第二章導數與微分

1、第一節(jié) 導數的概念一、問題的提出一、問題的提出二、導數的定義二、導數的定義三、由定義求導數三、由定義求導數四、可導與連續(xù)的關系四、可導與連續(xù)的關系1.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置一、問題的提出一、問題的提出 t0 x0 xxoxy)(xfy cm0m 如圖如圖,m0t為曲線為曲線f(x)在點在點x0處的切線處的切線 1.平面曲線的切線問題平面曲線的切線問題切線即割線的極限位置切線即割線的極限位置000.m mx 0m m割線的斜率為tanyx00()(),f xxf xx00,cmmx 沿曲線的斜率為的斜率為切線切線mt0000()()limlim.xxf xx

2、f xykxx 2.變速直線運動的瞬時速度問題變速直線運動的瞬時速度問題如圖如圖,求求t0時刻的瞬時速度時刻的瞬時速度,0tt 的時刻的時刻取一鄰近于取一鄰近于, t 運動時間運動時間svt平均速度00()( )s tts tt0,t 當時取極限得取極限得t0時刻的瞬時速度時刻的瞬時速度000()( )limts tts tvt 0tso0( )s t( )s t0tt二、導數的定義00000000000( ),0,()();()() limlim,( ),( ),()xxyf xxxxxyyf xxf xf xxf xyxxyf xxyf xxfx 設函數在點處及左右有定義自變量 在處取得增

3、量時 相應地函數 取得增量若=存在 則稱函數在點處可導 并稱這個極限為函數在點處的導數 記為定義定義即即00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx =.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 000( ),xxxxxxdydf xydxdx，或還可記為還可記為0000(3)()()lim.3xf xxf xfxx 0000()()()lim.xf xxf xfxx 2.右導數右導數:單側導數單側導數1.左導數左導數:0000()()()lim;xf xxf xfxx 0000()()()lim;xf

4、xxf xfxx 函函數數)(xf在在點點0 x處處可可導導左左導導數數)(0 xf 和和右右導導數數)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.)(,)(內可導內可導在開區(qū)間在開區(qū)間就稱函數就稱函數處都可導處都可導內的每點內的每點在開區(qū)間在開區(qū)間如果函數如果函數ixfixfy .)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfix或或記作記作的導函數的導函數這個函數叫做原來函數這個函數叫做原來函數導數值導數值的一個確定的的一個確定的都對應著都對應著對于任一對于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或三、由定義求導數步驟步驟:);()()

5、1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限例例1.1.)()(的導數的導數為常數為常數求函數求函數ccxf 解解0()( )( )limxf xxf xfxx 0limxccx . 0 . 0)( c即即例例2.2.2( ).f xx求函數的導數解解0()( )( )limxf xxf xfxx 2()2 .xx 即220()limxxxxx 202limxx xxx 0lim(2)xxx 2x例例3 3.yx求函數的導數解解0()( )( )limxf xxf xfxx 1()2xx即0limxxxxx 0()()li

6、m()xxxxxxxxxxx 01limxxxx 12 x四、可導與連續(xù)的關系四、可導與連續(xù)的關系定理定理 凡可導函數都是連續(xù)函數凡可導函數都是連續(xù)函數. .證證,)(0可可導導在在點點設設函函數數xxf0000( )()lim()xxf xf xfxxx0000000( )()lim( ( )()limlim()xxxxxxf xf xf xf xxxxx.)(0連續(xù)連續(xù)在點在點函數函數xxf即有即有0() 00fx即即00lim( )()xxf xf x例例4 4.0)(處的可導性處的可導性在在討論函數討論函數 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00li

7、m)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點不可導點不可導在在函數函數 xxfy注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立.第二節(jié)第二節(jié) 導數的基本運算法則導數的基本運算法則一、和、差、積、商的求導法則一、和、差、積、商的求導法則二、反函數的求導法則二、反函數的求導法則一、和、差、積、商的求導法則一、和、差、積、商的求導法則(2) ( )( )( ) ( )( ) ( );u xv xu x v xu x v x定理定理并且并且可導可導處也處也在點在點分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則

8、它則它處可導處可導在點在點如果函數如果函數,)(,)(),(xxxvxu(1) ( )( )( )( );u xv xu xv x2( )( ) ( )( ) ( )(3)( ( )0)( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx 證證(3)(3)( ), ( ( )0),( )u xyv xv x設()( )uu xxu x 證證(1)(1)、(2)(2)略略. .()( )vv xxv x 記記則則()( )()( )u xxu xyv xxv x ( )( )( )( )u xuu xv xvv x( ( ) ( )( )( ( )( ( ) ( )u xu v xu

