高三理科數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試測(cè)試卷

1、高三理科數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試測(cè)試卷第卷 （選擇題共40 分）一、本大題共 8 小題， 每小題 5 分，共 40 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）下列命題中，真命題是（a）xr,210 x（b）0 xr,2001xx（c ）21,04xxxr（d）2000,220 xxxr（2） 將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2 :3: 4: 6 :4 :1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n的值為（a）70（b）60（c ）50（d）40（3）41(2)xx的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（a）24（b）6（c）6（d）24（4）若一個(gè)三棱柱的底面是正三角

2、形，其正（主）視圖如圖所示，則它的體積為（a）3（b）2（c ）2 3（d ）4（5）若向量a，b滿足1a，2b，且()aa+ b，則a與b的夾角為（a）2（b）23（c）34（d）56（6）已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出m的是（a），且m（b）mn，且n111（c ），且m（d）mn，且n（7）若m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線221yxm的離心率為（a）32（b）5（c ）32或52（d）32或5（8）定義：00 y,xy)y,x(fx，已知數(shù)列na滿足：n,f,nfan22()nn，若對(duì)任意正整數(shù)n，都有knaa()kn成立，則ka的值為

3、（a）12（b）2（c ）89（d）98第卷 （共 110 分）二、填空題：本大題共6 小題，每小題5 分，共 30 分。(9) 設(shè)ar，且2(i) ia為正實(shí)數(shù)，則a的值為 . (10) 若圓c的參數(shù)方程為3cos1,3sinxy（為參數(shù)），則圓c的圓心坐標(biāo)為，圓c與直線30 xy的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為. (11) 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，將點(diǎn)a( 3,1)繞原點(diǎn)o逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到點(diǎn)b，那么點(diǎn)b的坐標(biāo)為 _，若直線ob的傾斜角為，則sin 2的值為(12) 如圖，直線pc與o相切于點(diǎn)c，割線pab經(jīng)過圓心o，弦cdab于點(diǎn)e，4pc，8pb，則ce(13) 已知函數(shù)sin1( )1xxf xx()x

4、r的最大值為m，最小值為m，則mm的值為 _. (14) 已知點(diǎn)( , )a a b與點(diǎn)(1,0)b在直線34100 xy的兩側(cè)，給出下列說法：34100ab；當(dāng)0a時(shí),ab有最小值，無最大值；222ab；當(dāng)0a且1a，0b時(shí)，1ba的取值范圍為53(,)(,)24. 其中，所有正確說法的序號(hào)是. 三、解答題：本大題共6 小題，共 80 分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15） （本小題共13 分）已知函數(shù)( )sin()f xax（其中rx，0a，0,22）的部分圖象如圖所示 . （）求函數(shù)( )f x的解析式；（）已知在函數(shù)( )f x的圖象上的三點(diǎn),m n p的橫坐標(biāo)分別為1

5、, 1, 5，求sinmnp的值 . （16） （本小題共13 分）某公園設(shè)有自行車租車點(diǎn)，租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每小時(shí)2 元（不足 1 小時(shí)的部分按1 小時(shí)計(jì)算） . 甲、乙兩人各租一輛自行車， 若甲、乙不超過一小時(shí)還車的概率分別為；2141，yx21011123456一小時(shí)以上且不超過兩小時(shí)還車的概率分別為； 兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過三小時(shí) . （）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；（）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望. （17） （本小題共13 分）如圖 , 矩形amnd所在的平面與直角梯形mbcn所在的平面互相垂直，mbnc,mnmb，且，3dn（）求證：平面；

6、（）求二面角的余弦值 . （18） （本小題共14 分）已知拋物線：，為直線:l1y上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為,. （）當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，求過三點(diǎn)的圓的方程；（）證明：以ab為直徑的圓恒過點(diǎn). （19） （本小題共13 分）已知函數(shù)11( )()lnf xaxxax（1a） （）試討論( )f x在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性；（）當(dāng)3,a時(shí)， 曲線( )yf x上總存在相異兩點(diǎn)11(,()p xf x，22(,()q xf x，使得曲線4121，emccb2bc4mb/abdncdbcnc24xymmc,ma mbabm(0, 1),m a bmbamdnc( )yf x在點(diǎn)p，

7、q處的切線互相平行，求證：1265xx. （20）( 本小題共 14 分) 對(duì)于數(shù)列na(1, 2 ,)nm，令kb為1a，2a，ka中的最大值， 稱數(shù)列nb為na的“創(chuàng)新數(shù)列”. 例如數(shù)列2，1，3，7，5的創(chuàng)新數(shù)列為2，2，3，7，7. 定義數(shù)列nc：123,mc c cc是自然數(shù)1，2，3，(3)m m的一個(gè)排列 . （）當(dāng)5m時(shí)，寫出創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的所有數(shù)列nc；（）是否存在數(shù)列nc，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有的數(shù)列nc，若不存在，請(qǐng)說明理由. 參考答案一、選擇題（本大題共8 小題，每小題5 分，共 40 分）（1）a（2）b（3）d （4）a （5）c

8、（6）b（7）d （8）c 二、填空題（本大題共6 小題，每小題5 分，共 30 分）（9）1（10）(1,0)2（11）)3, 1(32（12）125（13）2（14）注：兩個(gè)空的填空題第一個(gè)空填對(duì)得3 分，第二個(gè)空填對(duì)得2 分三、解答題（本大題共6 小題，共 80 分）（15） （共 13 分）解： （）由圖可知，1a，最小正周期428t. yx21011123456由28t，得4. 3 分又(1)sin()14f，且22，所以42，即4.5 分所以( )sin()sin(1)444f xxx.6 分（）因?yàn)? 1)0,(1)1,ff(5)sin(51)1,4f所以( 1,0),(1,1)

