北京市西城區(qū)中考復習《相似》《解直角三角形》建議講義及練習

1、北京市西城區(qū)重點示范中學20xx 年 3 月九年級數(shù)學中考復習相像、解直角三角形復習建議及練習一、 20xx 年北京考試說明（一）圖形的性質1. 相像三角形：a. 明白相像三角形的性質定理與判定定理；b. 能利用相像三角形的性質定理與判定定懂得決有關簡潔問題；2. 銳角三角函數(shù)及解直角三角形a. 懂得銳角三角函數(shù)sina ，cosa tana 的概念；知道30°、 45°、 60°角的三角函數(shù)值，懂得（ 20xx年是“明白” ）解直角三角形的概念；b. 能利用銳角三角函數(shù)的有關學問解直角三角形，能利用銳角三角函數(shù)的有關學問解決一些（ 20xx 年是“某些” ）簡潔

2、的實際問題；c運用直角三角形的有關內容解決有關問題；（二）圖形的變化3. 圖形的相像：a. 明白比例的基本性質、線段的比、成比例的線段；明白黃金分割；熟悉圖形的相像；明白相像多邊形和相像比；明白圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小；b. 把握基本領實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例（20xx 年新增）；會利用圖形的相像解決一些簡潔的實際問題；（三）圖形與坐標4. 坐標與圖形運動：a. 在平面直角坐標系中，知道已知頂點坐標的多邊形經(jīng)過位似（位似中心為原點）后的對應頂點坐標之間的關系；明白將多邊形的頂點坐標（有一個頂點為原點，有一條邊在橫坐標軸上）分別擴大或縮小相同倍數(shù)

3、時所對應的圖形與原圖形位似；b. 在平面直角坐標系中，能寫出已知頂點的多邊形經(jīng)過位似（位似中心為原點）后的圖形的頂點坐標；c. 運用坐標與圖形運動的有關內容解決有關問題；二、復習建議1依據(jù)考試說明的要求進行全面復習，重點學問重點復習、學問系統(tǒng)復習全面、非重點的a級學問點適當支配、不漏過、不隨便拔高難度；2 b 級的學問要落實到位；c 級學問要達到敏捷運用；3注意方程思想在相像、解直角三角形中的使用；4教會同學觀看復雜的幾何圖形，善于分解出基本圖形，嫻熟的應用幾何中定義、定理、公式來解題；5. 逆向思維是尋求幾何證明思路的有效途徑之一；6. 去模式化，重學問，重思想；7. 重視同學思路的收集，關

4、注同學的學習過程，賜予有效的學習方法指導；8. 課時支配：相像約 2 課時解直角三角形約 2 課時三、詳細內容相像三角形的性質與判定落實一 ： 能利用相像三角形的性質定理與判定定懂得決有關簡潔問題落實二 ： 把握基本領實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例落實三 ： 會利用圖形的相像解決一些簡潔的實際問題落實四 ： 能利用位似變換將一個圖形放大或縮小，并能寫出以位似中心為原點的位似變化前后點的坐標變化例1. 如圖，在平行四邊形abcd 中，點 e 在 ad 上，連接 ce 并延長與ba 的延長線交于點f ， 如 ae .2 ed ，就fa的值是fbad例2. 如圖，在正方形abcd

5、 中，點 e 是 cd 上一點（ de >ce），連接 ae，并過點e 作 ae 的垂線交bc 于點 f ,如 ab=9, bf=7,求 de 長 .例 3. 如圖，某校數(shù)學愛好小組利用自制的直角三角形硬紙板 def 來測量操場旗桿ab 的高度，他們通過調整測量位置， 使斜邊 df 與地面保持平行，并使邊 de與旗桿頂點a 在同始終線上， 已知 de =0.5 米，ef=0.25米，目測點d 到地面的距離dg=1.5 米，到旗桿的水平距離 dc =20 米，就旗桿的高度為米例 4. 如圖， 點 a 的坐標為 （ 3，2），點 b 的坐標為 （ 3，0）作eb fc如下操作：以點 a 為旋

6、轉中心，將abo 順時針方向旋轉90°，得到 ab1o1 ；以點 o 為位似中心，將abo 放大，得到 a2b2o，使相像比為1 2，且點 a2 在第三象限（ 1）在圖中畫出ab1o1 和 a2b2o；（ 2）請直接寫出點a2 的坐標： 例 5. （ zfx / p70 例 4）已知：如圖，在正方形abcd 中，ad=12,dec點 e 是邊 cd 上的動點（點e 不與端點c、d 重合）， ae 的垂直平分線fp 分別交 ad 、ae 、 bc 于點 f、h 、g，交 abfh的延長線于點p.gab（ 1）設 de= m0 m12，試用含m 的代數(shù)式表示fhphg的值；（ 2）在（

