平面與平面垂直的判定定理

1、精品ppt12.3.2 平面與平面垂直的判定定理平面與平面垂直的判定定理精品ppt21.在立體幾何中，在立體幾何中，“異面直線所成的角異面直線所成的角”是怎樣定義的？是怎樣定義的？ 直線直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線，分別引直線a /a， b/ b，我們把相交直線，我們把相交直線a 和和 b所成的銳角所成的銳角 （或直角）叫做異面（或直角）叫做異面直線所成的角直線所成的角. 2.在立體幾何中在立體幾何中,直線和平面所成的角直線和平面所成的角是怎樣定義的？是怎樣定義的？ 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直平面的一條斜線和它在平

2、面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角線和這個平面所成的角. 范圍：范圍：( 0o, 90o 范圍：范圍： 0o, 90o 復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入精品ppt3空間兩個平面有空間兩個平面有平行平行、相交相交兩種位置關(guān)系兩種位置關(guān)系.對于兩個平面平行，對于兩個平面平行，我們已作了全面的研究，對于兩個平面相交，我們應(yīng)從理論上我們已作了全面的研究，對于兩個平面相交，我們應(yīng)從理論上有進一步的認識有進一步的認識.在異面直線所成的角、直線與平面所成的角的學(xué)習(xí)過程中，我們在異面直線所成的角、直線與平面所成的角的學(xué)習(xí)過程中，我們將將三維空間的角轉(zhuǎn)化為二維空間的角三維空間的角轉(zhuǎn)化為二維空間的角，即平面角來

3、刻畫，即平面角來刻畫.接下來，我接下來，我們同樣來研究平面與平面的角度問題們同樣來研究平面與平面的角度問題. 兩個相交平面的相對位置是由這兩個相交平面的相對位置是由這兩個平面所成的兩個平面所成的“角角”來確定的來確定的精品ppt4在生產(chǎn)實踐中，有許多問題也涉及到兩個平面所成的角如：在生產(chǎn)實踐中，有許多問題也涉及到兩個平面所成的角如：修筑水壩時，為了使水壩堅固耐久，必須使水壩面和水平面成修筑水壩時，為了使水壩堅固耐久，必須使水壩面和水平面成適當?shù)慕嵌?；發(fā)射人造地球衛(wèi)星時，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星的適當?shù)慕嵌龋话l(fā)射人造地球衛(wèi)星時，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星的軌道平面和地球的赤道平面成一定的角度軌道平面和地球

4、的赤道平面成一定的角度. .洪壩洪壩水平面水平面精品ppt5(1) 半平面的定義半平面的定義1.二面角的概念二面角的概念平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面半平面l半平面半平面半平面半平面(2) 二面角的定義二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做這條直線叫做二面角的棱二面角的棱，每個半平面叫做，每個半平面叫做二面角的面二面角的面l棱棱面面面面精品ppt6平臥式：平臥式：直立式：直立式：l lAB (3) 二面角的畫法和記法：二面角的畫

5、法和記法：1.二面角的概念二面角的概念面面1棱面棱面2點點1棱點棱點2二面角二面角 l 二面角二面角 AB 二面角二面角CAB DABCD精品ppt7 AOlB(4) 二面角的平面角二面角的平面角ABO1.二面角的概念二面角的概念以二面角的棱上任意一點為端點，以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角. .如圖，如圖， ，則，則AOB成為二面角成為二面角 的平面角的平面角. 它的大小與點它的大小與點O的選取無關(guān)的選取無關(guān).,OAl OBll 二面角的平面角必須滿足

6、：二面角的平面角必須滿足：角的邊都要垂直于二面角的棱角的邊都要垂直于二面角的棱角的頂點在棱上角的頂點在棱上角的兩邊分別在兩個面內(nèi)角的兩邊分別在兩個面內(nèi)精品ppt8 lOAB00。，180180。 (4) 二面角的平面角二面角的平面角1.二面角的概念二面角的概念二面角的范圍為：二面角的范圍為：注注1：當二面角的兩個面合成一個平面時，規(guī)定二面角的大小為當二面角的兩個面合成一個平面時，規(guī)定二面角的大小為180；平面角是直角的二面角叫做平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角，此時稱兩半平面所在的兩，此時稱兩半平面所在的兩個平面互相垂直個平面互相垂直.OAB精品ppt9定義法定義法垂線法垂線法作棱的垂