9、x v xvv xv v x( )( )( ( ) ( )v xuu xvv xv v x 故故00( )( )limlim( ( ) ( )xxuvv xu xyxxyxv xv v x 2( ) ( )( ) ( )( )v x u xu x v xvx推論推論; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfcxcf 12112(3)( )( )( )( )( )( )( )nininf xfx fxfxf x fxfx 21( )(4)( )( )fxf xfx 二、例題分析二、例題分析例例1.1.2.yxx求的導數解解2() ()yxx 例例2.2.4.yx求的導數

10、解解4()yx 142 x122xx2x例例3.3.21.yx求的導數解解222()()xyx 42xx32x三、反函數的導數三、反函數的導數定理定理111( )()( )0,( ),1( ).()( )yxxfyifyyf xifxfy如果函數在某區(qū)間 內單調、可導且則它的反函數在對應區(qū)間內也可導 且有即即 反函數的導數等于直接函數導數的倒數反函數的導數等于直接函數導數的倒數.證證,xix 任取任取xx 以以增增量量給給的單調性可知的單調性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(連續(xù)連續(xù)xf),0(0 xy1()( )0fy又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0

11、11()( )fy11( ).()( )fxfy即), 0(xixxx 第三節(jié)第三節(jié) 導數基本公式導數基本公式1. 常量函數的導數常量函數的導數2. 冪函數的導數冪函數的導數3. 指數函數的導數指數函數的導數4. 對數函數的導數對數函數的導數5. 三角函數的導數三角函數的導數6. 反三角函數的導數反三角函數的導數1.1.由前知由前知2. 2. 冪函數冪函數y=xn 的導數的導數00()limlimnnxxyxxxyxx 常值函數常值函數y=c的導數的導數0y 12210()()()limnnnnxx xxxxxxx xxx 12210lim()()()nnnnxxxxxxxx xx 1nnx即

12、即1()nnxnx例例. . 1x 一般地一般地,對任意常數對任意常數,冪函數冪函數y=x的導數為的導數為1()yxx 2()2xx109()10 xx12211( )()xxxx 232312()()2xxxx 112211()()22xxxx352235133()()22xxxx 3.3.00limlimxxxxxyaayxx 指數函數指數函數y=ax (a0,a1)的導數的導數1,log (1),00)xauaxuxu (令則且即即()lnxxaaa01limxxxaax 0limlog (1)xuauau101limlog (1)xuuaau1logxaaelnxaa4.4.logya

13、yxxa由于對數函數為指數函數的反函數對數函數對數函數y=loga x (a0,a1)的導數的導數1(log)lnaxxa1()yya故由反函數求導法則得故由反函數求導法則得:1lnyaa1lnxa特別地特別地,當當a=e時有時有即即1(ln )xx5. 5. 三角函數三角函數y=sinx, y=cosx 的導數的導數0sin()sinlimxxxxyx .cos)(sinxx 即即02sincos()22limxxxxx 0sin2limcos()22xxxxx cosx類似可得類似可得(cos )sin .xx )cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)

14、(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得5. 5. 三角函數三角函數y=tanx, y=cotx 的導數的導數6. 6. 反三角函數反三角函數 y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx的導數的導數sinsin,2 2yarcxxy 為在上的反函數,故)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc導數基本公式導數基本公式1(

15、log)lnaxxa ()0c 1()xx ()lnxxaaa () xxee 1(ln ) xx (sin )cos xx (cos )sinxx 2(tan )secxx 2(cot )cscxx 21(arcsin )1xx 21(arccos )1xx 21(arctan )1xx 21(arccot )1xx 導數運算法則導數運算法則設設)(),(xvvxuu 可導，則可導，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數是常數) )c 例例1. 求函數求函數y=x4+7x3-x+10的導數的導數導數基本

16、公式及運算法則舉例導數基本公式及運算法則舉例解解: :43() 7() 10yxxx324211xx例例2. 求函數求函數y=x2ex的導數的導數解解: :22()()xxyxex e22xxxex e2(2)xxx e例例3. 求函數求函數y=xexlnx的導數的導數導數基本公式及運算法則舉例導數基本公式及運算法則舉例解解: :ln()ln(ln )xxxyx exx exxex例例4. 求函數求函數y=(1-x2)arcsinx的導數的導數解解: :22(1)arcsin(1)(arcsin )yxxxxlnlnxxxexxexe(lnln1)xxxxe2212 arcsin(1)1xxx

17、x 22 arcsin1xxx導數基本公式及運算法則舉例導數基本公式及運算法則舉例解解: :2(1)(1)(1)(1)(1)xxxxyx例例5. 求函數求函數 的導數的導數11xyx2(1)(1)(1)xxx22(1) x導數基本公式及運算法則舉例導數基本公式及運算法則舉例解解: :2(ln )ln( )x xx xyx例例6. 求函數求函數 的導數的導數ln xyx21 ln xx例例7. 求函數求函數 的導數的導數2cot1arcxyx2222(cot )(1)cot(1)(1)arcxxarcxxyx解解: :221 2cot(1)xarcxx 第四節(jié)、復合函數的求導法則第四節(jié)、復合函數

