高數(shù)下期末考試試卷及答案

1、精品文檔. 2017 學年春季學期高等數(shù)學（二） 期末考試試卷（a）注意：1、本試卷共 3 頁； 2、考試時間110 分鐘； 3 、姓名、學號必須寫在指定地方一、單項選擇題（8 個小題，每小題2 分，共 16 分）將每題的正確答案的代號 a、b、 c 或 d 填入下表中1已知a與b都是非零向量，且滿足abab，則必有（）. (a)0ab(b)0ab(c)0a b(d)0ab2.極限2222001lim()sinxyxyxy( ). (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d)不存在3下列函數(shù)中，dff的是 ( ).（a）( , )fx yxy（b）00( ,),f x yxycc 為實數(shù)（c）2

2、2( , )f x yxy（d）( , )exyfx y4函數(shù)( ,)(3)f x yxyxy，原點(0,0)是( , )f x y的( ).（ a）駐點與極值點（b）駐點，非極值點（ c）極值點，非駐點（d）非駐點，非極值點5 設 平 面 區(qū) 域22: (1)(1)2dxy， 若1d4dxyi，2d4dxyi，33d4dxyi，則有（）. （a）123iii（b）123iii（c）213iii（d）312iii6設橢圓l：13422yx的周長為l，則22(34)dlxys?（）. (a) l(b) l 3(c) l 4(d) l127設級數(shù)1nna為交錯級數(shù)，0 ()nan，則（）. (a)

3、 該級數(shù)收斂(b)該級數(shù)發(fā)散(c)該級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散(d)該級數(shù)絕對收斂8. 下列四個命題中，正確的命題是（）. （a）若級數(shù)1nna發(fā)散，則級數(shù)21nna也發(fā)散（b）若級數(shù)21nna發(fā)散，則級數(shù)1nna也發(fā)散（c）若級數(shù)21nna收斂，則級數(shù)1nna也收斂（d）若級數(shù)1|nna收斂，則級數(shù)21nna也收斂二、填空題 (7 個小題，每小題2 分，共 14 分) 1. 直線3426030 xyzxyza與z軸相交，則常數(shù)a為 .2設( ,)ln(),yf x yxx則(1,0)yf_ _. 3函數(shù)( ,)f x yxy在(3,4)處沿增加最快的方向的方向?qū)?shù)為 . 4設22:2dxyx，二

4、重積分()ddxy= . 5設fx是連續(xù)函數(shù)，22(, )|09x y zzxy，22()df xyv在柱面坐標系下的三次積分為.6. 冪級數(shù)11( 1)!nnnxn的收斂域是 .7. 將函數(shù)21,0( )1,0 xf xxx以2為周期延拓后，其傅里葉級數(shù)在點x處收斂于.題號一二三四總分得分閱卷人得分題號1 2 3 4 5 6 7 8 答案閱卷人得分三峽大學試卷紙教學班號序號學號姓名答題不要超過密封線精品文檔. 三、綜合解答題一（5 個小題，每小題7 分，共 35 分，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）1設( ,)xuxf xy，其中f 有連續(xù)的一階偏導數(shù)，求ux，uy解：2求曲面 e

5、3zzxy在點 (2,1,0) 處的切平面方程及法線方程解：3. 交換積分次序，并計算二次積分0sinddxyxyy解：4 設是由曲面1,xxyxyz及0z所圍成的空間閉區(qū)域，求23d d dixy z x y z. 解：5求冪級數(shù)11nnnx的和函數(shù)( )s x，并求級數(shù)12nnn的和解：閱卷人得分三峽大學試卷紙教學班號序號學號姓名答題不要超過密封線精品文檔. 四、綜合解答題二（5 個小題，每小題7 分，共 35 分，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）1. 從斜邊長為1 的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形解2計算積分22()dlxys?，其中l(wèi)為圓周22xyax(0a)解：

6、3利用格林公式， 計算曲線積分22()d(2)dlixyxxxy y?，其中l(wèi)是由拋物線2yx和2xy所圍成的區(qū)域d的正向邊界曲線4 計算dx s，為平面1zyx在第一卦限部分.解：5利用高斯公式計算對坐標的曲面積分d dd dd dx yy zz xs+蝌，其中為圓錐面222zxy介于平面0z及1z之間的部分的下側(cè).解：閱卷人得分三峽大學試卷紙教學班號序號學號姓名答題不要超過密封線xo2yx2xyyd 精品文檔. 2017 學年春季學期高等數(shù)學（二） 期末考試試卷 (a) 答案及評分標準一、單項選擇題（8 個小題，每小題2 分，共 16 分）1已知a與b都是非零向量，且滿足abab，則必有（

7、 d ）(a)0ab； (b)0ab； (c)0a b； (d)0a b2. 極限2222001lim()sinxyxyxy ( a ) (a) 0； (b) 1； (c) 2； (d)不存在 . 3下列函數(shù)中，dff的是 ( b )；（a）( , )f x yxy；（b）00( , ),f x yxyc c 為實數(shù)；（c）22( , )f x yxy；（d）( , )exyfx y.4函數(shù)( ,)(3)f x yxyxy，原點(0,0)是( , )f x y的( b ).（ a）駐點與極值點；（b）駐點，非極值點；（ c）極值點，非駐點；（d）非駐點，非極值點.5 設 平 面 區(qū) 域d：22

