薄板彎曲問(wèn)題的元分析

1、變分原理與有限元素法課程報(bào)告報(bào)告名稱：薄板彎曲問(wèn)題的有限元分析姓名：學(xué)號(hào)：導(dǎo)師：專業(yè)：1目錄1.問(wèn)題描述 .32.理論基礎(chǔ) .32.1矩形薄板彎曲單元 .32.1.1 撓度函數(shù) .32.1.2 單元?jiǎng)偠染仃?.52.2四邊簡(jiǎn)支矩形板的納維葉解法 .53.有限元模型 .64.結(jié)果與分析 .74.1均布載荷作用下四邊簡(jiǎn)支板 .74.2集中載荷作用下四邊簡(jiǎn)支板 .84.2均布載荷作用下四邊固支板 .94.2集中載荷作用下四邊固支板 .104.5總結(jié) .1121. 問(wèn)題描述一塊方板，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，厚度為 t （ 1L / t1 ），材料為鋁，分別用不同密805度的四節(jié)點(diǎn) 12 個(gè)自由度的矩形單元來(lái)劃分網(wǎng)格

2、。要求：考慮四邊簡(jiǎn)支和四邊固支兩種邊界情況，分別計(jì)算受均勻載荷q 和在板中心處受集中載荷P 兩種載荷情況下，板的中心撓度max ( 不超過(guò)板厚 t 的1/5) ，進(jìn)而計(jì)算出不同情況下的方板的中心撓度系數(shù)；將計(jì)算出的系數(shù)與精確解進(jìn)行比較，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)不同有限元網(wǎng)格密度對(duì)薄板彎曲問(wèn)題計(jì)算結(jié)果的影響。本例中，方板邊長(zhǎng)L=40mm，厚度t=1mm，鋁的彈性模量E=70GPa，泊松比0.3，粗略計(jì)算當(dāng)q=0.1MPa或者 P=50N時(shí)，板中心撓度小于板厚的1/5 ，屬于小撓度彎曲，因此載荷可取這兩個(gè)值。2. 理論基礎(chǔ)2.1 矩形薄板彎曲單元撓度函數(shù)薄板彎曲單元中比較簡(jiǎn)單的是四節(jié)點(diǎn)12 個(gè)自由度的矩形單元

3、，將矩形薄板沿坐標(biāo)方向劃分為若干矩形單元，如圖 1 所示，每個(gè)單元設(shè)有四個(gè)節(jié)點(diǎn)， 每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移有三個(gè)分量：撓度 w，繞 x 軸的轉(zhuǎn)角 xw /y ，繞 y 軸的轉(zhuǎn)角 yw / x ，即w iw i i xi( w / y ) i( i1,2,3,4 )yi( w / x ) i圖 13單元的節(jié)點(diǎn)位移為 e 1 T2 T3 T4 T T節(jié)點(diǎn)荷載為V i F i M xi( i1,2 , 3 , 4 )Myi單元的節(jié)點(diǎn)荷載為 F e F1 T F2 T F3 T F4 T T取位移函數(shù)為w12 x3 y4 x 25 xy6 y 27 x 38 x 2 y9 xy 210 y 311 x 3 y12

4、 xy 3在位移函數(shù)中， 前三項(xiàng)包含了單元的剛體位移狀態(tài)，二次項(xiàng)代表了單元的均勻應(yīng)變狀態(tài)?？梢宰C明，此位移模式能夠保證相鄰單元的公共邊界上撓度w 和轉(zhuǎn)角的連續(xù)性。分別求出上式中對(duì)x,y 的導(dǎo)數(shù)wxwy令22 4 x5 x 3 7 x 22 8 xy9 y 23 11 x 2 y12 y 335 y 2 6 y8 x22 9 xy 3 10 y 211 x33 12 xy 2( xx0 ) / a,( yy0 ) / bi、i 為節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值，則w N 1 1 N 2 2 N 3 3 N 4 4 N e其中稱 N 為形函數(shù)矩陣，第i 個(gè)子矩陣為4N i(1i )( 1i)( 2ii22)/8 N

5、 i N xib i (1i )( 1i)2 (1i) / 8N xia i (1i)2(1i)( 1i) / 8(i1,2 ,3,4 )單元?jiǎng)偠染仃嚫鶕?jù)克?；舴?(Kirchhoff) 假設(shè)，將用w 表示的位移u ,v 代入幾何方程x yxy2 w2 w2 wTzz2y 22 xx y這里，記 為2 w2 wT2 w 2y 22xx y稱為薄板的廣義應(yīng)變分量。將形函數(shù)代入上式，得出222T ww2wx2y 2xy2 w2 w2 wTa 22 N e2b 22ab B e這里的 B 稱為應(yīng)變矩陣B Bi Bj Bm Bp第 i 個(gè)子矩陣 Bi 為2 w2 w2 wT Bi 2 N i ( i

6、i , j , m , p )22b 22aba將廣義應(yīng)變矩陣 和板彎彈性矩陣 D 代入薄板彎曲的總位能泛函中，應(yīng)用最小位能原理得即可單元?jiǎng)偠染仃噆 e11 ab BT D Bd d112.2 四邊簡(jiǎn)支矩形板的納維葉解法5在經(jīng)典解析法中，w(x, y) 常設(shè)為三角級(jí)數(shù)形式。例如，四邊簡(jiǎn)支矩形板的w(x, y) 設(shè)為 :( 納維爾解 )w x, yAmn sin m x sin nym 1 n 1ab式中 Amn 為待定系數(shù)。假定荷載q x, yq sin m x sin n ym 1 n 1mnab則可得位移函數(shù) :w x, y14m2qmn2 sin mx sin n yDn2aba2b2根