18、的求導法則定理定理0000000( ),( )(), ( ),()()().uu xxyf uuu xyf u xxy xf uu x如果函數在點 可導 而在點可導 則復合函數在點可導 且其導數為即即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導, ,等于因變量對中間變等于因變量對中間變量求導量求導, ,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(.(鏈式法則鏈式法則) )證證,)(0可可導導在在點點由由uufy )(lim00ufuyu xyx 0lim0limxyuux 00limlimuxyuux 00()()fuu x( (由由u的連續(xù)性得的連續(xù)性得) )00( ()()fu xu x

19、推廣推廣( ),( ),( ),yf uuu vvv x設 ( )( )( )( )( ).yf u v xy xfuu vv x則復合函數的導數為例例1 110(32).yx求函數的導數解解10,32.yuux( )( )( )y xy uu x9103u930(32)x例例2 221.yx求函數的導數解解2,1.yu ux ( )( )( )y xy uu x1( 2 )2xu xu21xx例例3 322log (1).yx求函數的導數解解22log, 1yuux ( )( )yy uu x12ln2xu22(1)ln2xx熟練后熟練后, ,中間變量可不必寫出中間變量可不必寫出, ,只在心

20、中計算函只在心中計算函數數f(u)對對u的導數的導數, ,并將這個導數表示為并將這個導數表示為x的函數的函數. .例例4 4lnln.yx求函數的導數解解1(ln )lnyxx 1lnxx例例5 53sin.yx求函數的導數解解33cos()yxx 233cosxx例例6 61tan.xye求函數的導數解解1tan1(tan)xyex 1tan211(sec) ( )xexx1tan2211(sec)xexx 例例7 72ln(1).yxx求函數的導數解解221(1)1yxxxx 導數的運算綜合例導數的運算綜合例2211( 1)1xxx222111(1)12 1xxxx221111xxxx21

21、1x例例8 832211arctanln(1)-.22yxxxx求函數的導數解解導數的運算綜合例導數的運算綜合例32211(arctan ) ln(1)-()22yxxxx3222211(3arctan) (1)-121xxxxxxx3222(3arctan)-11xxxxxxx3223arctan-1xxxxxx23arctanxx例例9 92211( )ln(2).41xf xfx已知函數,求解解221ln(1)ln(1)4yxx導數的運算綜合例導數的運算綜合例221ln(1)ln(1)4yxx2222111(1)(1)411xxxx22122()411xxxx4141xx從而從而2(2)

22、.15f第五節(jié)、隱函數的導數第五節(jié)、隱函數的導數定義定義: :.)(稱為隱函數稱為隱函數由方程所確定的函數由方程所確定的函數xyy .)(形式稱為顯函數形式稱為顯函數xfy 0),( yxf)(xfy 隱函數的顯化隱函數的顯化問題問題:隱函數不易顯化或不能顯化如何求導隱函數不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數求導法則隱函數求導法則: :用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.例例1 12231.xxyyyy求由方程所確定的隱函數的導數解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對x23()20 xyxyyy化簡得化簡得(32 ) (23 )xy yxy 從中解解出從中解解出

23、 得得: y2332xyyxy 例例2 23.yyxxeyy求由方程所確定的隱函數的導數解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對x23()yyyxexe y化簡得化簡得從中解解出從中解解出 得得: y2(1) 3yyxeyxe231yyxeyxe例例3 3ln.yxyyy求由方程所確定的隱函數 的導數解解,求求導導方方程程兩兩邊邊對對xlnxyyyy化簡得化簡得從中解解出從中解解出 得得: y(1) lnxyyyln1yyxylnyyyx思考思考:試用反函數求導法則求解此題試用反函數求導法則求解此題例例4 4sin1,(0)yyxyxexy設 關于 的函數為由方程所確定的隱函數 試求解解,yx先求,

24、方程兩邊對 求導( sincos ) 10yyxyxe y 從中解解出從中解解出 得得: y1cossinyyxyxe又當又當x=0時時,y=0,即即y(0)=0故故01 0cos0(0)1sin0ye第六節(jié)第六節(jié) 高高 階導數階導數一、高階導數的定義一、高階導數的定義二、高階導數求法舉例二、高階導數求法舉例一、高階導數的定義一、高階導數的定義問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度.),(tfs 設設)()(tftv 則瞬時速度為則瞬時速度為的變化率的變化率對時間對時間是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)

