電路_李裕能_第10章拉普拉斯變換及網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

1、第10章拉普拉斯變換及網(wǎng)絡(luò)函數(shù)本章的主要內(nèi)容有：拉普拉斯變換的基本概念，拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系；拉普拉斯變換的基本性質(zhì)；拉普拉斯反變換；電路定律的運(yùn)算形式，運(yùn)算電路，應(yīng)用拉普拉斯變換分析線性電路中的過(guò)渡過(guò)程；網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義及其性質(zhì)，復(fù)頻率平面及網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)；極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖激響應(yīng)，極點(diǎn)、零點(diǎn)與頻率響應(yīng);拉普拉斯變換與正弦穩(wěn)態(tài)相量法之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。10.1拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系概述求解動(dòng)態(tài)電路的兩種方法比較經(jīng)典法  在第九章，主要介紹了用時(shí)域分析法分析一階電路和二階電路的動(dòng)態(tài)過(guò)程，其要點(diǎn)是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，列寫換路后電路的微分方程、解微分方程、由電路的初始條

2、件確定積分常數(shù)。這種方法也稱為經(jīng)典法。時(shí)域分析法有其優(yōu)點(diǎn)：數(shù)學(xué)推導(dǎo)嚴(yán)密，物理概念清晰。但是運(yùn)用時(shí)域分析法分析高階電路時(shí)就比較麻煩：首先，將描述儲(chǔ)能元件電壓、電流關(guān)系的一階微分方程組化為單一變量的高階微分方程的運(yùn)算復(fù)雜；其次，求解高階微分方程的特征方程的特征根運(yùn)算量大；最后，確定電路的初始條件、定積分常數(shù)相當(dāng)麻煩。另外，當(dāng)電路中有沖激電源或者沖激響應(yīng)時(shí)，時(shí)域分析法在確定初始條件時(shí)也比較困難。復(fù)頻域分析法  復(fù)頻域分析法的要點(diǎn)是將時(shí)域電路轉(zhuǎn)換成運(yùn)算模型，正如在正弦穩(wěn)態(tài)相量法分析穩(wěn)態(tài)電路時(shí)將時(shí)域電路轉(zhuǎn)化成相量模型，將描述動(dòng)態(tài)電路的微分方程，變換成為相應(yīng)的代數(shù)方程，將求解微分方程的

3、全解轉(zhuǎn)化成求解代數(shù)方程，由代數(shù)方程的解對(duì)應(yīng)找出原微分方程的解。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于將描述動(dòng)態(tài)過(guò)程時(shí)域電路轉(zhuǎn)換成為復(fù)頻域形式的運(yùn)算電路，由運(yùn)算電路形成代數(shù)方程，它既不需要列寫電路的微分方程；也不需要由電路的初始條件確定積分常數(shù)。這種方法也稱為積分變換法。10.1.1拉普拉斯變換、由傅里葉變換到拉普拉斯變換傅里葉變換與拉普拉斯變換都是積分變換，時(shí)域函數(shù)f ( t ) 的傅里葉變換為要使上式的積分收斂，函數(shù)f ( t )在無(wú)限區(qū)間內(nèi)必須滿足絕對(duì)可積，即d t 存在，其傅里葉變換才能確定，顯然這是傅里葉變換的局限性

4、。電路中某些常見(jiàn)的函數(shù)不能直接應(yīng)用傅里葉變換，因?yàn)樵谕ǔＧ闆r下，如果當(dāng)t 趨向于無(wú)限大時(shí)，函數(shù)f ( t ) 的幅度不衰減，則上述積分不收斂，所以它就不存在傅里葉變換。為了克服這一困難，可以將時(shí)域函數(shù)f ( t )乘以一個(gè)衰減系數(shù)，其中為正實(shí)數(shù)，當(dāng)t趨向于正無(wú)限大時(shí)，f ( t )趨近于零，從而使積分收斂。f ( t )的傅里葉變換為相應(yīng)的傅里葉反變換為令，則上式稱為雙邊拉普拉斯正變換。在電路理論中，通常把換路瞬間定為t = 0，著重研

