實驗1 測量誤差與數(shù)據(jù)處理

1、測量誤差與數(shù)據(jù)處理物理實驗是以測量為基礎的。測量任何物理量，由于測量條件不能盡善盡美、儀器的分度值不可能無限小，所得結果都不會是絕對精確的。對測量結果精確度的評價是一門專門科學，涉及面非常廣泛。對實驗數(shù)據(jù)的處理和測量誤差的分析估算能力，是科學實驗技能的一個重要方面，在物理實驗課中，對有關知識作初步介紹，并通過具體實驗進行最基本的訓練。一、 測量與誤差1、物理量的測量在科學實驗和生產中，所有的物理量都是通過測量得到的。測量是為確定被測對象的數(shù)值多少而進行的實驗過程。在這個過程中通常借助專門的工具、儀器，把被測對象直接或間接地與同類標準量進行比較，得出用數(shù)值和單位共同表示的測量結果。所謂測量就是將

2、被測物理量與作為標準的同類物理量進行比較，從而獲得被測物理量的量值為目的的全部操作。測量各種物理量的具體方法有多種多樣。根據(jù)獲取測量數(shù)據(jù)的方式不同，可將測量分為直接測量和間接測量；根據(jù)測量條件的不同，可分為等精度測量和不等精度測量。(1)直接測量 待測物理量可以從量具或儀器上直接讀取的方式叫直接測量。如用米尺測量長度，用天平測量質量，電表測量電壓等都是直接測量。(2)間接測量 待測物理量不能由測量儀器直接讀出，而是需要用一些原理和公式由直接測量得到的各物理量推算出來的方式叫間接測量。如測量圓管的體積V，先要測量圓管的高度h、外徑D和內徑d，然后通過公式計算求得圓管的體積V，這就是間接測量。在工

3、程技術中，能直接測量的物理量是很少的，大部分物理量的測量是采用間接測量。然而，一個物理量的測量需用直接測量還是用間接測量并不是絕對的，通常與儀器的選擇有關。如測量液體的比重，選用量筒和天平作為測量工具為間接測量，選用比重計作為測量工具則為直接測量。隨著科學技術的進步和發(fā)展，將有更多、更精密儀器設備以滿足對更多物理量進行直接測量。(3)等精度測量 在相同測量條件下對某一物理量重復n次測量，得出的數(shù)值為，這幾個數(shù)值中我們沒有理由認為其中某一次測量比另一次測量更準確些或不準確些，即每次測量的精度是相同的，這種測量稱為等精度測量，比如在完全相同的條件下，用螺旋測微器對鋼珠的直徑進行n次的測量即為等精度

4、測量。測量條件是指一切能影響測量結果，本質上又可控制的全部因素。測量條件包括：進行測量的人、測量方法、測量儀器及其調整方法、環(huán)境條件等。環(huán)境條件是指測量過程中環(huán)境的溫度、濕度、大氣壓力、氣流、振動、輻射強度等。(4)不等精度測量 測量條件中只要其中一個發(fā)生了變化，就變?yōu)椴坏染葴y量。如在不同的環(huán)境溫度下測量電阻就是不等精度測量，因為電阻是隨溫度的變化而變化的物理量。等精度測量與不等精度測量的數(shù)據(jù)，在處理方法上是不同的，在以下的討論中所涉及的測量數(shù)據(jù)均為等精度測量的情況。2、測量誤差在確定的條件下，反映任何物質（物體）物理特性的物理量所具有的客觀真實數(shù)值，稱為真值。測量的目的就是力圖獲得真值。但

5、是，由于受儀器靈敏度和分辨率、實驗原理的近似性、環(huán)境的不穩(wěn)定性以及測量者自身因素的局限，測量總是得不到真值，測量值只能是真值不同程度的近似值。測量值與真值之間的差異叫測量誤差。如果用表示測量值，表示真值，測量誤差為： （1）因為與具有相同的單位，故又稱為絕對誤差，簡稱誤差。隨著科學技術的進步，測量誤差可以被控制得越來越小。但實踐證明，任何實驗的誤差都不能降為零，誤差始終存在于一切科學實驗中，這個結論稱為誤差公理。也就是說，從測量的角度來講，真值不可能確切獲得。因此，將測量的實際值、已修正過的算術平均值等被認為充分接近真值，可用來替代真值，用來替代真值的量值稱為約定真值。這樣一來，絕對誤差就是測