7、面法作棱的垂面法一個平面垂直于二面角一個平面垂直于二面角 -l- 的棱的棱 l，且與兩半平面的交線分別是射線且與兩半平面的交線分別是射線 OA、OB，O 為垂足，則為垂足，則AOB AOB 為為二面角二面角 -l- 的平面角的平面角(5) 二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：1.二面角的概念二面角的概念OABl lOAB,ABABAAOl過 作,OBOBl連接則oABll補充精品ppt10例例 正方體正方體ABCDA1B1C1D1中，中，二面角二面角B1-AA1-C1的大小為的大小為_，二面角二面角B-AA1-D的大小為的大小為_，二面角二面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.24

8、590練習(xí)精品ppt11練練 如圖，在長方體如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E為為D1C1的中點，求二面角的中點，求二面角EBDC的大小的大小AA1BB1CC1DD1E思路分析：思路分析：找基面找基面 平面平面BCD作基面的垂線作基面的垂線 過過E作作EFCD于于FF作平面角作平面角 作作FGBD于于G，連結(jié)，連結(jié)EGG解：解：過過E作作EFCD于于F，于是，EGF為二面角EBDC的平面角BC = 1，CD = 2，11 2122 55BC CDGFBD而EF = 1，在EFG中tan5EFEGFGF ABCDA1B1C1D1是長方體，是長

9、方體， EF平面平面BCD，且，且F為為CD中點，中點，過過F作作FGBD于于G，連結(jié)，連結(jié)EG，則，則EGBD（三垂線定理）（三垂線定理）M練習(xí)精品ppt12ABCD求證求證: :060,BACCDBD例例 如圖，將等腰直角三角形紙片沿斜線如圖，將等腰直角三角形紙片沿斜線BC上的高上的高AD折成直二折成直二面角面角. 精品ppt13CDHG600300例例 如圖，山坡傾斜度是如圖，山坡傾斜度是60度，山坡上一條路度，山坡上一條路CD和坡底和坡底線線AB成成30度角度角.沿這條路向上走沿這條路向上走100米，升高了多少米，升高了多少? AB練習(xí)精品ppt14如何檢測所砌的墻面和地面是否垂直？如

10、何檢測所砌的墻面和地面是否垂直？思考思考精品ppt15 2.平面與平面垂直的判定平面與平面垂直的判定(1) 定義法：定義法：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直二面角，就說這兩個平面互相垂直.記作記作 (2) 面面垂直的判定定理：面面垂直的判定定理：若一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直若一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直 該定理作用：該定理作用：“線面垂直線面垂直面面垂直面面垂直”,aa注注2：應(yīng)用該定理，關(guān)鍵是找出兩個平面中的其中任一個的垂線應(yīng)用該定理，關(guān)鍵是找出兩個平面中的其中任一

11、個的垂線.aa精品ppt16練練 在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中中, (1)求證：平面求證：平面A1C平面平面B1D ACDA1C1D1E FB1(2)E、F分別是分別是AB、BC的中點，的中點， 求證：平面求證：平面A1C1FE平面平面B1D(3)G是是BB1的中點，的中點， 求證：平面求證：平面A1C1G平面平面B1D GGGG總結(jié)總結(jié):直線直線A1C1 平面平面B1D，則過直線，則過直線A1C1 的平面都垂直于平面的平面都垂直于平面B1D練習(xí)精品ppt17ABCPO O證明：證明：由由AB是圓是圓O的直徑，可得的直徑，可得ACBCPAABCBCABC平面平面BCPAC 平面P

12、ABCBCACPAACABCPBC 平面平面PAC平面PBC例例 如圖，如圖，AB是圓是圓O的直徑，的直徑，PA垂直于圓垂直于圓O所在的平面所在的平面于于A，C是圓是圓O上不同于上不同于A、B的任意一點的任意一點.求證：平面求證：平面PAC平面平面PBC練習(xí)精品ppt180,.1).,_.2).,_.3).,90 ,_ABCPPOOPA PB PCPAPBPCOABCPAPB PBPC PCPAOABCPAPBPCCOAB例 過所在平面 外一點作垂足為連接若則 是的心若則 是的心若則 是邊的點.PABC外外垂垂中中練習(xí)：練習(xí)：P79 B組組2(2)精品ppt19ABCPPOOPAPC.i)PA

