第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析

1、第第二二章章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的的時(shí)域分析時(shí)域分析2.1 2.1 引言引言2.2 2.2 微分方程的建立與算子表示法微分方程的建立與算子表示法2.7 2.7 卷積卷積2.8 2.8 卷積的性質(zhì)卷積的性質(zhì)2.3 2.3 用時(shí)域經(jīng)典法求解微分方程用時(shí)域經(jīng)典法求解微分方程 ( )( )( )hpr tr tr t2.4 2.4 起始點(diǎn)的跳變起始點(diǎn)的跳變 從從 0 0- - 到到 0 0+ + 狀態(tài)的轉(zhuǎn)換狀態(tài)的轉(zhuǎn)換2.5 2.5 零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)( )( )( )zizsr tr trt2.6 2.6 單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng) 的求解的求解( )h t 線性時(shí)不變線

2、性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的激勵(lì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的激勵(lì)e e( (t t) )與響應(yīng)與響應(yīng)r r( (t t) )之間的關(guān)系，之間的關(guān)系，可用以下可用以下線性常系數(shù)線性常系數(shù)微分方程描述。微分方程描述。系統(tǒng)分析的任務(wù)就是求解這個(gè)系統(tǒng)分析的任務(wù)就是求解這個(gè)n n 階非齊次線性常微分方程。階非齊次線性常微分方程。10111( )( )( )( )nnnnnnd r tdr tdr tCCCC r tdtdtdt10111( )( )( )( )mmmmmmd e tde tde tEEEE e tdtdtdt2.1 2.1 引言引言微分方程求解微分方程求解時(shí)域分析法時(shí)域分析法變換域法變換域法（LT法）法）全

3、響應(yīng)全響應(yīng)= = 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)+ +零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)（卷積積分法）（卷積積分法）全響應(yīng)全響應(yīng)= = 齊次解齊次解 + + 特解特解 （自由響應(yīng)）（強(qiáng)迫響應(yīng)）（自由響應(yīng)）（強(qiáng)迫響應(yīng)）1. 1. R、L、C 元件端口電壓與流經(jīng)電流的約束關(guān)系元件端口電壓與流經(jīng)電流的約束關(guān)系)()(tRitvRRRtvtiRR)()(dttdiLtvLL)()(tLLdvLti)(1)(dttdvCtiCC)()(tCCdiCtv)(1)(（一）微分方程的建立（一）微分方程的建立2.2 2.2 微分方程的建立與算子表示法微分方程的建立與算子表示法2. 2. 電路的電流、電壓約束關(guān)系（電路的電流、電壓約束關(guān)

4、系（KVL、KCL）)(tiRR)(tvR)(tiC)(tvCCL)(tvL)(tiL( )i t11F1H11( )i t例：例：右圖所示電路，激勵(lì)為電流右圖所示電路，激勵(lì)為電流 ， 響應(yīng)取響應(yīng)取 ，列寫微分方程。，列寫微分方程。( )i t1( )i t2( )i t解：解：12( )( )( )i ti ti t1221( )( )( )( )tdi ti tidi tdt 21112( )( )( )2( )( )d i tdi tdi ti ti tdtdtdt消去中間變量消去中間變量 ，得，得221( ) ()i tii i 方程階數(shù)等于電路階數(shù)（方程階數(shù)等于電路階數(shù)（獨(dú)立獨(dú)立儲(chǔ)能

5、元件的個(gè)數(shù)）。儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)）。)(4)(5)(3)(2)(22tetedtdtrtrdtdtrdtd 22( )2( )3 ( )( )( )5( )4 ( )ddq tq tq te tdtdtdr tq tq tdt（二）微分方程的算子表示法（二）微分方程的算子表示法（參考（參考P78P782.102.10節(jié)）節(jié)）微分算子微分算子dpdt積分算子積分算子1( )tdp11010111( )( )( )( )( )( )nnmmnmnnmmd r tdr td e tde tCCC r tEEE e tdtdtdtdt1101101( )( )nnmmnnmC pC pCpCr tE pE

6、 pEe t( ) ( )( ) ( )D p r tN p e t( )( )( )( )N pr te tD p( ) ( )H p e t( )( )( )N pH pD p稱為系統(tǒng)的傳輸算子稱為系統(tǒng)的傳輸算子傳輸算子是系統(tǒng)數(shù)學(xué)傳輸算子是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的另一種形式。模型的另一種形式。21112( )( )( )2( )( )d i tdi tdi ti ti tdtdtdt21(21) ( )(1) ( )ppi tpi t例例1：121( )( )21pi ti tpp21( )21pH ppp11p)(4)(5)(3)(2)(22tetedtdtrtrdtdtrdtd22( )2( )