6、量結果與約定真值之差。誤差既然是客觀存在，那么就有必要研究、分析誤差的來源和性質。(1)誤差的分類根據(jù)誤差產生的原因及性質，可將誤差分為兩類。a系統(tǒng)誤差 在確定條件下多次測量同一物理量時，測量值總是有規(guī)律地朝著某一方向偏離真值，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的特點是誤差的數(shù)值和符號基本保持恒定，或在條件改變時按一定規(guī)律而變化。系統(tǒng)誤差的主要來源有：實驗裝置誤差。由于儀器本身的缺陷，或者由于測量前沒有很好地調節(jié)儀器所引起的誤差。比如天平兩臂不等長，儀表零點不準等。方法或理論誤差。由于測量原理、方法不完善而引起的誤差。比如測量體積時未考慮到膨脹因素，溫度變化對儀器本身影響太大等。環(huán)境誤差。由于外界

7、影響而引起的誤差。比如溫度發(fā)生變化，電磁場干擾等。人員誤差。由于測量者在操作經驗、分辨能力、反應速度、讀數(shù)習慣與偏向引起的誤差。比如有的人讀數(shù)總是偏大或偏小等。系統(tǒng)誤差服從因果規(guī)律，任何一種系統(tǒng)誤差，都有其確定的發(fā)生原因。在一定的測量條件下，只要找出產生系統(tǒng)誤差的原因，采取一定的措施都能消除或減小系統(tǒng)誤差。發(fā)現(xiàn)、減小或消除系統(tǒng)誤差，常取決于實驗者的經驗和素質。學生在學習過程中要積累這方面的感性知識，結合實驗具體情況對系統(tǒng)誤差進行分析和討論。b隨機誤差 在同一物理量的多次測量過程中，以不可預知方式變化的測量誤差稱為隨機誤差。隨機誤差的產生是由許多偶然因素造成的，因而也叫偶然誤差。它的特征是誤差的

8、大小和符號表面看來沒有任何規(guī)律性。隨機誤差起因于一些隨時隨地都會發(fā)生的微小的不可控制的因素，如無規(guī)則的溫度變化，氣壓起伏，地基、桌面的振動，電磁場的干擾，光線的閃動，電壓、電流的波動，以及觀察者感官（聽覺、視覺、觸覺）分辨能力的微小變化，以及最小讀數(shù)的估計產生的誤差等等。這些因素既不可控制，又無法預測和消除。某次測量的隨機誤差往往是由多種隨機因素共同造成的。 隨機誤差表面上看來似乎毫無規(guī)律，純屬偶然。然而對多次等精度測量結果的分析可以發(fā)現(xiàn)隨機誤差具有以下一些內在規(guī)律性： 對某一物理量進行了多次等精度測量，每次測量值的誤差的絕對值不會超過某一限度，這個特性稱為有界性；誤差數(shù)值越大者出現(xiàn)的次數(shù)越少

9、，誤差數(shù)值越小者出現(xiàn)的次數(shù)越多，這個特性稱為單峰性；絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的概率相等，這個特性稱為對稱性；誤差的算術平均值隨測量的次數(shù)的增加而減小。當測量次數(shù)無限增加時，隨機誤差的算術平均值將趨于零，即： （2）這個特性稱為抵償性。將（1）式代入上式得： （3）即僅存在隨機誤差的情形下，測量次數(shù)無限多時的算術平均值就是真值。當測量次數(shù)為有限次時，算術平均值最接近真值，因此，在本課程中，我們以算術平均值作為最佳測定值。(2)儀器的誤差儀器的誤差即國家計量局規(guī)定的該項儀器的出廠公差或允差，是一種系統(tǒng)誤差。用合格的儀器或量具進行測量，若操作正確，即使只測一次，其儀器的誤差一般不會超過公差。即