7、1）的條件下，當fhhg1 時，求 bp 的長 .2例 6. 含 30°角的直角三角板abc 中， a=30°. 將其繞直角 頂點 c 順時針旋轉角（ 0o90o ），得到 rt a 'b 'c ，a 'c 邊與 ab 所在直線交于點d，過點 d 作 de cb ' 邊于點 e，連接 be.求證： cbe= 30°.a' b ' 交練習：1. 如圖，在平行四邊形 abcd 中， e 為 cd 上一點，連接 ae 、bd ，且 ae 、bd 交于點 f， sdef： sabf=4 ： 25，就 de： ec=2. 如圖

8、，點a ，b ， c， d 為 o 上的四個點， ac 平分 bad ， ac 交bd 于點 e， ce=4 ， cd=6 ，就 ae 的長為3. 某校要舉辦國慶聯(lián)歡會，主持人站在舞臺的黃金分割點處最自然得體如圖，如舞臺ab 的長為 20m， c 為 ab 的一個黃金分割點（ ac<bc），就 ac 的長為 . （結果精確到0.1m）4. 如圖，在平面直角坐標系中，四邊形oabc 是邊長為2 的正方形，頂點a 、c 分別在 x，y 軸的正半軸上點q 在對角線ob 上，且 qo=oc ，連接 cq 并延長 cq 交邊 ab 于點 p就點 p 的坐標為5. （ zfx / p69 例 2）已

9、知：如圖，四邊形 abcd 和四邊形 aced 都是平行四邊形，點 r 為 de 的中點， br 分別交 ac ， cd 與點 p， q.（ 1）請寫出圖中各對相像三角形 （相像比為 1 的除外）；e（ 2）求 bp:pq:qr 的值 .c6.（ zfx / p69 例 3）已知：如圖，等腰梯形 abcd 中， adade bc ，ad=3cm,bc=7cm , b=6 0° ,p 為下底 bc 上一點（不與 b、 c 重合） . 連接 ap，過 p 點作 pe 交 dc 于 e，使得c ape= bb(1) 你認為圖中哪兩個三角形相像，為什么？p(2) 當點 p 在底邊 bc 上自

10、點 b 向 c 移動過程中，是否存在一點 p，使得 de:ec=5:3 ，假如存在，求bp 的長；假如不存在，請說明理由.7. 在矩形 abcd中， dc=2，cf bd 分別交 bd 、ad 于點 e、f，連接 bf（ 1）求證： dec fdc；（ 2）當 f 為 ad 的中點時，求sinfbd 的值及 bc 的長度8. 如圖，在 rt abc中， c=90°，翻折c，使點 c 落在斜邊ab 上某一點d 處，折痕為ef（點 e、f 分別在邊ac 、bc 上）（ 1）如 cef 與 abc 相像當 ac=bc=2 時， ad 的長為；當 ac=3 ， bc=4 時， ad 的長為；

11、（ 2）當點 d 是 ab 的中點時， cef 與abc 相像嗎？ 請說明理由9.如圖，在平面直角坐標系xoy 中， abc 三個頂點坐標分別為a（ 2， 4），b（ 2， 1）， c（ 5，2）（ 1）請畫出 abc 關于 x 軸對稱的 a1b1c1（ 2）將 a1b1c1 的三個頂點的橫坐標與縱坐標同時乘以2，得到對應的點a2， b2，c2，請畫出 a2b2c2（ 3）求 a1b1c1 與 a2b2c2 的面積比，即：=（不寫解答過程，直接寫出結果） 相像的綜合應用m1. 在平面直角坐標系xoy 中，反比例函數(shù)（ 1） 求反比例函數(shù)的表達式；y的圖像過點xa 1,6（ 2）過點 a 的直線

12、與反比例函數(shù)ym圖像的另一個交點為b ，與 x 軸交于點p ，如xap2pb ，求點 p 的坐標2. 在矩形 abcd 中，邊 ad =8，將矩形 abcd 折疊， 使得點 b 落在 cd 邊上的點 p 處（如圖 1）dpcdpc oabab圖 1圖 2（ 1）如圖 2，設折痕與邊bc 交于點 o，連接 ,op、oa已知 ocp 與 pda 的面積比為1：4， 求邊 ab 的長；（ 2）動點 m 在線段 ap 上（不與點p、a 重合），動點 n 在線段 ab 的延長線上，且bn=pm ，連接 mn 、 pb，交于點f，過點 m 作 me bp 于點 e在圖 1 中畫出圖形；在 ocp 與 pd