5、究t0時(shí)電路中的響應(yīng)。如果用函數(shù)f ( t )表示換路之后電路中的激勵(lì)或響應(yīng)，我們對(duì)時(shí)間段- 0 - 之間f ( t)是什么內(nèi)容并不關(guān)心，也就是說(shuō)，當(dāng)t0時(shí)f ( t)不進(jìn)行計(jì)算，將f ( t)定義在t0區(qū)間。這樣，可以應(yīng)用數(shù)學(xué)上的單邊拉普拉斯變換分析動(dòng)態(tài)電路。、拉普拉斯變換本書只討論單邊拉普拉斯正變換，故將它簡(jiǎn)稱為拉普拉斯變換或稱拉氏變換。即是一個(gè)復(fù)數(shù)，稱之為復(fù)頻率。f ( t)是以時(shí)間t為自變量的實(shí)函數(shù)，稱之為原函數(shù)F( s )&#

6、160;是以復(fù)數(shù)s為自變量的復(fù)函數(shù)，稱之為f ( t)的象函數(shù)L  f ( t)表示求f ( t)的象函數(shù)，即對(duì)f ( t)進(jìn)行拉普拉斯正變換。、拉普拉斯反變換 由于，故d= d s / j。當(dāng)= -時(shí)，s =- j；當(dāng)= 時(shí)，s =+ j。將這些關(guān)系代入上式稱為拉普拉斯反變換。原函數(shù)與象函數(shù)之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)在數(shù)學(xué)中已經(jīng)證明都是唯一的。例10-1  求單位階躍函

7、數(shù) f ( t)=(t)的象函數(shù)。例10-2求單位沖激函數(shù)的象函數(shù)。例10-3求指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)。、一些較常見(jiàn)函數(shù)的拉普拉斯變換對(duì)單邊拉普拉斯變換在t 0區(qū)域內(nèi)有定義，故本表中的原函數(shù)f ( t )均應(yīng)理解為f ( t )(t)。10.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換具有很多重要性質(zhì)，本節(jié)只介紹一些常用的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以幫助求得一些復(fù)雜的原函數(shù)的象函數(shù)或者使原函數(shù)的微分方程變換為象函數(shù)的代數(shù)方程。運(yùn)用積分變換法分析線性電路的動(dòng)態(tài)過(guò)程，其要點(diǎn)是將描述動(dòng)態(tài)電路的原函數(shù)的微分方程變換成為相

8、應(yīng)的象函數(shù)的代數(shù)方程，然后求解代數(shù)方程，得到響應(yīng)的象函數(shù)。最后由響應(yīng)的象函數(shù)進(jìn)行拉普拉斯反變換，求出響應(yīng)的原函數(shù)。因此，在運(yùn)用積分變換法分析線性電路的過(guò)渡過(guò)程中，拉普拉斯反變換顯得尤為重要。拉普拉斯反變換的方法有：、由定義式計(jì)算 在本章第一節(jié)里，已經(jīng)討論過(guò)拉普拉斯反變換的定義式根據(jù)定義式，可以將象函數(shù)F（s）變換成為原函數(shù)f ( t )。但是上述積分是復(fù)變函數(shù)的積分，不便于直接求解，因而一般不采用定義式來(lái)求原函數(shù)。、直接查表 在本章第一節(jié)里，已經(jīng)將一些較常用的函數(shù)的拉普拉斯變換式列入表9 - 1之中，可供隨時(shí)查閱。更為復(fù)雜的函數(shù)變換式還可在數(shù)學(xué)

9、手冊(cè)中查閱。、部分分式法 直接查表來(lái)確定某些象函數(shù)的原函數(shù)，當(dāng)然十分方便、快捷。然而它只能查出一些簡(jiǎn)單的象函數(shù)的原函數(shù)，如果象函數(shù)的表示式比較復(fù)雜，則難于直接查出它的原函數(shù)。部分分式法的作用，就是將比較復(fù)雜的象函數(shù)分解成為較為簡(jiǎn)單的部分分式，然后再查表求出原函數(shù)。 設(shè)象函數(shù)為上式中F1( s )、F2( s )都是復(fù)變量s 的多項(xiàng)式，m、n 是正整數(shù)。 （1）當(dāng)mn，且F2( s ) = 0 只含有單根 當(dāng)mn時(shí)，F(xiàn)（s）為真分式。如果F2( s ) =&