25、()(0處的二階導數處的二階導數在點在點為函數為函數則稱則稱存在存在即即處可導處可導在點在點的導數的導數如果函數如果函數xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記作記作階導數階導數的的函數函數階導數的導數稱為階導數的導數稱為的的函數函數一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導數的導數稱為四階導數三階導數的導數稱為四階導數, 二階和二階以上的導數統(tǒng)稱為二階和二階以上的導數統(tǒng)稱為高階導數高階導數.)(;)(,稱為一階導數稱為一階導數稱為零階導數稱為零階導數相應地相應地xf

26、xf .,),(33dxydyxf 二階導數的導數稱為三階導數二階導數的導數稱為三階導數,.,),(44)4()4(dxydyxf二、二、 高階導數求法舉例高階導數求法舉例例例1 12(1)arctan ,.yxxy設求解解2212 arctan(1)1yxxxx 1)二階導數的求法二階導數的求法求完一階再求一階即可求完一階再求一階即可.2 arctan1xx故故(2 arctan1)yxx212arctan21xxx例例2 221,.1yyx設求解解222(1)(1)xyx 故故 222(1)xx222(1)xyx2222242(1)2(1) (1)(1)xxxxx222 32(1)4(1)

27、xxx22 32(31)(1)xx例例3 3sinln ,.yxy設求解解cosln(ln )yxx 故故 cosln xxcosln()xyx2(cosln )coslnxxx xx21sinlncoslnxxxxx2sinlncoslnxxx 例例4 4222(0),.yxxyaay設 關于 的函數為方程所確定的隱函數 求解解 在方程兩邊同時對在方程兩邊同時對x求導得求導得:220 xyy故故xyy ()在方程在方程()兩邊同時再對對兩邊同時再對對x求導得求導得:22( )0y yyy解之得解之得2( )1yyy 2()1xyy 23ay 例例5 5(),.nyxny設為正整數 求 的各階

28、導數解解1nynx 1)n階導數的通項階導數的通項先求出前面幾階再觀察出規(guī)律先求出前面幾階再觀察出規(guī)律將通項寫出將通項寫出. 2(1)nyn nx3(1)(2)nyn nnx(4)4(1)(2)(3)nyn nnnx( )(1)(2)(3)(1)!nn nyn nnnnnxn(1)0ny()nyxn故為正整數 的各階導數用通式可表示為: ()(1)(2)(3)(1), 0 , n mmn nnnnmxmnymn如如: :8yx(5)38 7 6(85 1)yx (10)0y34 5 6 7 8x例例6 6( ),.xnyey設求解解xye xyexye(4)xye( ),.xnyey設求( )

29、nxye例例7 72(100),.xyey設求解解22xye 222xye322xye(4)422xye(100)10022xye第七節(jié)第七節(jié) 函數的微分函數的微分一、問題的提出一、問題的提出二、微分的定義二、微分的定義三、微分的求法三、微分的求法四、微分形式的不變性四、微分形式的不變性五、微分的幾何意義五、微分的幾何意義一、問題的提出一、問題的提出實例實例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xa 0 x0 x,00 xxx 變到變到設邊長由設邊長由,20 xa 正方形面積正方形面積2020)(xxxa .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分

30、的主要部分且為且為的線性函數的線性函數ax .,很小時可忽略很小時可忽略當當的高階無窮小的高階無窮小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函數的改變量求函數的改變量時時為為處的改變量處的改變量在點在點設函數設函數3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小時很小時當當 x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值二、微分的定義二、微分的定義定義定義000000000 ( ),0,( ),()( ),(),()x xx xyf

31、xxxxxyf xxfxxyf xxxdydf xdyfxx 設函數在 處及其左右有定義自變量 在點 有改變量若函數在點可導 則稱為函數在點相應于自變量增量的微分值 記作或即( ),( ),( ).yf xxdydf xdyf xx函數在任意點 的微分 稱為函數的微分(函數) 記作或即微分的涵義微分的涵義: :00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 由導數的定義知由導數的定義知故故0000()()lim()0 xf xxf xfxx 000()( )0( )f xxf xxf xx 從而當時,為無窮小量000()( )( )()f xxf xf xxox 即故當故當x很

32、小時很小時,0000()( )( )( )f xxf xf xx df x 故微分的涵義即故微分的涵義即:函數值微小增量的主要部分函數值微小增量的主要部分例例1 1解解.yx求函數的微分( )dyxx( )yf x故函數的微分的表達式變?yōu)?).(xfdxdy .微商微商導數也叫導數也叫該函數的導數該函數的導數之商等于之商等于與自變量的微分與自變量的微分即函數的微分即函數的微分dxdyx 即即dxx ( )( ).df xfx dx由此可得由此可得:三、微分的求法三、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 計算函數的導數計算函數的導數, 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1.基本初等函數的微分公式基本初等函數的微分公式122( ) 0()(sin ) cos(cos )sin(tan ) sec(cot )cscd cd xxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)