13、PBPCOAB過所在平面 外的一點 ，作，垂足為 ，連接，PB，求證：若，則點 是的中點.PABCOOAOBOCPOABCPOOAPOOBPOOCPA=PB=PCPO=PO=PORt POARt POBRt POCOA=OB=OCOABC.證明:連接，面，即 為的外心ABCABC=90OAC.特別地，當為直角三角形，如，則 為斜邊的中點精品ppt20P-ABCPAPBPCABC=:PACABC.變式1 在三棱錐中，90 ，求證 面面PABCPOO.OAOBOCPOABCPOOAPOOBPOOCPA=PB=PCPO=PO=PORt POARt POBRt POCOA=OB=OCOABC.過 作面

14、的垂線，垂足為連接，面，法，一即 為的外心:ABCABC=90OAC.POPACPOABCPACABC為直角三角形，則 為斜邊的中點由面，面，可得面面.PABC精品ppt21ACBCEFPEEFPF法二:分別取，的中點 ， ，連接，.ABC=90BCABABCEFACBCEF/AB,BCEF ，在中， ， 分別是邊，的中點故有PABC,EACPEACPAPB點 為的中點，.EFPB=PCFBCPFBC又， 為的中點，PFEF=FBCBCPEPEF.面即有而，P-ABCPAPBPCABC=:PACABC.變式1 在三棱錐中，90 ，求證 面面PEACPEBCACBC=CPEABC.故由，面PEP

15、ACPACABC.面， 面面分析精品ppt22ACEPEPEABC.證明:取的中點 ，連接，往證面BFEFPFEF/BC.PEEF.取A 的中點 ，連接，則往證即可PABC,EACPEACPAPB點 為的中點，.EF1BCABCEFBC.22aa設(shè)，在中，PEBC,.接下來往證可轉(zhuǎn)化為異面直線所成角問題RAPCRABC注意： ttPEEF.（和相交，本題已知的邊角關(guān)系較多，可考慮勾股定理）12Rt APCEAC.22a在等腰中，P223APBF= PAAF =2a在等腰中，P22PE +EF = FPEEF2P ，Rt ABCACACPPBAB.)PACABC)B-PC-Aiii變式2 把等腰

16、沿著斜邊旋轉(zhuǎn)到的位置，使得求證面面 求二面角的余弦值.或者考慮二面角定義法或者考慮二面角定義法精品ppt23PCGEGBGBEEGCPAEG/PAPAPCEGPC.BP=BCGPCBGPCEGBB-PC-A.解1:取的中點 ，連接，為的中位線，又， 為的中點，為所求二面角的平面角112BC,APCEG=,ABCEB=AC=,2223PBCBG=.2aaaa設(shè)在Rt中，在Rt中，在等邊中，22GEBEG +EB =GBBEG=90 .3GEB32在中，EG在Rt中,cos EGB=GBGPABCERt ABCACACPPBAB.)PACABC)B-PC-Aiii變式2 把等腰沿著斜邊旋轉(zhuǎn)到的位置

17、，使得求證面面 求二面角的余弦值.精品ppt24)PACABCPACABC=AC,BE,BEACBEPACi解2:由 知面面，面面故連接則由，可得面.PACEG/PAEACGPC11BC,EG=PA=223PBCGB=.2aaa在內(nèi)， 為的中點，故點 為的中點，設(shè)又在等邊中，GEBEG在Rt中,cos EGB=GBGPABCEEPACEGPCGBGBGPCEGBB-PC-A.過 點在平面內(nèi)作于點 ，連接，此時.為所求二面角的平面角33EGcos EGB=GBBABPBCAPC90BEPAC.)(或由，知面Rt ABCACACPPBAB.)PACABC)B-PC-Aiii變式2 把等腰沿著斜邊旋