10、#160;0 的單根分別為p1、p2、pn，它們可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。則F（s）可以展開(kāi)為下列形式其中k1、k2、kn 是待定系數(shù)。為了求出ki，用（s  pi ） 乘以上式的兩邊，得到令s = pi，即可得出待定系數(shù)從而得出例 10-8求象函數(shù)F ( s ) =的原函數(shù) f ( t )。解  F1 ( s ) = 5s + 12，&

11、#160;F2 ( s ) = s (s2 +5s + 6 )，F(xiàn)2 ( s ) = 0 的根為：p1 = 0、p2 = - 2、p3 = - 3。于是將 象函數(shù)F ( s )分解為部分分式求出原函數(shù)此外，在式(10-6)中，也正因?yàn)樗姆肿臃帜付嫉扔诹悖€可以用羅比塔法則來(lái)計(jì)算待定系數(shù)。將分子分母分別對(duì)s取導(dǎo)數(shù)，然后

12、再用s = p1 代入。即同理可以求得待定系數(shù)k2、k3、kn。其中這種求待定系數(shù)的方法稱為分解定理。由分解定理求得系數(shù)k1、k2、k3、kn之后，再求出原函數(shù) f ( t )。例 10-9用分解定理求象函數(shù)F ( s ) =的原函數(shù) f ( t )。 求出原函數(shù)例10-10求象函數(shù)F ( s ) =的原函數(shù) f ( t )。 解 

13、60;F1 ( s ) = s ， F2 ( s ) = s2 + 2s + 5，F(xiàn)2 ( s ) = 0 的根為：p1 = - 1 + j 2 =+ j、p2 = - 1 - j 2 =- j。于是將 象函數(shù)

14、F ( s )分解為部分分式 由以上計(jì)算可以看出，F(xiàn)2 ( s ) = 0 的根p1、p2是共軛復(fù)數(shù)；待定系數(shù)k1、k2也是共軛復(fù)數(shù)。原函數(shù)由此可見(jiàn)，凡是求出F2 ( s ) = 0 的根是復(fù)數(shù)，就必然會(huì)有成對(duì)的共軛復(fù)根。 故若有共軛復(fù)根，則只要計(jì)算出待定系數(shù)k1，就可以根據(jù)上式求出它的原函數(shù)。中間繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程可以省去。 或直接用配方的方法，中有（2）當(dāng)m<n，但有重根如果F2( s ) = 0

15、 有重根，部分分式的展開(kāi)式將有所不同，下面通過(guò)一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明其處理方法。 例 10-11求象函數(shù)F ( s ) =的原函數(shù) f ( t )。系數(shù)k1、k2 仍然按照前面的計(jì)算方法求得k3 不能用上述方法求。將的兩邊各乘以(s + 1 )2 得出上式兩邊對(duì)s 求導(dǎo)令s = -1于是可以求出原函數(shù)例 10-12求象函數(shù)F ( s ) =的原函數(shù) f&#

16、160;( t )。 于是可以求出原函數(shù)故若分母具有重根，則展開(kāi)式為（3）當(dāng)m>n當(dāng)mn時(shí)，象函數(shù) F(s)=為假分式。首先可以用代數(shù)中講述的除法，將F1( s )除以F2( s )，將假分式化為真分式，然后再將真分式分解成部分分式，最終求出原函數(shù)。例 9-13  求象函數(shù)F ( s )=的原函數(shù) f ( t )。解  由于象函數(shù)F ( s )的分子F1( s&

17、#160;)冪的次數(shù)高于分母F2( s )冪的次數(shù)，先將F1( s )除以F2( s )得          F ( s ) =s+1 將余式G ( s ) =展開(kāi)為部分分式其待定系數(shù)為于是可以求出原函數(shù)10.4拉普拉斯變換在線性電路分析計(jì)算中的應(yīng)用10.4.1電路元件特性方程的復(fù)頻域形式、電阻元件電阻元件上電流和電壓的時(shí)域關(guān)系為u (&

18、#160;t ) = R i ( t )   兩邊取拉普拉斯變換電阻元件上電流和電壓的復(fù)頻域關(guān)歐姆定律的象函數(shù)形式。電阻元件的復(fù)頻域等效電路如圖所示，又稱為電阻的運(yùn)算電路。、電感元件電感阻元件上電流和電壓的時(shí)域關(guān)系為u ( t ) = L兩邊取拉普拉斯變換U(s ) = s L I ( s ) - L( 0 - ) 電