13、a 的面積比為1： 4 不變的情形下，試問動點m 、n 在移動的過程中，線段ef 的長度是否發(fā)生變化？請你說明理由3. 如圖 1，點 o 在線段 ab 上， ao=2 ，ob=1 ，oc 為射線，且 boc=60°，動點 p 以每秒 2 個單位長度的速度從點o 動身，沿射線oc 做勻速運動，設運動時間為t 秒.（ 1）當 t=1 秒時，就op=， sabp =；2（ 2）當 abp 是直角三角形時，求t 的值；（ 3）如圖 2，當 ap=ab時，過點a 作 aq bp，并使得 qop= b ，求證： aq·bp=3. 為了證明 aq·bp=3，小華同學嘗試過o 點

14、作 oeap 交 bp 于點 e；試利用小華同學給我們的啟示補 全圖形并證明aq·bp=3 圖 1備用圖圖 24. 已知： 如圖， ab 為 o的直徑， g 為 ab 上一點， 過 g 作弦 ceab ，在上取一點d ，分別作直線cd 、ed，交直線ab 于點f 、 m，分別連結oe，co， cm.(1) 如 g為 oa的中點 . coa=° ， fdm=°； 求證： fdomdmco .(2) 如圖， 如 g 為半徑 ob 上任意一點 不與點 o、b 重合 ，過 g 作弦 ceab ，點 d 在上，仍作直線cd、ed，分別交直線ab 于點f 、 m， 分別連結o

15、e， co， cm.依題意補全圖形；此時仍有fd· om=d·m co成立 . 請寫出證明fd· om=d·m co的思路 . （不寫出證明過程 ）5已知： abc ， def 都是等邊三角形，m 是 bc 與 ef 的中點，連接ad ， be.（ 1）如圖 1，當 ef 與 bc 在同一條直線上時，直接寫出ad 與 be 的數(shù)量關系和位置關系；（ 2） abc 固定不動，將圖1 中的 def 繞點 m 順時針旋轉（ 0o 90o ）角，如圖2 所示，判定（1）中的結論是否仍舊成立，如成立，請加以證明；如不成立，說明理由；圖 1圖 2備用圖解直角三角形落

16、實一：銳角三角函數(shù)的定義 例 1：（ 1） . 在 rt abc 中，c 90o ， ab2bc ，那么 sin a 的值為 .（ 2）在 rt abc 中， c=90°， bc=1 ，那么 ab 的長為 .（ 3）在 abc 中， c=90°，cos a= 15 ，求 sina 、 tan a 的值 .17b2 d（ 4）如圖， ab 是 o 的直徑， c、d 是圓上的兩點 .如 bc= 8， cos d，3 o就 ab 的長為 .ca813a 316bc32455d 12（ 5）已知：如圖，在邊長為1 的小正方形組成的網(wǎng)格中，點a、 b、 c、d、 e 都在小正方形的頂

17、點上，求tan adc 的值 .（ 6）（ zfx p74 例5 ）如圖，在直角坐標系中，p 是第一象限內的點，其坐標是（ 3， m），且 op 與 x 軸正半軸的夾角的正切值是，就 sin的值為 .落實二：特別角的三角函數(shù)值例 2：（ 1） . 假如 a 是銳角，且sina=1，那么2 a = （ 2） 運算：1. 30182 sin45o 1 1822.2sin 60°· tan45°+cos30°· tan 30°3.4cos45tan6081214.12sin 6032021 025. 2 sin 452cos60tan 45

18、3 tan 60落實三：解直角三角形，能依據(jù)問題的需要添加幫助線構造直角三角形c例 3：如圖，在abc 中， a=30°， b=45°， ac= 23 ，求 ab 的長 .ab例 4：如圖，在四邊形abcd 中， c=120 o， b=75 o，cd=4 ， bc= 232 ， cosa=3. 求 ad 的長 .5例 5：如圖，在四邊形abcd 中，對角線ac ，bd 交于點 e ，bac90 ，ced45 ，dce30 ，de2 ，be22 求 cd 的長和四邊形abcd 的面積例 6：（ zfx / p75 例 5）在 abc 中， a=30°， bc=3 ，