7、3 ( )( )( )5( )4 ( )ddq tq tq te tdtdtdr tq tq tdt例例2：( )(54) ( )r tpq t21( )( )23q te tpp254( )( )23pr te tpp1. 1. 算子符號(hào)的運(yùn)算規(guī)則算子符號(hào)的運(yùn)算規(guī)則（1 1） 算子多項(xiàng)式可進(jìn)行因式分解或由因式相乘展開。算子多項(xiàng)式可進(jìn)行因式分解或由因式相乘展開。256( )23( )ppf tppf t例：例：（2 2） 等式兩端的公共因子不能隨意消去。等式兩端的公共因子不能隨意消去。例：例：12( )( )pftpft12( )( )f tf t不等價(jià)于不等價(jià)于11( )( )pf tpf

8、tpp（3 3）1( )pf tp( )tdfddt( )f t1( )pf tp( )tdfdd( )()f tf1( )( )pf tf tp2. 2. 借助算子符號(hào)建立微分方程借助算子符號(hào)建立微分方程( )( )LLdi tv tLdt1( )( )tCCvtidCLp( )Li t( )Cit1Cp( )Rvt ( )RitR廣義阻抗廣義阻抗( )i t11F1H11( )i t例例1 1：1( )( )i ti t111( )( )11 1pi ti tpp 1pp21( )21pi tpppp例例2 2：P83P83習(xí)題習(xí)題2-12-1（a a）( )( )oe tv te(t)+

9、vo(t)1HR12L1R21C1FL22H+-i2(t)i1(t)1pp2 p0)() 12()()()()() 12(221212tipptitpetitipp121211(2) ( )( )( )11( )(21) ( )0pi tite tppi tpitpp232( )( )(2553)pi te tpppp321( )2553e tppp多余的公共多余的公共因子可消去因子可消去2322( )2( )( )2553opv tpi te tppp)(2)(3)(5)(5)(22233tedtdtvtvdtdtvdtdtvdtdoooo總結(jié)：總結(jié)：（1 1）引入算子符號(hào)后，）引入算子符號(hào)

10、后，RLC 電路可借助純電阻電路的分析方法；電路可借助純電阻電路的分析方法；（2 2）是否可消去公共因子的原則：）是否可消去公共因子的原則：微分方程的階數(shù)應(yīng)等于電路微分方程的階數(shù)應(yīng)等于電路 階數(shù)（獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)）。階數(shù)（獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)）。1、齊次解：齊次解：寫特征方程寫特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解的形式。寫出齊次解的形式。經(jīng)典法求解微分方程步驟：經(jīng)典法求解微分方程步驟：特征根特征根對(duì)應(yīng)的齊次解部分項(xiàng)對(duì)應(yīng)的齊次解部分項(xiàng)teA12()tAtA e單根單根二重根二重根激勵(lì)函數(shù)激勵(lì)函數(shù)e(t)特解特解)(常數(shù)E)(常常數(shù)數(shù)B12BtBt etB e（ 不是系統(tǒng)的特征根）不是系統(tǒng)的特征

11、根）t e12()etBtB（ 是系統(tǒng)的特征根（非重根）是系統(tǒng)的特征根（非重根）t( )pr t3、完全解完全解=齊次解齊次解+特解，由特解，由初始條件初始條件定出齊次解系數(shù)。定出齊次解系數(shù)。2、特特 解：解：根據(jù)自由項(xiàng)的形式，寫含待定系數(shù)的特解表達(dá)根據(jù)自由項(xiàng)的形式，寫含待定系數(shù)的特解表達(dá) 式式代入原方程，比較系數(shù)定出特解。代入原方程，比較系數(shù)定出特解。（1）求齊次解）求齊次解( )hr t 特征方程特征方程02321122 特征根特征根、 齊次解齊次解 ttheAeAtr221)(（2）求特解）求特解( )pr t3( )te te根據(jù)根據(jù) ，設(shè)，設(shè)tpBetr3)(tttteBeBeBe3

12、3332993( )0.5tpr te2.3 2.3 用時(shí)域經(jīng)典法求解微分方程用時(shí)域經(jīng)典法求解微分方程 ( )( )( )hpr tr tr t，求完全響應(yīng)。，求完全響應(yīng)。)(4)()(2)(3)(22tetedtdtrtrdtdtrdtd(0)1, (0)3rr3( ),0te tet，例：例：系統(tǒng)微分方程、系統(tǒng)微分方程、 激勵(lì)信號(hào)及初始條件如下：激勵(lì)信號(hào)及初始條件如下：2312( )( )( )0.5ttthpr tr tr tAeA ee完全解完全解（3）由初始條件確定待定系數(shù)）由初始條件確定待定系數(shù)1212(0)0.51(0)21.53rAArAA 125.55AA 235.550.5