10、出廠公差提供了儀器的最大誤差。額定值通常都標明在儀器或量具上。如游標卡尺的額定誤差就是所標明的精度，通用的有0.02mm和0.05mm兩種。 本書附錄2中收錄了部分有關儀器誤差的國家標準和檢定規(guī)程，供估算實驗誤差時使用。3、測量結果的表示既然任何測量都有誤差，那么測量結果的表示格式為：式中為真值的估計值（即測量值），為測量誤差的估計值（即絕對誤差）。這種格式的物理意義是說明真值以一定的可能性（概率）包含在至范圍內。誤差的估算方法不同，這個概率的大小也不同。為了全面反映測量結果的優(yōu)劣，還需要考慮被測物理量本身的大小。定義相對誤差為絕對誤差與（約定）真值之比。因為最佳測量值與真值最接近，相對誤差也

11、可定義為誤差與最佳測量值之比。即相對誤差 4、精密度、正確度和準確度 在測量中常用精密度、正確度和準確度來評價測量結果的好壞。精密度表示測量結果中隨機誤差大小的程度；正確度表示測量結果中系統(tǒng)誤差大小的程度；準確度（精確度）是表示隨機誤差和系統(tǒng)誤差的合成誤差大小的程度。二、有效數(shù)字及其運算規(guī)則1、有效數(shù)字的一般概念0 1 2 3 4 A圖1 長度的測量測量是為確定被測對象的數(shù)值而進行的實驗過程。由于測量始終存在誤差，因而測量結果的數(shù)值就不應無止境地寫下去,而只能寫到誤差所在位。例如用米尺測量鋼棒A的長度（如圖1所示）。A棒長在3.23.3之間。這棒究竟有多長呢？我們可估讀為3.27，也可估讀為3

12、.28或3.29。這百分位上的7、8、9是估計出來的，而且每人估計出的值也可能不同，所以我們把這些估計出來的數(shù)稱為存疑數(shù)字（可疑數(shù)字）。存疑數(shù)字前的3.2是儀器測出的確切數(shù)字，稱為可靠數(shù)字。我們把測量結果的幾位可靠數(shù)字加上估計的一位數(shù)字（可疑數(shù)字）統(tǒng)稱為有效數(shù)字。測量結果中有幾個有效數(shù)字，就稱為是幾位有效數(shù)字。A棒長度的測量結果3.27、3.28或3.29都是三位有效數(shù)字。在使用有效數(shù)字時應注意以下幾點：數(shù)據(jù)中第一位非“0”數(shù)字前面的“0”不是有效數(shù)字。單位換算不改變有效數(shù)字的位數(shù)。測量結果末位的“0”仍為有效數(shù)字。直接測量的有效數(shù)字位數(shù)是由被測物理量的大小及儀器的精密度確定的，直接測量取儀器

13、的分度值的讀數(shù)為可靠數(shù)字估讀一位為可疑數(shù)字。要注意的是： 3.20 3.2。這是因為3.2是兩位有效數(shù)字，2是存疑數(shù)字。而3.20的存疑位是0。因此有效數(shù)字位數(shù)越多，測量越準確。有效數(shù)字是測量結果的客觀反應，它的位數(shù)多少不能隨意增減。電子秒表、電阻箱、便攜式電橋等儀器無法進行估讀。這些儀器在測量值的最后一位就存在著儀器誤差，就是存疑數(shù)字，而不必再估讀。參與運算的常數(shù)，由于它們不是測得量，其有效數(shù)字的位數(shù)是無限的，可根據(jù)需要來選取。2、有效數(shù)字的運算例1 加減運算 x1 =20.1， x2 4.17， x3 =6.784 求 x1x2x3？解：寫成豎式運算，在下面加一橫表示可疑數(shù)字。任一可疑數(shù)字

14、與其它數(shù)字運算后其結果就是可疑的。于是作為最終結果，我們只保留一位可疑數(shù)字。x1x2x331.0；作為中間結果參加下一步運算，我們可以多保留一位可疑數(shù)字，即：x1x2x331.05 。由此可見，在加減運算中，運算結果的存疑位與參與運算的各量中存疑位最高的為準。例2 乘除運算 4.178×10.1？ 解： 寫成豎式表示 按規(guī)定 4.178×10.42.2 ；41.78÷11.23.73 運算結果三位有效數(shù)字與最少的有效數(shù)字位數(shù)一致。歸納起來，有效數(shù)字的運算規(guī)則有如下幾點： 加減運算 先找出各數(shù)中可疑數(shù)字最靠前的，以此數(shù)的最后一位數(shù)的位置為標準，對其它數(shù)進行取舍，但在