7、據(jù)上式 位移函數(shù)的形式可將方板在四邊簡(jiǎn)支和四邊固支兩種邊界情況，分別計(jì)算受均勻載荷 q 和在板中心處受集中載荷P 兩種載荷情況下， 板的中心撓度 wmax 寫成如下形式wmaxqL4wmaxPL2DD式中， L 為方板邊長(zhǎng)，DEt 32 為板彎曲剛度。12 1本文通過(guò)有限元計(jì)算出板中心撓度 wmax ，進(jìn)而計(jì)算出中心撓度系數(shù)，與精確解比較得出相關(guān)結(jié)論。3. 有限元建模有限元分析時(shí)采用 ABAQUS 軟件，ABAQUS 是一款功能強(qiáng)大的有限元分析軟件，可以分析復(fù)雜的固體力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)系統(tǒng)， 模擬非常龐大復(fù)雜的模型， 處理高度非線性問(wèn)題。 ABAQUS 包括一個(gè)豐富的、 可模擬任意幾何形狀的單元庫(kù)

8、。并擁有各種類型的材料模型庫(kù)，可以模擬典型工程材料的性能，其中包括金屬、橡膠、高分子材料、復(fù)合材料等材料。作為通用的模擬工具，ABAQUS 能夠解決大量結(jié)構(gòu)（應(yīng)力/ 位移）問(wèn)題。ABAQUS有兩個(gè)主求解器模塊ABAQUS/Standard 和 ABAQUS/Explicit ，本文對(duì)薄板彎曲的有限元靜力分析使用的是 ABAQUS/Standard 模塊。6在本實(shí)例中，建模主要有以下三個(gè)步驟： 1）、創(chuàng)建有限元模型（預(yù)處理階段），2）、施加載荷并求解（求解階段） ，3）、結(jié)果分析（后處理階段） 。建模過(guò)程具體如下： 采用殼單元建立幾何外形， 即 40*40 的方板；然后建立材料鋁，輸入材料材料參

9、數(shù)（ E=70000,v=0.3） ，用該材料生成殼截面，將該截面屬性賦予所建的外形，設(shè)定殼的厚度為 1；組裝，設(shè)定分析步和輸出參數(shù)；網(wǎng)格分別劃分成：4*4、8*8、16*16 三種，采用四節(jié)點(diǎn)矩形單元；四條邊施加簡(jiǎn)支或固支約束（簡(jiǎn)支約束三個(gè)位移，固支還要約束三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)） ，中面施加均布或者集中載荷；提交分析模型；結(jié)果查詢。 （不該采用減縮積分單元）采用不同網(wǎng)格密度建立有限元模型如圖2：4*48*816*16圖 24.結(jié)果與分析4.1.均布載荷作用下四邊簡(jiǎn)支板7不同網(wǎng)格密度下，均布載荷作用下四邊簡(jiǎn)支板的位移云圖如圖3 示，各板的位移分別為： 0.1657mm、 0.1651mm、0.11646m

10、m，計(jì)算可得板中心撓度系數(shù)分別為 0.004149、0.004134、0.004122，而精確解為 0.004062。圖 34.2.集中載荷作用下四邊簡(jiǎn)支板不同網(wǎng)格密度下， 集中載荷作用下四邊簡(jiǎn)支板的位移云圖如圖 4 示，各板的位移分別為： 0.1529mm、0.1483mm、0.1482mm，計(jì)算可得板中心撓度系數(shù)分別為 0.012252、0.011883、0.011875，而精確解為 0.0011600。8圖 44.3.均布載荷作用下四邊固支板不同網(wǎng)格密度下， 均布載荷作用下四邊固支板的位移云圖如圖5 示，各板的位移分別為： 0.05228mm、0.05136mm、0.05120mm，計(jì)算

11、可得板中心撓度系數(shù)分別為 0.001309、0.001286、0.001282，而精確解為 0.001260。9圖 54.4.集中載荷作用下四邊固支板不同網(wǎng)格密度下， 集中載荷作用下四邊固支板的位移云圖如圖6 示，各板的位移分別為： 0.06584mm、0.07054mm、0.07154mm，計(jì)算可得板中心撓度系數(shù)分別為 0.005276、0.005432、0.005546，而精確解為 0.005600。10圖 64.5 總結(jié)一塊方板，將其劃分成不同的網(wǎng)格， 考慮四邊簡(jiǎn)支和四邊固支兩種邊界情況，分別計(jì)算受均勻載荷q 和在板中心處受集中載荷P 兩種載荷情況下，板的中心撓度 max 可以寫成如下形式：wmaxqL4wmaxPL2DD式中， L 為方板邊長(zhǎng)， DEt 32 為板彎曲剛度， 計(jì)算結(jié)果列于表1。12 111四邊簡(jiǎn)支四邊固支網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)4x4250.0041490.0122520.0013090.0052768x8810.0041340.0118830.00128