18、轉(zhuǎn)到的位置，使得求證面面 求二面角的余弦值.練習(xí)精品ppt25二、平面與平面垂直二、平面與平面垂直(1)定義：兩平面所成二面角為直二面角定義：兩平面所成二面角為直二面角(2)判定定理：判定定理：(3)性質(zhì)定理：性質(zhì)定理：l平面 過平面 的垂線兩平面垂直，則平面 內(nèi)垂直于公共棱的直線是另一個平面 的垂線.一、直線與平面垂直一、直線與平面垂直(1)定義：定義：ll 垂直于平面 內(nèi)的所有直線.(2)判定定理：判定定理：ll 兩垂直于平面 內(nèi)的直線條相交(3)線線垂直的常用證明方法：線線垂直的常用證明方法：a.平面內(nèi)的兩直線平面內(nèi)的兩直線b.空間內(nèi)的兩直線空間內(nèi)的兩直線12轉(zhuǎn)化為異面直線所成角問題線面

19、垂直線線垂直.12菱形，正方形等對角線互相垂直等腰三角形底邊上的高3 勾股定理.lbbl要證明 垂直于 內(nèi)的直線 ，往往反過來證明 垂直于過 的某個平面(4)兩條平行線垂直于同一個平面，垂直于同一一個面的兩直線平行兩條平行線垂直于同一個平面，垂直于同一一個面的兩直線平行.精品ppt26三、角度問題名稱名稱定義定義圖形圖形兩條異面直線兩條異面直線 所成的角所成的角直線與平面直線與平面所成的角所成的角二面角及它的平面二面角及它的平面角角直線直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間是異面直線，經(jīng)過空間任意一點任意一點o，作直線，作直線a、b，并使，并使a/a，b/b，我們把，我們把直線直線a和和b所所成的銳角

20、（或直角）叫做異面直成的銳角（或直角）叫做異面直線線a和和b所成的角所成的角.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做成的圖形叫做二面角二面角。以二面角的。以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做條射線所成的角叫做二面角的平面二面角的平面角角。LoBAALBO平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做射影所成的銳角，叫做這條直線和這這條直線和這個平面所成的角，個平面所成的角，特別地，若特別地，若L?則則L與與所成的

21、角是直角所成的角是直角，若，若L/或或 L ，則則L與與所成的角是的角。所成的角是的角。精品ppt27 解決空間角的問題涉及的數(shù)學(xué)思想主要是化歸與轉(zhuǎn)化化歸與轉(zhuǎn)化，即把空間的角轉(zhuǎn)化為平面的角，進而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過解三角形求得.2.方法：3.步驟：b.求直線與平面所成的角：a.求異面直線所成的角：c.求二面角的大小：作（找） 證 點 算1.數(shù)學(xué)思想：平移 構(gòu)造可解三角形找（或作）射影 構(gòu)造可解三角形找（或作）其平面角 構(gòu)造可解三角形定義法或者垂線法定義法或者垂線法即找面的垂線，找出垂足即找面的垂線，找出垂足找平行線方法：中位線，平行四邊形，線段成比例，線面平行的性質(zhì)定理等找平行線方法：

22、中位線，平行四邊形，線段成比例，線面平行的性質(zhì)定理等精品ppt28OLLABOPABback練習(xí)：二面角練習(xí)：二面角 的平面角為的平面角為 , PA 于于A點，點，PB 于于B點，點，PA=a，PB=b，求點，求點P到棱到棱 的距離的距離.ll精品ppt29back練練 如圖，在三棱錐如圖，在三棱錐P- -ABC中，中，ACBC=2，PA=PB=AB，ACB90o，PCAC.(1)求證：求證：PC AB；(2)求二面角求二面角BAPC的大小的大小.精品ppt30練練2 在長方體在長方體ABCD-A1B1C1D1中，中，AB=2， BC=BB1=1， E為為C1D1的中點，求二面角的中點，求二面