15、運算過程中可以多保留一位。乘除運算 先找出有效數(shù)字位數(shù)最少的，以它的有效數(shù)位為準對其它數(shù)進行取舍，可以多保留一位。三角函數(shù) 三角函數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與其角度（用弧度表示）的有效數(shù)字位數(shù)相同。如對數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與真值的有效數(shù)字位數(shù)相同。如。冪和根 冪和根的有效數(shù)字位數(shù)和它們的底的有效數(shù)位相同。但、e等常數(shù)的有效數(shù)位在運算中需要幾位就取幾位。3、數(shù)的修約規(guī)則（尾數(shù)舍入法則）對于大量尾數(shù)分布概率相同的數(shù)據(jù)來源，“4”舍“5”入不盡合理?，F(xiàn)在通用“4”舍“6”入，對于“5”，若前面為偶數(shù)則舍（“0”作為偶數(shù)），若前面為奇數(shù)則入，即所謂四舍六入五湊偶，以保證尾數(shù)取舍幾率相等（根據(jù)國家標準GB3101-9

16、3 有關量、單位和符號的一般原則的附錄B 數(shù)的修約規(guī)則）。三、測量結果的誤差估算1、多次直接測量的誤差估算(1) 算術平均值在相同條件下對某物理量作等精度n次測量，其觀測值分別為，稱為測量列，若用的表示測量列的平均值，則 （4）由于算術平均值最接近于真值，故稱之為近真值。(2) 算術平均偏差（平均誤差）各觀測值與近真值的偏差稱為殘差，分別表示為算術平均偏差則為 （5）由于算術平均值最接近于真值，平均誤差可作為誤差的初步估算。 (3)標準偏差在有限測量次數(shù)的情況下，通常用以測量列平均值為參照系的標準偏差作為標準誤差的最佳估算值。對于測量列中單次測量值的標準偏差的表示式為 （6） 式（6）也稱為貝

17、塞爾（Bessel）公式。在n次測量的情況下，以平均值表示測量結果，其標準偏差必然要小些，其值僅為測量列單次測量值標準偏差的倍。平均值的標準偏差表示為 （7）2、單次直接測量的誤差估算由于條件限制，對一個物理量的直接測量只能進行一次；或實驗誤差以儀器的誤差為主；或只測一次就能達到準確度要求的測量。這種單次測量結果的誤差應該根據(jù)測量的實驗情況進行估算。在本課程中，我們以儀器的誤差作為單次測量的誤差。在要求更準確的科學實驗中，單次測量的誤差應根據(jù)實際的系統(tǒng)誤差規(guī)律和隨機誤差的可能分布用嚴格的誤差理論來處理。3、間接測量誤差的估算（誤差的傳遞與合成）既然直接測量存在誤差，間接測量就必然有傳遞誤差。設

18、間接測得量為，各直接測得量為。間接測得量與各直接測得量的函數(shù)關系為。（1）算術平均值將各直接測得量的測量結果（即算術平均值）代入間接測得量與各直接測得量的函數(shù)關系式中，所得結果為間接測得量的最佳測量值，即測量結果（算術平均值）。 (8)（2）間接測得量的誤差間接測量中的誤差傳遞公式和全微分公式相同，只要將微分符號“d”改成誤差符號“”，便可得到誤差傳遞公式： （9）若將函數(shù)先取對數(shù)，再微分后化為誤差公式，則有 （10）式（5）是絕對誤差的傳遞公式，式（6）是相對誤差的傳遞公式。兩個公式中的 以及稱為單項誤差或分誤差，各項中的偏導數(shù)稱為誤差傳遞系數(shù)。誤差傳遞系數(shù)必須在平均值處取值。關于誤差的合成

