向量觀點(diǎn)下的高中立體幾何認(rèn)同研究

1、    向量觀點(diǎn)下的高中立體幾何認(rèn)同研究    許雅麗摘要向量在近代數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，特別是二維、三維的向量，它們既有數(shù)組的表現(xiàn)形式，又有直觀的幾何意義，因此能成為研究中學(xué)幾何問題的有效工具。將三維向量（也稱空間向量）融入立體幾何已成為當(dāng)前立體幾何改革的重要措施?？臻g向量引入立體幾何，對傳統(tǒng)的教育模式以及課程結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了很大的沖擊和影響，對空間向量與立體幾何結(jié)合的重要價(jià)值和作用得到了重點(diǎn)關(guān)注，因此進(jìn)一步加強(qiáng)對其的研究非常有必要?；诖吮疚姆治隽讼蛄坑^點(diǎn)下的高中立體幾何相關(guān)方面。關(guān)鍵詞向量觀點(diǎn)下 高中 立體幾何g633 a 2095-3089（

2、2017）12-0109-01一、概述高中向量知識(shí)的基本內(nèi)容可以從四個(gè)方面來體現(xiàn)。首先，其在三角函數(shù)中的內(nèi)容是向量的概念、向量的平移、向量的運(yùn)算及向量運(yùn)算與三角形之間的關(guān)系。其次，在解析幾何中，其內(nèi)容是直線的方向向量和法向量、兩向量的夾角與兩條相交直線的夾角、向量與平面內(nèi)距離的計(jì)算、向量運(yùn)算與軌跡求解、向量與圓錐曲線的平移。再次，其在立體幾何中的內(nèi)容是，向量運(yùn)算與平行關(guān)系的判斷與證明、向量計(jì)算與空間中距離計(jì)算、向量內(nèi)積與角計(jì)算、直線的方向向量與平面的法向量。最后，在復(fù)數(shù)中，其主要內(nèi)容是向量的線性運(yùn)算與復(fù)數(shù)的加減法。二、向量觀點(diǎn)下的高中立體幾何學(xué)習(xí)的重要意義向量是抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，它的幾何意義很重

3、要，向量可以描述線段和線段之間、直線和直線間的幾何關(guān)系。在實(shí)際學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要在描述向量的代數(shù)性質(zhì)在幾何量方面的計(jì)算上下功夫，促使學(xué)生自主總結(jié)體會(huì)，從而促使學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到向量的幾何意義，從而利用向量的代數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解題。1.可提升學(xué)生運(yùn)算能力作為一種代數(shù)對象，向量可以用于運(yùn)算，學(xué)生可以通過使用向量的代數(shù)運(yùn)算完成長度、面積、體積等幾何度量問題，在幫助學(xué)生將其運(yùn)算難度提升運(yùn)算能力的同時(shí)，能夠準(zhǔn)確地將不同類型的代數(shù)運(yùn)算的特征與功能展現(xiàn)在學(xué)生面前。同時(shí)，利用其自身的運(yùn)算律也能夠幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)運(yùn)算意義的體會(huì)和構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)系統(tǒng)。2.蘊(yùn)含寶貴的思維價(jià)值向量既是代數(shù)又是幾何的研究對象，它不僅能夠進(jìn)行運(yùn)算

4、，也可以用于度量各種結(jié)合問題，因此向量當(dāng)中體現(xiàn)出明顯的數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能夠有效培養(yǎng)和鍛煉自身的想象能力與創(chuàng)造能力、推理能力，進(jìn)而有效提升自身的解題效率。三、向量觀點(diǎn)下的高中立體幾何分析1.明確向量幾何意義向量的幾何意義主要表現(xiàn)為利用向量對集合對象進(jìn)行描述，比方說ab=0的幾何意義代表著向量a與向量b呈垂直關(guān)系，有效將向量代數(shù)運(yùn)算同相應(yīng)位置關(guān)系之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而與直線關(guān)系進(jìn)行有機(jī)聯(lián)系。比如說在2016年浙江理科高考數(shù)學(xué)題已知互相垂直的平面交于直線l，若直線m，n滿足m|，nb試求l與n的位置關(guān)系一題當(dāng)中考查的正是相等向量與相反向量以及空間平行與垂直位置關(guān)系的判定，學(xué)生通過繪制出相應(yīng)

