第02課時圓錐曲線中的定點與定值問題

1、第二課時錐曲線中的定點與定值問題課堂考支突就asra圓錐曲線中的定點問題i明技法圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1) 引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線屮系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與 參數(shù)何吋沒有關(guān)系，找到定點.(2) 特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān). 提能力2 2【典例】(2018邵陽聯(lián)考)已知橢圓卡+”=1(°>0, q0)過點(0,1),其長軸、焦距和短 軸的長的平方依次成等差數(shù)列.直線/與x軸正半軸和尹軸分別交于點0、p,與橢圓分別交于點m、n,各點均不重合且滿足pm=mmo, pn=x2nq.(1) 求橢圓的標準方程；(

2、2) 若久i+久2=3,試證明：直線/過定點并求此定點.(1) 解:設(shè)橢圓的焦距為2c,由題意知b=l,且(2zz)2+(26)2=2(2c)2,2又 a2=h2+c2f at/2 = 3./.橢圓的方程為y+j2= 1.(2) 證明:由題意設(shè) p(0, m)f 2(x()p), m(x, /),n(x2,力)，設(shè)/ 方程為 x=t(ym)f由pm=xmq知(q, yiw)=ai(x0xh 一尹1),y/n=ya、由題意刃ho,-)yl同理由 pn=&2nq知 2,2= 1.*.* z 1 + z2 = 3,+y2)=0,得("+3 )y22mt2y+12 m23=0,:由題

3、意知 a=4/?2/44(/2 + 3)(z2w2 3)>0,且有y+v2=imt1t2m23，yiy2=+t 代入得 r2/?23+2/w2r2=0, /.(mt)2= 1, 由題意mt<0, "= 1,滿足.，得直線/方程為x=ty+f過定點(1,0),即0為定點.刷好題如圖，過頂點在原點、對稱軸為尹軸的拋物線e上的定點力(2,1)作斜率分別為川，k2 的直線，分別交拋物線e于乩c兩點.(1) 求拋物線e的標準方程和準線方程；(2) 若島+局=冏血，證明：直線恒過定點.(1) 解：設(shè)拋物線e的標準方程為x2 = ayf r/>0,將71(2,1)代入得，a=4.

4、所以拋物線e的標準方程為x2=4y,準線方程為y= .(2) 證明：由題意得，直線力3的方程為y=kix+l-2klf 直線/c的方程為y=k2x+1 一2他，2兀=4yf聯(lián)立，丄i “ 消去，得y=kx+2kt/一4局兀一4(1一2血)=0,解得 x=2 或 x=4kj2,因此點 b(4k、一2, (2£ 1尸)，同理可得c(4舄一2, (2-1)2).于是直線的斜率為:=k +«2 1,(2血一 1尸一(2局一 1f _ 4伙一眉)伙1 +他一 1) (4山一2) (4他一2) 一4(為一他)又ki+k2=kik2,所以直線bc的方程為夕一(2局一 1)2=仇比21)兀

5、一(4局一2),即 y=(kk；2 )xlkk2 1 =伙局一l)(x2) 3.故直線bc恒過定點(2, 3).圓錐曲線中的定值問題明技法圓錐曲線屮的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值.依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化 簡即可得出定值；(2)求點到直線的距離為定值.利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；（3）求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、 變形即可求得.提能力2 2【典例】己知橢圓c：卡+”=1,過力（2,0）, b（o,1）兩點.（1）求橢圓c的方程及離心率；（2）設(shè)p為第三象限內(nèi)

6、一點且在橢圓c上，直線刊與尹軸交于點m,直線與兀軸交 于點n,求證：四邊形abnm的而積為定值.（1）解:由題意得a=2, b=l,2所以橢圓c的方程為亍+歹2=1又 c=ya2b2=yf3f 所以離心率 e=.（2）證明：設(shè) p（x。，刃）（x°vo,為vo）,則并+4分=4.又力（2,0）, 3（0,1） ,所以直線的方程為y=一（x2）.令 x=0,得2j，oxo2從而 = 1 y2/= 1 +2yox。一 2直線pb的方程為尹=地二丄r+ 1.x。令）;=0,得 xn = 夕0_從而an = 2-xn=2+-刃）_1所以四邊形abnm的面積s=_x6+4y6+4xoy（）4x

7、（）8刃）+4 2（xqr）x（）2刃）+2）_ 2%（護（）_ 2x（）_ 4刃）+4 _ £ 側(cè)0_旳一2刃）+2從而四邊形abnm的面積為定值.刷好題如圖，在平面直角坐標系xo丿屮，點彳*，0),直線/： x=-|,點p在直線/上移動, r是線段pf與y軸的交點，rqlfp, pql.(1) 求動點q的軌跡c的方程；(2) 設(shè)圓m過力(1,0),且圓心m在曲線c上，ts是圓m在尹軸上截得的弦，當m運動 時，弦長|石|是否為定值？請說明理由.解：(1)依題意知，點/?是線段fp的中點，且rq丄fp,:.rq是線段的垂直平分線.點0在線段fp的垂直平分線上，.pq = qf,又ip0i是點q到直線/的距離，故動點q的軌跡是以f為焦點，/為準線的拋物線，其方程為y2=zv(x>0).(2)弦長|7爼為定值.理由如下：取