信息決策和分析方法-灰色預測

1、灰色系統(tǒng)預測建模原理、方法與應用探討福建省城鎮(zhèn)居民消費支出預測作者：邱雙江 學號：ics110701. 論文摘要：科學地預測尚未發(fā)生的事物是預測的根本目的和任務。無論個體還是組織， 在制定和規(guī)劃面向未來的策略過程中，預測都是必不可少的重要環(huán)節(jié)，它是科學 決策的重要前提。在眾多的預測方法中，灰色預測模型自開創(chuàng)以來一直深受許多 學者的重視，它建模不需要太多的樣本，不要求樣本有較好的分布規(guī)律，計算量 少而且有較強的適應性，灰色模型廣泛運用于各種領域并取得了輝煌的成就。本 文詳細推導gm (1,1)模型，通過給出的實例福建省城鎮(zhèn)居民消費支出，建立了 gm(1, 1)預測模型，并預測了 2014年及以后

2、幾年的消費支出。2. 關鍵詞：灰色系統(tǒng)灰色預測gm (1, 1)模型matlab3. 前言：灰色系統(tǒng)模型是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，鄧聚龍教授基于預測控制的 思想建立了灰色控制模型，完成了灰色理論系統(tǒng)的開篇之作。經過20多年的發(fā) 展，灰色預測理論已經在工業(yè)、農業(yè)、社會、經濟、能源、交通等眾多的領域得 到應用，成功地解決了生產、生活和科學研究中的大量實際問題，灰色預測模型 也由最初的數列預測擴展到區(qū)間預測、災變預測、季節(jié)災變預測、波形預測和系 統(tǒng)預測等多種類型。在研究系統(tǒng)發(fā)展態(tài)勢時，應首先簡歷反映系統(tǒng)演化趨勢的數 學模型，進而對系統(tǒng)的整體功能、協調功能以及系統(tǒng)各因素之間的關聯關系、因 果關系、

3、動態(tài)關系進行量化研究。木文旨在分析經典gm (1,1)模型。4. 簡單的灰色預測gm(1,1)預測4.1：理論分析目前使用座廣泛的灰色預測模型就是關于數列預測的一個變量、一階微分的gm（1, 1）模 型。gm（1, 1）模型是基于隨機的原始時間序列，經按時間累加后所形成的新的時間序列呈現 的規(guī)律可用一階線性微分方程的解來逼近。經證明，經一階線性微分方程的解逼近所揭示的 原始時間數列呈指數變化規(guī)律。因此，當原始時間序列隱含著指數變化規(guī)律時，灰色模型 gm（1, 1）的預測將是非常成功的。4. 1. 1gm（1, 1）預測模型的基本原理設兀（°）=（兀（°）（1）,八，兀（&#

4、176;）何）為原始數列，某1次累加生成數 列為=（兀山,兀何），其中兀伙） = gd°）（i）,k = l,2,定義 兀的灰導數為z=1d伙）=兀（。）伙）=?；铮┮回；镆?）令z=（兀（2）,兀,，兀何）為數列兀的鄰值生成數列，即 z伙）=處伙） + （1 - a）兀伙-1）于是定義gm（1, 1）的灰微分方程模型為 d伙）+ qz仗）=b即兀®伙）+ az伙）= /?（1）在式（1）中，兀伙）稱為灰導數，d稱為發(fā)展系數，z伙）稱為白化背景 值，b稱為灰作用量。將時刻k = 2,3,n代入式有*（°）（2） + az （2） = bi°）（3） +

5、az （3） = b< （d,x（0）（h）+ （7z （|）（7?） = /?引入矩陣向量記號:兀x（o）（3）x（0）（/2）- z(2)1- z(3)1-z(，)(/2)1數據向量參數向量數據矩陣于是gm（1,1）模型可表示為 y = bu.在問題歸結為求a,b的值。用一元 線性回歸，即最小二乘法求它們的估計值為= bi byxbl y注：實際上回歸分析中求估計值是用軟件計算的，有標準程序求解，matlab, excel都可以。對于gm(1,1)的灰微分方程(1),如果將灰導數x(0)(k)的時刻k = 2,3,“視為連續(xù)變量(，則x視為時間f的函數兀(f),于是?；?對應于導數竺