19、，可按下列方式處理。a.極限誤差的合成 用算術平均偏差法處理直接測量誤差的，則用極限方法，即絕對值相加的方法合成誤差： （11） （12）這是因為各直接測得量的誤差正、負號出現(xiàn)的可能性是相互獨立、偶然的，存在正負誤差相互抵消的可能性，估算時應考慮最不利的情況?，F(xiàn)將常用函數(shù)關系的極限誤差合成公式列于表1中。表1 常用函數(shù)關系的極限誤差合成公式函數(shù)形式絕對誤差相對誤差由表1可見，若函數(shù)為和差形式，間接測得量的絕對誤差便是直接測得量的絕對誤差之和。對此類函數(shù)關系的測量，先算出絕對誤差，再利用相對誤差和絕對誤差的關系式計算相對誤差，較為方便。如果函數(shù)是積商形式，因間接測得量的相對誤差是各直接測得量的相

20、對誤差之和，先計算相對誤差，再由相對誤差求絕對誤差就更簡便。在使用表1時，若是多次測量，x，y，z，均以平均值代入。b.方和根合成 用標準偏差估算的各直接測得量的誤差、傳遞過程按方和根法合成，即:將各項誤差平方后相加，再開方。所得結果便是間接測量結果的標準偏差。其絕對誤差和相對誤差的算式分別為 （13） （14）式中xyz等在多次測量情況下，均應是平均標準偏差。表2 常用函數(shù)的方和根合成公式函數(shù)形式誤差合成公式在精度要求較高的實驗中，都采用方和根合成法。例3 對某一物體的長度測量了10次，結果如下63.57，63.58， 63.55 ，63.56， 63.59， 63.55 ，63.54， 6

21、3.57， 63.56， 63.57cm分別用算術平均誤差和標準誤差表示測量結果。解：首先根據(jù)定義求出平均值 第二步根據(jù)可求出，所以算術平均誤差為：的標準誤差為： 由于隨機誤差本身是一個估計值，所以其結果一般只取一位或兩位數(shù)字。我們統(tǒng)一只取一位。于是用算術平均誤差表示結果為：用標準誤差表示為在測量次數(shù)很多時（通常為5次以上），與存在如下關系： （15）用這種方法我們估計為：4、不同性質誤差的合成自1980年國際計量局提出了關于實驗不確定度的建議書INC1（1980）以來，越來越多地使用不確定度來處理實驗誤差及不同性質誤差的合成。不確定度表示由于測量誤差的存在而產生的對被測量值不能肯定的程度。測

22、量結果的不確定度一般包含好幾個分量，這些分量可以按估計其數(shù)值時所使用的方法歸并成兩類：A類用統(tǒng)計方法計算出的分量；B類用其它方法計算出的分量。任何不確定度的詳盡表述應包括列出其全部分量，并注明得出每個分量的不確定度數(shù)值時所用的方法。表達A類不確定度一般用標準偏差，也可用標準偏差的倍數(shù)，B類不確定度不是用統(tǒng)計方法估算出來的，可借助于有關信息（如以前的數(shù)據(jù)、可能的分布規(guī)律或特點，有關材料和儀器的性能或特點，儀器說明書或檢定證書、國家標準或專業(yè)標準等）估算，以等價標準偏差表達。A類和B類不確定度的合成稱為合成不確定度。例如，當測量結果的不確定度包含i個A類分量，j個B類分量，而且這個分量都獨立、互不

23、相關時，合成不確定度如果這個分量中如果有不獨立、相關的分量，應用廣義的方和根法合成，對此可參閱有關的專著。B類分量用等價標準偏差表示的方法是將誤差除以相應的置信因子，即誤差的概率分布不同，置信因子的取值也個相同。例如按正態(tài)分布的誤差落在區(qū)間內的概率0.50、0.68、0.90、0.95、0.99、0.997或1時，相應的0.67、1、1.6、2、2.6、3。實驗中經常遇到的情況是已知儀器誤差，但不知儀器誤差的分布規(guī)律。因為儀器誤差給出的是誤差極限，即，如果儀器誤差隨機性較強，可以假設為正態(tài)分布，；如果儀器誤差系統(tǒng)性較強，可以假設為均勻分布，；如果還分辨不清，則以使不確定度的估計略為偏大的假設為