13、,0ttteeet 微分方程的齊次解稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)，它由系統(tǒng)本身的特性 決定； 特解稱為系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)，特解的形式由激勵(lì)函數(shù)決定。 系統(tǒng)的完全響應(yīng) = =自由響應(yīng) + +強(qiáng)迫響應(yīng) ；( )r t( )hr t( )pr t特征方程的根特征方程的根稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的固有頻率固有頻率，它決定了系統(tǒng)，它決定了系統(tǒng)自由響應(yīng)自由響應(yīng)的的全部形式；全部形式；1、建立電路微分方程的兩個(gè)依據(jù)是？、建立電路微分方程的兩個(gè)依據(jù)是？2、如何理解微分方程作為實(shí)際系統(tǒng)的抽象性、如何理解微分方程作為實(shí)際系統(tǒng)的抽象性3、解釋如下概念：、解釋如下概念：微分方程的齊次方程、其次解、特征方程、微分方程的齊次方程、其次解、特

14、征方程、 特征根、自由項(xiàng)、自特征根、自由項(xiàng)、自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)、系統(tǒng)固有頻率、初始條件由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)、系統(tǒng)固有頻率、初始條件4、電路系統(tǒng)的內(nèi)部元件儲(chǔ)能對(duì)輸出相應(yīng)的影響體現(xiàn)在微分方程求、電路系統(tǒng)的內(nèi)部元件儲(chǔ)能對(duì)輸出相應(yīng)的影響體現(xiàn)在微分方程求解的哪個(gè)環(huán)節(jié)上？解的哪個(gè)環(huán)節(jié)上？5、使用微分方程時(shí)域求解、使用微分方程時(shí)域求解84頁習(xí)題頁習(xí)題2-72.4 起始點(diǎn)的跳變起始點(diǎn)的跳變從從 0- 到到 0+ 狀態(tài)的轉(zhuǎn)換狀態(tài)的轉(zhuǎn)換 系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)( ) ( )( ) ( )D p r tN p e t階系統(tǒng)階系統(tǒng) ， n0t 在在 時(shí)刻的狀態(tài)時(shí)刻的狀態(tài)(1)(0)(0),(0)nrrr( )e t0t 若若

15、從從 時(shí)刻開始作用，時(shí)刻開始作用，則系統(tǒng)狀態(tài)可能會(huì)發(fā)生躍變。則系統(tǒng)狀態(tài)可能會(huì)發(fā)生躍變。(1)(0 )(0 ),(0 )nrrr0- 狀態(tài)：狀態(tài)：0+ 狀態(tài)：狀態(tài)：(1)(0 )(0 ),(0 )nrrr0- 狀態(tài)狀態(tài)( )e t0+ 狀態(tài)狀態(tài)( )( )( )hpr tr tr t確定確定 的待定系的待定系數(shù)，需要用數(shù)，需要用0+ 狀態(tài)狀態(tài)。（一）（一） 實(shí)際電路實(shí)際電路條件：沒有沖激電流（或階躍電壓）強(qiáng)迫作用于C； 沒有沖激電壓（或階躍電流）強(qiáng)迫作用于L。(0 )(0 )(0 )(0 )CCLLvvii+-+-RC( )e t( )RvtP54P54例例2-62-6： , , , 求求 。(

16、0 )0Cv( )( )e tu t( )Rvt1( )( )( )RRddvtvte tdtRCdt( )tRCRvtAe(0 )(0 )0CCvv(0 )(0 )(0 )RCvev1,0tRCet例：例：如右圖所示電路，如右圖所示電路，t0兩方面的效果考慮）2、一個(gè)N階系統(tǒng)的初始狀態(tài)，是要確定哪N個(gè)值？3、系統(tǒng)總的輸出可以分解成哪兩個(gè)成分？請(qǐng)列出3種不同的分解方式4、零輸入響應(yīng)和自由響應(yīng)的區(qū)別是什么？ 5、一般的，LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)表達(dá)式是什么函數(shù)形式？請(qǐng)解釋原因6、LTI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的關(guān)系是什么？請(qǐng)解釋原因。7、從卷積運(yùn)算的步驟來分析，變量t在卷積過程中的幾何意義是什么？8、從LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)和系統(tǒng)的因果性兩方面來解釋單位沖激響應(yīng)如何在時(shí)域描述系統(tǒng)的