19、感元件上電流和電壓的復(fù)頻域關(guān)系 s L稱為電感元件的復(fù)頻域感抗(也稱為電感的運(yùn)算阻抗)( 0 - ) 表示電感元件在換路前瞬間的電流值L ( 0 - ) 附加電壓源，反映了電感初始電流對(duì)電路的影響串聯(lián)復(fù)頻域等效電路如圖1 / s L稱為電感元件的復(fù)頻域感納(也稱為電感的運(yùn)算導(dǎo)納)( 0 - ) / s 附加電流源，反映了電感初始電流對(duì)電路的影響畫出并聯(lián)復(fù)頻域等效電路如圖所示。、電容元件  

20、;     電容元件上電流和電壓的時(shí)域關(guān)系為( t ) = C兩邊取拉普拉斯變換  I(s ) = s C U ( s ) - C u ( 0 - )電容元件上電流和電壓的復(fù)頻域關(guān)系s C稱為電容元件的復(fù)頻域容納(也稱為電容的運(yùn)算導(dǎo)納)u ( 0 - ) 表示電容元件在換路前瞬間

21、的電壓值C u ( 0 - ) 附加電流源反映了電容初始電壓對(duì)電路的影響 畫出并聯(lián)復(fù)頻域等效電路如圖所示1 / sc稱為電容元件的復(fù)頻域容抗(也稱為電容的運(yùn)算阻抗)u ( 0 - ) / s 附加電壓源反映了電容初始電壓對(duì)電路的影響畫出串聯(lián)復(fù)頻域等效電路如圖所示。小結(jié)：將電路中的負(fù)載電阻R、電感L、電容C都用相應(yīng)的復(fù)頻域等效電路表示；電路中的電源電壓源、電流源取拉普拉斯變換后的象函數(shù)；各待求量電壓、電流用象函數(shù)表示，就構(gòu)成了原電路的復(fù)頻域等效電路

22、(即運(yùn)算電路)。例 10-14  試畫出圖所示電路的等效運(yùn)算電路。 補(bǔ)充  圖(a)、(b)、(c)所示電路原已達(dá)穩(wěn)態(tài)， 時(shí)把開(kāi)關(guān)S合上，分別畫出運(yùn)算電路。解 (a)電路如圖運(yùn)算電路如圖所示 (b)電路如圖所示運(yùn)算電路如圖所示(c)電路如圖所示運(yùn)算電路如圖所示注意  設(shè)有耦合處原邊電壓，副邊電壓為，則(取同名端” ”為 極性端)(取同名端” ”為 極性端)則相應(yīng)的象函數(shù)表示為10.4.2 電路定律的復(fù)頻域形式、基爾霍夫電流定律的復(fù)頻域形式在電路中，任一節(jié)點(diǎn)任何時(shí)刻電

23、流的代數(shù)和恒等于零，用時(shí)域形式表示為       = 0     兩邊取拉普拉斯變  = 0                             

24、                在電路中，任一節(jié)點(diǎn)任何時(shí)刻電流象函數(shù)的代數(shù)和恒等于零。這就是基爾霍夫電流定律的復(fù)頻域形式。、 基爾霍夫電壓定律的復(fù)頻域形式在電路中，任一回路任何時(shí)刻電壓的代數(shù)和恒等于零，用時(shí)域形式表示為      = 0    兩邊取拉普拉斯變換   = 0 &#

25、160;                                          在電路中，任一回路任何時(shí)刻電壓象函數(shù)的代數(shù)和恒等于零。這就是基爾霍夫電壓定律的復(fù)頻域形式。由基爾霍

26、夫定律推導(dǎo)出的電路計(jì)算方法(節(jié)點(diǎn)法、回路法等)和電路定理(疊加定理、戴維南定理等)都適用于復(fù)頻域分析法的計(jì)算。10.4.3用拉普拉斯變換分析線性電路的過(guò)渡過(guò)程利用拉普拉斯變換分析線性電路的過(guò)渡過(guò)程的方法，稱為復(fù)頻域分析法，習(xí)慣上稱為運(yùn)算法。其主要步驟如下：（1）根據(jù)換路前瞬間t = 0- 電路的工作狀態(tài)，計(jì)算出電感電流i L( 0- ) 和電容電壓uc( 0- ) 的值，以便確定電感元件的附加電源L i L( 0- ) 和電容元件的附加電源uc(