24、原則，取。即上式是已知儀器誤差而不知其分布規(guī)律的情形下，決定B類分量的常用公式。例題4 用外徑千分尺測量一鋼球直徑的數(shù)據(jù)為8.434、8.428、8.421、8.429、8.418、8.417、8.430、8.422（單位：mm）。試用不確定度評價測量結果。解：是用統(tǒng)計方法得到的平均值的標準偏差，即A類不確定度。根據(jù)國家標準GB121685，在題意給定的測量范圍內，千分尺的示值誤差為0.004mm。B類不確定度用等價標準偏差表示為。S和U這兩個分量是完全獨立、不相關的，合成不確定度測量結果可表示為：5、實驗數(shù)據(jù)的處理步驟可將實驗數(shù)據(jù)的處理歸納為：（1）按實驗的要求計算結果（寫出公式、代入數(shù)據(jù)及

25、計算結果），運算過程應符合有效數(shù)字規(guī)則的要求。（2）絕對誤差只取一位有效數(shù)字。相對誤差一般取一位（或二位）有效數(shù)字，多余的數(shù)按進位法舍棄。（3）測量結果的有效數(shù)字位數(shù)依據(jù)絕對誤差來取舍，最后一位應和絕對誤差所在位置對齊。（4）測量結果表達形式： 或 因為（或）反映的是存在誤差而不可靠的數(shù)字，因此測量結果的誤差一般只取一位不為零的有效數(shù)字，最多兩位。又因為中與同位的數(shù)字就是存疑數(shù)字，存疑位后面的數(shù)字沒有保留的必要，可按數(shù)字的修約規(guī)則處理。因此測量值與誤差的未位應一致，即由誤差決定測量值的存疑位。實驗最后結果的相對誤差一般只取一位有效數(shù)字，最多兩位。但有些實驗誤差估算時是先算相對誤差，然后根據(jù)算出

26、絕對誤差，這時為了不損失測量的準確度，相對誤差應取兩位有效數(shù)字。四、處理實驗數(shù)據(jù)的幾種方法數(shù)據(jù)處理就是把實驗所得到的原始數(shù)據(jù)，通過分析、整理、概括和計算，找出各量之間的內在規(guī)律性，求得實驗結果。這是實驗的重要步驟。常用的數(shù)據(jù)處理方法有列表法、作圖法、最小二乘法、逐差法等。1、列表法 列表法就是將一組有關的測量數(shù)據(jù)和相應的計算按測量先后或計算順序列成表格。這樣各物理量之間的對應關系簡單而又清楚地表示出來了，便于檢查測量結果是否合理，便于查找各有關量之間的規(guī)律性聯(lián)系，還有利于有效數(shù)字的簡化，有利于分析誤差與計算結果，也容易發(fā)現(xiàn)問題。列表法是科技工作者最常用的一種處理數(shù)據(jù)的方法。列表時應遵守下列原則

27、：（1）各欄目的排列順序與測量先后或計算順序相對應，簡單明了。（2）分類清楚，順序一致，格式整齊美觀。便于看出實驗數(shù)據(jù)間的關系，便于歸納處理。（3）在表格的上方寫上表格的名稱，在表格內的標題欄中注明物理量的名稱和單位，不要把單位一一寫在數(shù)字后。（4）數(shù)據(jù)應正確反映測量結果的有效數(shù)位。數(shù)字較大或較小時應用科學記數(shù)法，表格同一列（行）統(tǒng)一科學記數(shù)法時應在標題欄中物理量單位旁注明，而不必每個數(shù)據(jù)后都寫。2、作圖法作圖法是在坐標紙上用圖線來描述各物理量之間的關系的一種方法。這各方法可以形象地、直觀地表示出量與量之間的關系及變化規(guī)律，因而它是尋找量與量之間的函數(shù)關系，尋求經驗公式的最常用、最有效的方法之

28、一。把實驗數(shù)據(jù)用圖線表示出來的方法稱為圖示法，利用圖線求出經驗公式的方法稱為圖解法。用圖示法可以作出儀器的校準曲線。圖示法可以方便地得到許多有用的參量，如極值、直線的斜率和截距等；采用內插法可以直接讀出未觀測區(qū)域中的值；采用外推法，在一定條件下，可以直接讀到測量數(shù)據(jù)范圍以外的數(shù)據(jù)。（1）圖示法規(guī)則a.標寫圖名 在坐標圖下方中央或上方中央適當位置標明圖號、圖線名稱。b.坐標紙的選擇 用標準方格坐標紙，坐標紙的大小根據(jù)實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)位和數(shù)值范圍來確定。以橫坐標代表自變量，縱坐標代表因變量，原則上坐標紙的一小格（也可取二小格）代表可疑數(shù)字前面的一位數(shù)字，即坐標軸上的最小分度值應與測量儀器的最小刻度