6、dt讓背景值z伙)對應于導數兀。于是gm(1,1)的灰微分方程對于的白微分 方程為dx-+ ax)=b(2)at稱之為gm(1, 1)的白化型。式子以初值兀(/ = 1) = ,°)(1)的解為尤=(嚴)(1)一2)廠小+2aa注：gm(1,1)的白化型(2)并不是由(1)直接推導出來的,僅僅是一種“借用” 或“白化默認”。所以從gm(1,1)的白化型推導出來的結果，要在不與定義矛 盾的情形下才成立。后面我們會看到，對數據列有要求。令x®為gm(1,1)建模序列，x(o)=(x(o)(l),x(o),*°)(力)x為x(。)的1ago序列，乂二(兀(1),兀(2)

7、,兀(7z)k尹伙)=工爐(i),k=12乳/=!令z為x的緊鄰均值(mean)生成序列z=(z,z，,z)z伙) = 0.5兀(燈+ 0.5?；?1)則gm(1,1)的定義型，即gm(1,1)的灰微分方程模型為兀伙)+ az伙)=b(3)模型符號含義為1)model1階方程1個變量式中。稱為發(fā)展系數，$為灰色作用量。設q為待估參數向量，即a =,則灰微分方程(3)的最小二乘估計參數列滿足a = (b, bybryn其中七r(0)(2)'b =-z1?0)(3) -z何 1稱丄+血"(4)dt為灰色微分方程+。)伙)+血伙)=b的片化方程，也叫影子方程。如上所述，則有1) 片

8、化方程 + cvc(l)=b的解也稱吋間響應函數為clt充=(兀(0)一 2)嚴t + 2aa2) gm(1,1)灰色微分方程兀伙)+ qz"的時間響應序列為丘伙 + 1) = (x(1)(0)->-"w +-9k = 1,2,., naa3) 取兀(0) =少，貝【j充仗+ 1)=(兀(°)一色)廠+2,£ = 1,2,.,aa4) 還原值a上式即為預測方程。有關建模的問題說明如下：一、定原始序列x(°)中的數據不一定要全部用來建模，對原始數據的取舍不同，可得模型不同，即q和b不同。二、模的數據取舍應保證建模序列等時距、相連，不得有跳躍

9、出現。三、一般建模數據序列應當由最新的數據及其相鄰數據構成，當再出現新數據時，可采用兩種方法處理：一是將新信息加入原始序列中，重估參數；二 是去掉原始序列中最老的一個數據，再加上最新的數據，所形成的序列和原 序列維數相等，再重估參數。412:gm(1,1)殘差模型當原始數據序列x建立的gm(1,1)模型檢驗不合格時，可以用gm(1,1)殘差模型來修 正。如果原始序列建立的gm(1,1)模型不夠精確，也可以用gm(1,1)殘差模型來提高精度。若用原始序列x(°)建立的gm(1,1)模型無q + 1)一 ai - b na可獲得生成序列x的預測值，定義殘差序列(,)(j)= x(,)(j

10、)-x(,)(7)o若取j = i,i + l,.,n,則對應的殘差序列為：k)伙)=小)(1),占)(2),.,占)仇)計算其生成序列0伙)，并據此建立相應的gm(1,1濮型：2伙+ 1)=嚴一殳w,一族 | bg4得修正模型?；?1)=?0)(1)-嚴-殳_a.al乙i k > i 為修正參數。q k<i應用此模型時要考慮:1. 一般不是使用全部殘差數據來建立模型，而只是利用了部分殘差。2. 修正模型所代表的是差分微分方程，其修正作用與= o中的，的取值有關。4.2：實例分析：通過查找福建省2013統(tǒng)計年鑒得出如下原始數據 表1：表1福建省城鎮(zhèn)居民消費支出 單位：億元時間200

11、8年 2009年2010年 2011年 2012年消費支出(億元)2852.363091.733693.724218.114553.72上表內容可寫成：x(°)仏)= 2852.36,3091.73,3693.72,4218.11,4553.724398779111747161331111構造累加生成序列x 伙)= 2852.36,5944,9638,13856,18410 構造數據矩陣b和數據向量匕 一扣(1)+兀) _亍(兀+*)-空(兀+d)(5)_v0)(2)'3091.73一兀3693.72兀4218.11y°5)_4553.72_1= (brbylbry

12、n2854081.97 4132.184132.180.0000013890.00071767a = (btbrbtyn =得出預測模型80.000717670.49569446 -0.1241- 2645.80.1241 兀= 2645.8 dt丘伙 +1 丿=24172.26/mu-21319.90b(x()(l) = 2852.36;- = -21319.90 丿ap°* + l丿= 2999.78昇""第5步(1)計算:"£2852.36 + 3091.73 + 3693.72 + 4218.11 + 4553.72 = 3681.93