5、的圖形并用向量將已知條件表明出來便能夠直觀地認(rèn)識(shí)到n與l為垂直關(guān)系。2.運(yùn)用數(shù)字與圖形相結(jié)合的方法在高中數(shù)學(xué)向量的學(xué)習(xí)中要運(yùn)用數(shù)字與圖形相結(jié)合的方法進(jìn)行理論知識(shí)的學(xué)習(xí)。比如：許多的向量知識(shí)比較抽象，不易于理解和學(xué)習(xí)，所以我們可以運(yùn)用數(shù)字運(yùn)算和畫出圖形進(jìn)行分析的方法進(jìn)行向量題目的運(yùn)算，直觀化、形象化的進(jìn)行向量知識(shí)的學(xué)習(xí)。比如：在向量平移、兩向量夾角運(yùn)算、向量與圓錐曲線平移等內(nèi)容學(xué)習(xí)中，運(yùn)用數(shù)字與圖形相結(jié)合的方法，可以更好地把握向量的運(yùn)算規(guī)律和向量與這些知識(shí)內(nèi)容的關(guān)系點(diǎn)，有利于相關(guān)題目的解決。同時(shí)，運(yùn)用數(shù)字圖形相結(jié)合的方法還有利于我們意識(shí)上的正向遷移，縮短解決問題的時(shí)間，有利于數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)和

6、探究能力的形成，對我們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要的作用3.實(shí)際應(yīng)用（1）利用向量的夾角公式求解解析幾何的軌跡方程在非共線的情況下，如何利用向量的夾角公式來完成相關(guān)解析幾何問題的求解，進(jìn)而提高解題速率。題目：0點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），m點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），n點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），op為omn的一條角平分線，求直線op的直線方程。解答過程：設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為（x，v），可知=（2，1），=（1，2），=（x，v）。op為omn的一條角平分線，可知mop=nop，且cosmop=cosnop，引入向量的夾角公式，可知，對這一式子進(jìn)行化簡，可得，化簡后x=y，即為op的直線方程。向量的夾角公式，把解析幾何中平面幾何特

7、征和代數(shù)運(yùn)算結(jié)合，引入了轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思路，復(fù)雜的解題過程簡化為簡單的代數(shù)運(yùn)算，尤其是對于更為復(fù)雜的圓錐曲線的應(yīng)用，極易造成學(xué)生無從下手的困境。向量的夾角公式提供了一個(gè)便捷的解題思路，運(yùn)算簡潔。且這種方法還可以應(yīng)用到線性規(guī)劃、立體幾何等方面。（2）利用向量的方向特征求解解析幾何的軌跡方程向量的方向特性決定了兩個(gè)向量平行或者共線的時(shí)候，二者具有一定的比例關(guān)系，即，不為0。根據(jù)向量的方向特征可以簡化復(fù)雜的平面幾何關(guān)系式，也可以將解析幾何問題轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運(yùn)算。題目：動(dòng)點(diǎn)m是拋物線y=4×2，定點(diǎn)n坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)0在線段nm上，mo=30n，求點(diǎn)o的軌跡方程。解答過程：設(shè)點(diǎn)0坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)m坐標(biāo)為（m，4m2），由于mo=30n，且點(diǎn)o在線段nm上，故和共線且，將=（m-x，4m2-y）和=（x+1，v）帶入上式?？傻茫╩-x，4m2-y）=3（x+l，v），消去m后可得到點(diǎn)o的軌跡方程為y=（4x+3）2。從本節(jié)例子中，向量共線或者平行已經(jīng)很好地將解析幾何圖形的位置和代數(shù)關(guān)系進(jìn)行有機(jī)融合，通過建立向量坐標(biāo)，直接建立相應(yīng)的向量運(yùn)算代數(shù)關(guān)系式，從而簡化解題過程?？傊蛄吭诟呖贾械姆至吭絹碓街?，向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)