29、相對應，可靠數(shù)據(jù)在圖中也是可靠的，不可靠數(shù)據(jù)在圖中是估計的。以保證圖上讀數(shù)的有效數(shù)位不少于測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)位，即不犧牲數(shù)據(jù)的精度，也不應夸大精度。c.定坐標軸和坐標分度 用粗實線在坐標紙上畫好坐標軸，在軸端寫上物理量的名稱（符號和單位（單位寫于斜分數(shù)線下），如物理量方向相反時應在符號旁標明正負。在坐標軸上按比例標出若干的分度值。分度值的選取應便于讀數(shù)，坐標軸的起點不一定為“0”。例如在常用的毫米方格坐標紙上，應以1cm代表1、2、4、5等數(shù)學，而不代表3、7、9等。分度的數(shù)字只需相隔10格或5格寫一個，測量數(shù)據(jù)不應寫在坐標紙軸上。分度范圍應包括測量數(shù)據(jù)并略有富余，以便圖線能比較均勻對稱地在坐標

30、圖上居中間位置，而不只占一角落。d.描點和連線 根據(jù)測量數(shù)據(jù)，用“+”準確標出各點的坐標。當一張圖上要畫幾條曲線時，每條曲線采用不同的符號標出，如“×”、“”、“”等。坐標紙上標出的數(shù)據(jù)點，每一點都包含誤差，因此數(shù)據(jù)點不一定都在同一光滑曲線上。由于系統(tǒng)誤差的特征是定向偏離，隨機誤差的特征是偏離過大或過小，過失誤差的特征是偏離很大，因而我們不能也不可能使曲線通過所有的點，但我們必須使曲線通過盡可能多的點，并使不在曲線上的點大致均勻地分布在曲線兩側。對于偏離過大的個別點應當舍去或重新測量核對。（2）圖解法根據(jù)圖示法畫出的實驗圖線，利用解析幾何知識判斷圖線的類型，采用以下方法決定有關參數(shù)：

31、a.實驗圖線是直線這時橫坐標和縱坐標反映的物理規(guī)律應該有關系，用圖解法決定參數(shù)（斜率）和（截矩）時，應在直角坐標圖線上選取不太近的兩點和，這兩點的坐標最好為整數(shù)，但不能用原始數(shù)據(jù)。斜率為，當時的值就是截矩。或者再選取一點，則。實驗中，有時我們只能獲得有限的幾個實驗數(shù)據(jù)點，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)畫出的實驗曲線，反映了在某一范圍內兩物理量之間的關系。在該范圍內，物理量之間的對應值可以一一求得，這種圖解法稱為內插法。對于區(qū)域外的兩物理量之間的關系要用外推法來求。例題6 測定金屬電阻的溫度系數(shù)。金屬電阻隨溫度的變化關系為： 10 20 30 40 50 60 40 30 50 60 70 t() Rt() B

32、(25.0, 45.7 ) A (55.0, 64.5 ) 圖2 電阻隨溫度的變化式中為t時電阻，為0時的電阻，為該金屬的電阻溫度系數(shù)。實驗測量是從20開始的，測量數(shù)據(jù)如表3。由表3數(shù)據(jù)作圖2。恰當選取A (55.0, 64.5 )，B (25.0, 45.7 )兩點，則直線斜率為將直線外推，使之與縱坐標相交即可得：t ()20.025.030.035.040.045.050.055.060.0Rt()42.845.748.852.055.158.161.364.567.6表3 測定電阻隨溫度的變化b.實驗圖線不是直線由于線性關系比非線性關系簡單，準確，易于處理，誤差?。挥钟捎谥本€是能夠高度精確畫出的圖線。因此，在實際工作中，常常將非線性關系通過適當?shù)淖儞Q化為線性關系來處理。即把非直線圖線化為直線圖線（稱為曲線的改直），然后再圖