19、ab= 33 ，求 bca 的度數(shù)和 ac 的長；練習：1. 如圖，已知 o 的半徑為1，銳角 abc 內接于 o，bd ac 于點 d ， om ab 于點 m ，就 sin cbd 的值等于（）a om 的長b 2om 的長c cd 的長d 2cd 的長2. 如圖，已知 l1 l 2 l 3，相鄰兩條平行直線間的距離相等， 如等腰直角 abc 的三個項點分別在這三條平行直線上，就 sin的值是（ ）a b cd3. 把兩塊含有300 的相同的直角尺按如下列圖擺放，使點c、b、 ade 在同一條直線上，連結cd ，如 ac=6cm ，就 bcd的面積是 ；cbe4如圖，在菱形abcd 中，

20、deab 于點 e， cosa=，be=4 ，就 tan dbe 的值是5如圖，矩形abcd 的邊 ab 上有一點 p，且 ad=，bp=，以點 p 為直角頂點的直角三角形兩條直角邊分別交線段dc，線段bc 于點 e， f，連接 ef，就 tan pef=6.如圖，在rt abc 中， c=90 °，點 d 在 ac 邊上如db=6，1ad=22cd ， sin cbd =3，求 ad 的長和 tana 的值7.（ zfx / p75 例 3）如圖，在abc 中， c=90 o， a=30 o，fce 為 ab 上一點，且ae ： eb=4:1 ， ef ac 于點 f，連接 fb.

21、求 tan cfb 的值 .aeb8.（ zfx / p75 例 4）（ 1）如圖，在abc 中，acb=10°5求 ab 和 bc 的長？， a=30°， ac=8 ，c（ 2）在 abc 中， abc=13°5求 ab 和 bc 的長？， a=30°， ac=8 ，ab（ 3）在 abc 中， ac=17 ， ab=26 ，銳角 a 滿意 sina=ac=3 ，其他條件不變呢？解直角三角形的實際應用12 ，求 bc 的長及 abc 的面積？如13落實一： 能運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關的簡潔實際問題落實二： 會解由兩個特別直角三角形構成的組合圖形

22、的問題落實三： 能綜合運用直角三角形的性質解決有關的問題例 1：如下列圖，某數(shù)學活動小組要測量山坡上的電線桿pq 的高度他們實行的方法是：先在地面上的點a 處測得桿頂端點p 的仰角是 45°，再向前走到b 點，測得桿頂端點p 和桿底端點q 的仰角分別是60°和 30°，這時只需要測出ab 的長度就能通過運算求 出電線桿pq 的高度 .你同意他們的測量方案嗎？如同意，畫出計算時的圖形，簡要寫出運算的思路，不用求出詳細值；如不同意，提出你的測量方案，并簡要寫出運算思路.例 2：如圖，某小區(qū)在規(guī)劃改造期間，欲拆除小區(qū)廣場邊的一根電線桿ab，已知距電線桿ab 水平距離 1

23、4 米處是觀景臺，即bd 14 米，該觀景臺的坡面 cd 的坡角 cdf 的正切值為2，觀景臺的高cf 為 2 米，在坡頂c 處測得電線桿頂端a 的仰角為30°， d、e 之間是寬2 米的人行道，假如以點b 為圓心，以 ab 長為半徑的圓形區(qū)域為危急區(qū)域請你通過運算說明在拆除電線桿ab 時，人行道是否在危急區(qū)域內？2 1.41,3 1.73 例 3：在一次數(shù)學實踐活動課上，老師帶領同學去測一條南北流向的河寬，如下列圖，某同學在河東岸點a 處觀測到河對岸水邊有一點c ，測得 c 在 a 北偏西 31°的方向上，沿河岸向北前行40 米到達 b 處，測得 c 在 b 北偏西 45

24、°的方向上，請你依據(jù)以上數(shù)據(jù)，求這條河的寬度（參考數(shù)值：tan313 ） 5例 4：如圖， 在電線桿上的c 處引拉線ce、cf 固定電線桿，拉線 ce和地面成60°角，在離電線桿6 米的 b 處安置測角儀，在a 處測得電線桿上c 處的仰角為30°，已知測角儀高 ab 為 1.5 米，求拉線ce的長（結果保留根號） 練習：1、兩個城鎮(zhèn)a 、b 與兩條大路me ，mf 位置如下列圖，其中me 是東西方向的大路現(xiàn)電信部門需在 c 處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)a 、b 的距離必需相等，到兩條大路me ， mf 的距離也必需相等，且在fme 的內部（ 1）那么點 c 應選在何處？請在圖中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點 c（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）（ 2）設 ab 的垂直