè)定價(jià)為每件（100-x）元，就銷售量為1000（ 1+0.5x）件；利潤(rùn)為（100-x-80）× 1000（ 1+0.5x）=500×（ 20-x）（ 2+x）；由于（ 20-x） +（ 2+x）=22 為肯定值

16、，故當(dāng)20-x=2+x 即 x=9 時(shí)利潤(rùn)最高；此時(shí)每件定價(jià)為100-9=91（元）；2.23；解：窗戶的框架長(zhǎng)為3a+2b，而ab=4 是一個(gè)定值，從而3a×2b=6ab=24也 是一個(gè)定值，故當(dāng)3a=2b 即 ab=2 3 時(shí)窗戶框架所用材料最??；3.32000cm3解：設(shè)木盒的長(zhǎng)、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，就它的容積為v=xyzcm 3 ；由于xy+2xz+2yz=40×80=3200為肯定值，故它們的積xy×2xz× 2yz=4（ xyz） 2=4v2，在 xy=2xz=2yz 時(shí)最大，從而v 也最大，此時(shí)有x=y=2z；經(jīng)運(yùn)算得x=4

17、0，y=40，z=20；詳細(xì)制作方式如下：先取原木板的一半（40cm×40cm）作為木盒的底面， 再將剩下的一半分成20 cm×40 cm 大小的四等份，每份作為木盒的一個(gè)側(cè)面就可以了；4.11；解：設(shè)四壁的造價(jià)是a 元/m2，就底面造價(jià)為2a 元/m 2；又設(shè)其底面邊長(zhǎng)為xm，高為 ym，就有x2y=64000；總造價(jià)為a× 4xy+2a × x 2=2a（2xy+x 2）=2a（xy+xy+x 2）；由于 xy×xy ×x2=（x2y）2=640002 為肯定值，故當(dāng)xy=xy=x 2 即 xy=1 1 時(shí)，總造價(jià)最??；5.解：設(shè)

18、 a 城化肥運(yùn)往c 村 x 噸，就運(yùn)往d 村（ 200-x）噸； b 城化肥運(yùn)往c 村（ 220-x）噸，運(yùn)往d 村（ 80+x）噸，總運(yùn)費(fèi)y 元，就y=20x+25（ 200-x）+15（220-x） +22（80+x）=2x+10060；又易知 0x200，故當(dāng) x=0 時(shí)，運(yùn)費(fèi)最省，為10060 元；運(yùn)輸方案如下： a 城化肥運(yùn)往c 村 0 噸，運(yùn)往 d 村 200 噸；b 城化肥運(yùn)往c村 220 噸，運(yùn)往 d 村 80 噸；6.98， 94；解：設(shè)某一同學(xué)前4 次的平均分為x 分，第 5 次的得分為y 分，就其 5 次總分為4x+y=5×90=450；于是 y=450-4x；明顯 90y100，故90 450-4x 100，解得 87.5 x90；于是兩個(gè)同學(xué)前4 次的平均分分別為88 分和 89 分；第5 次得分分別為450-4×88=98（分）和 450-4×89=94（分）；7.90 根；解：每一根7300 毫米的鋼筋有如下三種損耗較小的截法： 290×2+150×1=7300，210×2+150×2=7200，210×2+290×2=7100；設(shè)按方案截得的鋼筋有x 根，按方案截得的鋼筋有y 根，按方案截得的鋼筋有z 根，就長(zhǎng)為290，2