9、, (5, 1)mnp. 7 分所以5,20,37mnpnmp. 由余弦定理得520373cos52 520mnp. 11 分因?yàn)? ,mnp，所以4sin5mnp. 13 分（其它解法酌情給分）（16） （共 13 分）解： （）甲、乙兩人所付費(fèi)用相同即為2，4，6元. 2 分都付2元的概率為1111428p；都付4元的概率為2111248p；都付6元的概率為31114416p；故所付費(fèi)用相同的概率為1231115881616pppp. 6 分（）依題意，的可能取值為4，6，8，10，12. 8 分1(4)8p；11115(6)442216p；1111115(8)44242416p；1111

10、3(10)442416p；111(12)4416p. 故 的分布列為4681012p18516516316116 11 分所求數(shù)學(xué)期望155311546810128161616162e. 13 分（17） （共 13 分）（）證明：因?yàn)閙b/nc，mb平面dnc，nc平面dnc，所以mb/ 平面dnc 2 分因?yàn)閍mnd為矩形，所以ma/dn又ma平面dnc，dn平面dnc，所以ma/ 平面dnc 4 分又mambm，且ma，mb平面amb，所以平面amb/ 平面dnc 5 分又ab平面amb，所以平面 6 分（）解：由已知平面amnd平面mbcn，且平面amnd平面mbcn/abdncxyz

11、adbmcnmn，dnmn，所以dn平面mbcn，又mnnc，故以點(diǎn)n為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系nxyz. 7 分由已知得2 3,30mcmcn，易得3mn，3nc則(0,0,3)d，(0,3,0)c，( 3,4,0)b(0,3, 3)dc，( 3,1,0)cb 8 分設(shè)平面dbc的法向量1( , , )x y zn，則110,0.dccbnn即330,30.yzxy令1x，則3y，3z所以1( 1,3,3)n 10 分又(0,0,1)是平面nbc的一個(gè)法向量，所以122112321cos,77nnnnnn故所求二面角的余弦值為217 13 分（18） （共 14 分）（）解：當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)

12、，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，由24 ,1,xyykx消y得.(1) 令，解得. 代入方程 (1) ，解得. 3 分2ndbcnm(0, 1)m1ykx2440 xkx2(4 )4 40k1k(2,1), ( 2,1)ab設(shè)圓心p的坐標(biāo)為(0, )a，由pmpb，得12a，解得1a. 故過三點(diǎn)的圓的方程為 5 分（）證明：設(shè)0(, 1)m x， 由已知得，12yx， 設(shè)切點(diǎn)分別為211(,)4xa x，222(,)4xb x，所以12maxk，22mbxk，切線ma的方程為2111()42xxyxx即2111124yx xx，切線mb的方程為2222()42xxyxx即2221124yx xx 7 分

13、又因?yàn)榍芯€ma過點(diǎn)0(, 1)m x，所以得201111124x xx. 又因?yàn)榍芯€mb也過點(diǎn)0(,1)m x，所以得202211124x xx. 所以1x，2x是方程2011124x xx的兩實(shí)根，由韋達(dá)定理得1202,xxx124xx 9 分因?yàn)?110(,1)4xmaxx，2220(,1)4xmbxx，所以22121020()()(1)(1)44xxma mbxxxx2222212120120121()()1164x xx xxxxxxx22221212012012121()()21164x xx xxxxxxxx x將1202,xxx124x x代入，得0ma mb. 13 分所以以a

14、b為直徑的圓恒過點(diǎn) 14 分, ,m a b22(1)4xy24xym（19） （共 13 分）（） 解：由已知0 x，2222111()1()()1( )1axaxxa xaaafxxxxx.2 分由( )0fx，得11xa，2xa.4 分因?yàn)?a，所以101a, 且1aa所以在區(qū)間1(0,)a上，( )0fx；在區(qū)間1(,1)a上，( )0fx. 故( )f x在1(0,)a上單調(diào)遞減，在1(, 1)a上單調(diào)遞增6 分（）證明：由題意可得， 當(dāng)3,a時(shí)，12()()fxfx（12,0 xx， 且12xx） . 即221122111111aaaaxxxx，所以121212111xxaaxxx

15、 x，3,a. 8 分因?yàn)?2,0 xx，且12xx，所以21212()2xxx x恒成立，所以2121214()x xxx，又120 xx，所以12121xxaax x124xx，整理得1241xxaa. 11 分令( )g a41aa，因?yàn)?,a，所以( )g a在3,上單調(diào)遞減，所以( )g a41aa在3,上的最大值為6(3)5g，所以1265xx. 13 分（20） （共 14 分）解： （）由題意，創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，5，5的所有數(shù)列nc有兩個(gè)，即數(shù)列3，4，1，5，2；數(shù)列3，4，2，5，1. 4 分（）存在數(shù)列nc，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列. 數(shù)列nc的創(chuàng)新數(shù)列為ne(1,2,3,)nm，因?yàn)閙e是12,mc cc中的最大值，所以mem. 由題意知，ke為12,kc cc中最大值，1ke為121,kkc cc c中的最大值，所以ke1ke，且1,2,kem. 若ne為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則1kkdee0且dn，當(dāng)0d時(shí)，ne為常數(shù)列，又m