13、計算x(°)序列的均方差：后驗差檢驗:si =n-= 645.6266-*(d)(3)+d)(4)(3) 計算殘差的均值：a = -a(z:) = 3.51(4) 計算殘差的均方差:n-1= 87.65382(5) 計算c： c = = 0.135766&(6) 計算小殘差概率：s()= 0.6745 x s| = 435.475 1ek =|一可= 3.55,105.7&74.01,120.40,85.09可得小殘差概率為pqvs° = l,故p>0.7見表2(后驗差檢驗判別參照 表)，因此模型充伙+ 1丿=24172.26円24« 一21

14、31990與原始誤差較小，預測模型 可以使用。表2：等級方差比c小誤差概論pi級<0.35>0.95ii級<0.50<0.80iii級<0.65<0.70iv級>0.80<0.605.預測：k = 6fx()(6) = 2999.78°i24，x6 = 5248即2013年的福建省城鎮(zhèn)居民消費支出預測值為5248億元。k = 7,/0)(7) = 2999.78e°j241x7 = 5941.6即2014年的福建省城鎮(zhèn)居民消費支出預測值為5941.6億元。k = &丿(8 丿=2999.78°j24，x8 =

15、 6727即2015年的福建省城鎮(zhèn)居民消費支出預測值為6727億元。k = 9,/0)(9 丿=2999.78e(u24，x9 = 7616.1即2016年的福建省城鎮(zhèn)居民消費支出預測值為7616億元。k = 10,#° 丿(10) = 2999.78e01241x，° = 8622.7即2017年的福建省城鎮(zhèn)居民消費支出預測值為8622.7億元。(詳見附件matlab程序1、2)6. 結論：本文對灰色預測模型進行了推導研究，對gm(1,1)模型進行了殘差、后驗差 檢驗,2013-2017年的福建省城鎮(zhèn)居民消費支出預測值為5248億元,、5941.6 億元、6727 億元、

16、7616.1 億元、8622.7 億元?；疑Ｐ褪且粋€較新的研究方向，有許多問題需要進一步研究和探討，由于 時間有限，本文只是對灰色預測模型技術進行了一些初步的探討，今后將在下述 問題上進一步深入研究：1. 本文只是對背景值、數據序列函數變換和初始條件選擇進行了研究，沒 有對影響灰色預測模型精度的其它因素進行研究，所以需要給出進一步優(yōu)化灰色 模型的方法。2. 灰色模型與其它模型的組合研究，比如與回歸模型，馬爾可夫模型的組 合研究。另外matlab語言具有良好的運行環(huán)境、強大的函數資源，其編程效率遠遠 高于其他高級語言。多變量灰色預測模型廣泛的應用于許多領域。但該模型參數 估計以及預測都需要經過

17、比較復雜的計算，本文灰色預測模型通過matlab程序 能夠方便的解決模型的計算問題。7. 參考文獻：1 譚冠軍.gm(1, 1)模型的背景值構造方法和應用j.系統(tǒng)工程理論與實 踐,2000, (4) : 98- 103.2 王義鬧，劉開第，李應川.優(yōu)化灰導數白化值的gm(1, 1)建模法j.系統(tǒng)工程理論與實 踐,2001, 21 (5) : 124-128.3 呂林正，吳文江.灰色模型gm(1, 1)優(yōu)化探討j 系統(tǒng)工程理論與實踐,2001, (8):92-96.4 鄧聚龍.灰色理論基礎m.武漢:華中科技大學出版社,2002.5 羅黨，劉思鋒,黨耀國灰色gm(1,1)優(yōu)化j中國工程科學,200

18、3, (8):50-53.6 劉思鋒，黨耀國.灰色預測與決策模型研究j科學出版社,2003, (8):39-42.&附錄：灰色預測模型的matlab程序及檢驗程序%灰色預測模型程序clearsyms a b;c=a b *;a= ; %原始序列b=cumsum (a) ; %累力h n=length(a);for i=l:(n-1)c(i) = (b(i)+b(i + l) )/2;end%計算待定參數d=a;d(l) = ；d=d'e=-c; ones(1,n-1);c=inv(e*e')*e*d;c=c'a=c (1);b=c (2);$預測往后預測5個數據f=;f(1)=a(1);for i=2:(n+5)f (i) = (a (1) -b/a) /exp (-a* (i-1) ) +b/a; endg=;g(1)=a(1);for i=2:(n+5)g(i)= (-a) (a(l)-b/a)/exp(-a*(i-1); en