27、 0- ) / s；（2）按照換路后的接線方式畫出運(yùn)算電路，正確標(biāo)出附加電源的大小和方向，獨(dú)立電源用象函數(shù)表示，各待求量用象函數(shù)表示；（3）選擇適當(dāng)?shù)姆椒?支路法、節(jié)點(diǎn)法、回路法等)列寫運(yùn)算電路的方程；（4）求解上述方程，計(jì)算出響應(yīng)的象函數(shù)；（5）運(yùn)用拉普拉斯反變換，求出響應(yīng)的原函數(shù)。例 10-15圖10-13(a)所示電路中，知R1 = R2 = 1 ，C = 1 F，L = 1 H，E = 10 V。求

28、開(kāi)關(guān)S 閉合之后流過(guò)開(kāi)關(guān)的電流S ( t )。圖10-13  例 10-15 電路解（1）計(jì)算電感電流L( 0- ) 和電容電壓uc( 0- ) 的值電感元件的附加電源               L L( 0- ) = 1×5 =

29、0;5  ( V )  電容元件的附加電源（2）按照換路后的接線方式畫出運(yùn)算電路，標(biāo)出附加電源的大小和方向，獨(dú)立電源用象函數(shù)表示，待求量用象函數(shù)表示，如圖10-13(b)所示；（3）選擇回路電流法求解運(yùn)算電路。如圖所示，標(biāo)出兩個(gè)回路電流I1( s )、I2( s )的繞行方向；回路1、2的電壓方程為（4）求解上述方程，計(jì)算出響應(yīng)的象函數(shù)解上述方程得（5）運(yùn)用拉普拉斯反變換，求出響應(yīng)的原函數(shù)即例 9-16圖10-14 (a)所示電路中，已知R1 = R2 =

30、 200 ，R3 = 400，U1 = 50 V，U2 = 40 V，L = 2 H。求開(kāi)關(guān)S 閉合之后電壓。圖 9-14 例9-16 電路解電感電流的值電感元件的附加電源按照換路后的接線方式畫出運(yùn)算電路，標(biāo)出附加電源的大小和方向，獨(dú)立電源用象函數(shù)表示，待求量用象函數(shù)表示，如圖10-14(b)所示。選擇節(jié)點(diǎn)電壓法求解運(yùn)算電路。如圖所示，選擇b為參考點(diǎn)，其節(jié)點(diǎn)電壓方程為代入元件參數(shù)，求解上述方程，計(jì)算出響應(yīng)的象函數(shù)解得運(yùn)用拉普拉

31、斯反變換，求出響應(yīng)的原函數(shù)例 10-17圖9-15(a)所示電路中，已知U = 6V，R = 2.5，L = 6.5 m H，C = 0.3F，電感線圈原邊與副邊的變比為1:70，電路原已處于穩(wěn)定狀態(tài)。求開(kāi)關(guān)S 斷開(kāi)后a、b處的最高電壓。 圖10-15 例 10-17電路圖解電感電流L( 0- ) 的值          

32、60;    L( 0- ) = U / R = 6 / 2.5 = 2.4 A電感元件的附加電源               L  L( 0- ) = 6.5×10 - 3×2.

33、4 = 15.6 ×10 - 3 V    按照換路后的接線方式畫出運(yùn)算電路如圖所示。回路電流法列回路電壓方程為代入元件參數(shù)，求解上述方程，計(jì)算出I ( s ) 的象函數(shù)( t ) 的原函數(shù)電感電壓當(dāng)= 0 時(shí)，電感電壓有極大值。由此計(jì)算出極大值出現(xiàn)的時(shí)間          t =

34、0;6.94×10 - 5 s電感電壓的極大值為a、b處的最高電壓小結(jié)：、運(yùn)算法與相量法用運(yùn)算法求解動(dòng)態(tài)電路的過(guò)渡過(guò)程與用相量法求解正弦穩(wěn)態(tài)電路有相似的思想。比較如下：相量法 運(yùn)算法用相量法求解正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)，將時(shí)域正弦量轉(zhuǎn)換成相量，或?qū)㈨憫?yīng)相量轉(zhuǎn)換成時(shí)域正弦量都較簡(jiǎn)單，而且相量的值有明確的意義：有效值和初相位。所以計(jì)算出響應(yīng)的相量后，一般不必寫出時(shí)域表達(dá)式，而用運(yùn)算法求解動(dòng)態(tài)電路的過(guò)渡過(guò)程時(shí)，必須要將響應(yīng)象函數(shù)進(jìn)行拉普拉斯變換反變換轉(zhuǎn)換成時(shí)域表達(dá)式，拉普拉斯反變換是比較麻煩的。、拉普拉斯變換的線性電路過(guò)渡過(guò)程分析主要有三大步。第一步：由換路前的穩(wěn)態(tài)(直