8、(1)(1)2xy， 若1d4dxyi，2d4dxyi，33d4dxyi，則有（ a ）（a）123iii；（b）123iii；（c）213iii；（d）312iii6設橢圓l：13422yx的周長為l，則22(34)dlxys?（d ） (a) l； (b) l 3； (c) l 4； (d) l127設級數(shù)1nna為交錯級數(shù)，0 ()nan，則（ c ） (a)該級數(shù)收斂； (b)該級數(shù)發(fā)散；(c) 該級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散； (d) 該級數(shù)絕對收斂8. 下列四個命題中，正確的命題是（ d ）（a）若級數(shù)1nna發(fā)散，則級數(shù)21nna也發(fā)散；（b ）若級數(shù)21nna發(fā)散，則級數(shù)1nna也發(fā)

9、散；（c ）若級數(shù)21nna收斂，則級數(shù)1nna也收斂；（d ）若級數(shù)1|nna收斂，則級數(shù)21nna也收斂二、填空題 (7 個小題，每小題2 分，共 14 分) 1. 直線3426030 xyzxyza與z軸相交，則常數(shù)a為3 。2設( ,)ln(),yf x yxx則(1,0)yf_1_ 3函數(shù)( ,)f x yxy在(3,4)處沿增加最快的方向的方向?qū)?shù)為24設22:2dxyx，二重積分()ddxy= 5設fx是連續(xù)函數(shù)，22(, )|09x y zzxy，22()df xyv在柱面坐標系下的三次積分為22392000dd()dfz6. 冪級數(shù)11( 1)!nnnxn的收斂域是(,).7

10、. 函數(shù)21,0( )1,0 xf xxx，以2為周期延拓后，其傅里葉級數(shù)在點x處收斂于22.三、綜合解答題一（5 個小題，每小題7 分，共 35 分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）1設( ,)xuxf xy，其中 f 有連續(xù)的一階偏導數(shù)，求ux，uy解：12uxfxffxy4 分222uxfyy. 7 分2求曲面3zezxy在點 (2,1,0) 處的切平面方程及法線方程解：令,e3zfx y zzxy，2 分(,)( , ,e1)zxyzfffy xn，(2,1,0)(1,2,2)n，4 分所以在點 (2,1,0) 處的切平面方程為(2)2(1)20 xyz，題號1 2 3 4

11、5 6 7 8 答案d a b b a d c d 精品文檔. 即2240 xyz；6 分法線方程為21122xyz. 7 分3. 交換積分次序，并計算二次積分0sinddxyxyy；解：0sinddxyxyy =00sinddyyyxy 4 分=0sin d2y y 7 分4設是由曲面1,xxyxyz及0z所圍成的空間區(qū)域，求23d d dixy zx y z解：注意到曲面zxy經(jīng)過x軸、y軸，2 分=(, , ) : 0,0,01x y zzxyyxx 4 分故12323000d d ddddxxyixy zx y zxyxy zz=36417 分5求冪級數(shù)11nnnx的和函數(shù)( )s x

12、，并求級數(shù)12nnn的和解：11( )nns xnx，(0)1s，由已知的馬克勞林展式：11,| 11nnxxx，2 分有11( )()(1)1nns xxx=21(1)x，| 1x，5 分12nnn=11122nnn=11( )22s=2 7 分四、綜合解答題二（5 個小題，每小題7 分，共 35 分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）1. 從斜邊長為1 的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形解 設兩個直角邊的邊長分別為x，y，則221xy，周長1cxy，需求1cxy在約束條件221xy下的極值問題 2 分設拉格朗日函數(shù)22( , , )1(1)l x yxyxy，4 分令22

13、120 ,120,1,xyfxfyxy解方程組得22xy為唯一駐點， 6 分又最大周長一定存在，故當22xy時有最大周長. 7 分2計算積分22()dlxys?，其中l(wèi)為圓周22xyax(0a)解：l的極坐標方程為cosa，22；2 分則22d() ddsa，4 分所以3222322222()ddcosd2laxysaa?7 分或解：l的形心( ,)(,0)2ax y，l的周長a，22()dlxys?=dlax s?=ax a=32a3利用格林公式，計算曲線積分22()d(2)dlixyxxxyy?，其中l(wèi)是由拋物線2yx和2xy所圍成的區(qū)域d的正向邊界曲線解：22()d(2)dlixyxxxyy?ddxdy3 分210ddxxxy5 分13 7 分4 計算dx s，為平面1zyx在第一卦限部分.解：在xoy面上的投影區(qū)域為)0,0(1:yxyxdxy，2 分又, 1,1,1:yzxzyxz故dxdyds3，4 分所以11003336xyxdxdsxdxdydxxdy. 7 分或解：由對稱性，113()336xd