35、流、正弦交流等)電路求出、。若是直流穩(wěn)態(tài)，電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于斷路，若是正弦穩(wěn)態(tài)，先用相量法求解后，表達(dá)成時(shí)域三角函數(shù)形式，再取時(shí)求出、。第二步：作出運(yùn)算電路模型。注意要用換路后的結(jié)構(gòu)，電源函數(shù)要進(jìn)行拉普拉斯變換、元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納表示，儲(chǔ)能元件的附加電源的值和方向不能忘，第三步：將求出的響應(yīng)象函數(shù)進(jìn)行拉普拉斯反變換，求出響應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式。典型例題例1如圖(a)所示電路：求及。解作電路，如圖(b)所示，得運(yùn)算電路模型如圖(c)由結(jié)點(diǎn)法注意及的作用，相當(dāng)于開(kāi)關(guān)動(dòng)作。例2在圖示電路中，電源電壓V，求時(shí)，電流和。 解t<0以前，L、C上無(wú)儲(chǔ)能，后的運(yùn)算電路如圖(b)所示由回路法此題

36、也可以用疊加先求出在通過(guò)時(shí)間延遲再得到在。10.5 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義及其性質(zhì)10.5.1 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義對(duì)于單輸入電路，在零狀態(tài)條件下，響應(yīng)的象函數(shù)R(s)與激勵(lì)的象函數(shù)E(s)之比稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，即、基本要點(diǎn) (1)H(s)是在動(dòng)態(tài)元件初始狀態(tài)為零的前提下的一個(gè)概念；(2)H(s)是響應(yīng)與激勵(lì)的象函數(shù)之比，而不是時(shí)域函數(shù)之比；(3)對(duì)于同一電路，取不同的響應(yīng)，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)也不同，所以根據(jù)響應(yīng)與激勵(lì)是否是同一端口的象函數(shù)，響應(yīng)和激勵(lì)是電流象函數(shù)還是電壓象函數(shù)，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可分為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)和轉(zhuǎn)移函數(shù)，驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)又分為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗、驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納。轉(zhuǎn)移函數(shù)又分為轉(zhuǎn)移阻抗、轉(zhuǎn)移導(dǎo)納、轉(zhuǎn)移電壓比和轉(zhuǎn)移電流比

37、。    例 10-18圖10-16(a)所示電路中，已知E=6V，R1=6，R2 = 4，L=0.2 H，C=0.1 F。求響應(yīng)為2的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。圖 10-16 例10-18 電路解繪出圖10-16(a)所示電路的等效運(yùn)算電路如圖10-16(b)所示。應(yīng)用網(wǎng)孔電流法，有解得由于響應(yīng)和激勵(lì)不是同一對(duì)端子上的函數(shù)，故稱它為轉(zhuǎn)移導(dǎo)納。10.5.2 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的性質(zhì)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H ( s )是一個(gè)實(shí)系數(shù)有理分式，它的分子和分母多項(xiàng)式

38、的根為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。（2）網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)就是電路的沖激響應(yīng)。    現(xiàn)在來(lái)分析網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與沖激響應(yīng)的關(guān)系。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)定義當(dāng)電路的激勵(lì)為：e ( t ) =( t ) ，其象函數(shù) E(s ) = 1，故有R(s)= H(s)電路的沖激響應(yīng)即是說(shuō)，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)就是電路的沖激響應(yīng)。（3）在一般情況下，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分母多項(xiàng)式的根就就稱之為相應(yīng)電路復(fù)頻特性的固有頻率。    設(shè)電路中某一支路電壓(電流)

39、的零輸入響應(yīng)象函數(shù)其中p1、p2、pn 是F2( s ) = 0的根。其響應(yīng)為上式中的待定系數(shù)k1、k2、kn取決于電路的初始狀態(tài)；而p1、p2、pn取決于電路中元件的聯(lián)接方式和元件參數(shù)，它們直接影響著響應(yīng)的變化規(guī)律，所以稱它們?yōu)殡娐窂?fù)頻特性的固有頻率(或自然頻率)。電路中的不同響應(yīng)均具有相同的固有頻率。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)的固有頻率(決定其自由響應(yīng)的形式)。從解微分方程的角度，任何一個(gè)電路的全響應(yīng)包括自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)。強(qiáng)迫響應(yīng)形式?jīng)Q定于激勵(lì)的形式，自由響應(yīng)形式由微分方程特征方程的特征根，也即固有頻率決定。若對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉普拉

40、斯變換，則可得H(s)=R(s)/E(s)。所以特征方程的特征根即為H(s)的極點(diǎn)。10.6復(fù)頻率平面及網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)與零點(diǎn)10.6.1復(fù)頻率平面網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)的分子和分母都是s 的多項(xiàng)式，而s =+ j，稱之為復(fù)頻率。以s 的實(shí)部作為橫軸、s的虛部 j作為縱軸構(gòu)成的坐標(biāo)平面叫做復(fù)頻率平面(也稱為s平面)。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以表示為其中，H0是一個(gè)實(shí)常數(shù)；z1、z2、zn 是N( s ) = 0的根；p1、p2、pn 是D( s ) = 0的根。10.

41、6.2 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)與零點(diǎn)當(dāng)s 分別等于z1、z2、zn 時(shí)，N( s ) = 0，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H ( s )等于零，故稱z1、z2、zn為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點(diǎn)。當(dāng)s 分別等于p1、p2、pn 時(shí)，D( s ) = 0，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H ( s )變?yōu)闊o(wú)限大，故稱p1、p2、pn 為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)。在復(fù)頻率平面上，用“”表示H ( s )的零點(diǎn)，用“×”表示H (

42、0;s )的極點(diǎn)，就構(gòu)成了網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H ( s )的零、極點(diǎn)分布圖。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布與網(wǎng)絡(luò)的時(shí)域響應(yīng)和頻率響應(yīng)有密切關(guān)系，這些內(nèi)容將在后面兩節(jié)討論。例 10-19求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H ( s ) =的零、極點(diǎn)，并畫出零、極點(diǎn)分布圖。解  N ( s ) = s2 - s - 12 = ( s + 3 ) ( s -

43、0;4 )，N ( s ) = 0的根：s1 = - 3，s2 = 4。的根為、。所以網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)有兩個(gè)零點(diǎn)：；有三個(gè)極點(diǎn)：、。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)的確零點(diǎn)、極點(diǎn)分布圖如圖10-17所示。圖10-17  例10-18圖10.7 零點(diǎn)、極點(diǎn)與沖激響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)在復(fù)頻率平面上分布的位置與電路的單位沖激響應(yīng)有著密切的關(guān)系。極點(diǎn)在復(fù)頻率平面上的位置不同，電路的單位沖激響應(yīng)的波形就不同。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)的分母具有單根時(shí)，其沖激響應(yīng)為其中p1、p2、pn是D(s)

44、=0的根。現(xiàn)在依據(jù)根的不同情況進(jìn)行分析：（1）網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)為負(fù)實(shí)數(shù)分母D(s)=0的根為負(fù)實(shí)數(shù)，其沖激響應(yīng)是衰減的指數(shù)函數(shù)，且極點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)越遠(yuǎn)，響應(yīng)衰減越快。這種電路是穩(wěn)定的。（2）網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)為正實(shí)數(shù)分母D(s)=0的根為正實(shí)數(shù)，其沖激響應(yīng)是隨時(shí)間增長(zhǎng)的指數(shù)函數(shù)，且極點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)越遠(yuǎn)，響應(yīng)增長(zhǎng)越快。這種電路是不穩(wěn)定的。（3）網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)且實(shí)部為負(fù)數(shù)時(shí)，其沖激響應(yīng)是衰減的正弦函數(shù)，且極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，響應(yīng)衰減越快。這種電路是穩(wěn)定的。（4）網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)且實(shí)部為正數(shù)時(shí)，其沖激響應(yīng)是增長(zhǎng)的正弦函數(shù)，且極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，響應(yīng)增長(zhǎng)越快。這種電路是不穩(wěn)定的。（5）網(wǎng)絡(luò)