23、角 E-BD-C的大小的大小.AA1BB1CC1DD1EMFback精品ppt31在正方體在正方體AC1中，中，E，F(xiàn)分別是中點，求截面分別是中點，求截面A1ECF和底面和底面ABCD所成的銳二面角的大小所成的銳二面角的大小.EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1CHHback精品ppt32練練1 如圖，如圖，M是正方體是正方體ABCDA1B1C1D1的棱的棱AB的中點，求二的中點，求二面角面角A1MCA的正切值的正切值A(chǔ)BCDMA1B1C1D1NH思路分析：思路分析：找基面找基面找基面的垂線找基面的垂線 AA1作平面角作平面角 作作AHCM交交CM的延長的延長線于線于H，連結(jié)，連

24、結(jié)A1H平面平面ABCD解：解：作作AHCM交交CM的延長線于的延長線于H，連，連 結(jié)結(jié)A1HA1A平面平面AC，AH是是A1H 在平面在平面AC內(nèi)的射影，內(nèi)的射影，A1HCM，A1HA為二面角為二面角A1CMA的平面角的平面角設(shè)正方體的棱長為設(shè)正方體的棱長為1M是是AB的中點，且的中點，且AMCD，則在，則在直角直角AMN中，中，AM = 0.5，AN= 1，MN = 15AM ANAHMN5211tan5A AAHAAHback精品ppt33如圖，在底面是直角梯形的四棱錐如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S- -ABCD中，中，ABC=90，SA面面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.(

25、1)求四棱錐求四棱錐S- -ABCD的體積；的體積；(2)求面求面SCD與面與面SBA所成的二面角的正切值所成的二面角的正切值.(2)提示：提示：因所求二面角無因所求二面角無“棱棱”，故先延，故先延長長BA、CD以確定棱以確定棱SE，然后證，然后證明明BSC為平面角為平面角.back精品ppt34A .O解：解：則則AD l .sinADO= 432 ADO=60.即二面角即二面角 l 的大小為的大小為60 .在在RtADO中，中，AOAD練練 已知二面角已知二面角 l ，A為面為面 內(nèi)一點，內(nèi)一點，A到到 的距離為的距離為 ，到到l的距離為的距離為 4. 求求二面角二面角 l 的大小的大小.

26、 lD過過 A作作 AO 于于O，過過 O作作 OD l 于于D，連，連AD，2 3,4AOAD且ADO 就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角.2 3back練練 在二面角在二面角- -l- -的一個平面的一個平面內(nèi)有一條直線內(nèi)有一條直線AB，它與棱，它與棱 l 所成所成的角為的角為45，與平面，與平面所成的角為所成的角為30，則這個二面角的大小是，則這個二面角的大小是_.45或或135精品ppt35. aa已知：，求證： 證明：證明：CDABE在平面在平面內(nèi)過內(nèi)過B點作直線點作直線BECD，則則ABE就是二面角就是二面角- -CD- -的平面角，的平面角，設(shè)設(shè)=CD，則，則BCD.AB

27、，CD ，ABCD.AB，BE ， ABBE. 二面角二面角- -CD- -是直二面角，是直二面角，.aback精品ppt36練習(xí)練習(xí)1.過平面過平面的一條垂線可作的一條垂線可作_個平面與平面?zhèn)€平面與平面垂直垂直.2.過一點可作過一點可作_個平面與已知平面垂直個平面與已知平面垂直.3.過平面過平面的一條斜線，可作的一條斜線，可作_個平面與平面?zhèn)€平面與平面垂直垂直.4.過平面過平面的一條平行線可作的一條平行線可作_個平面與個平面與垂直垂直.一一無數(shù)無數(shù)無數(shù)無數(shù)一一back精品ppt37ABCDA1B1C1D1練練 正方體正方體ABCDA1B1C1D1中，中， 求證：求證： 111ACC AA BD平面平面back90ABCDABADABCADCEBDAECABD 練 如圖， 是所在平面外一點， 是的中點.求證：平面平面ABCDE精品ppt38ACEPEPEABC.法二:取的中點 ，連接，往證面BCFEFPFEF/AB,EFBC取的中點 ，連接，則PABC,EACPEACPAPB點 為的中點，.EPEBC,.接下來往證一般轉(zhuǎn)化為另外一組線面垂直的問題如何較為快速地找出思路呢？ABBCPEBC?)(將已知條件和要證的結(jié)論當作條件，看看能推出哪個線面垂直 (BCPEAPBPEAA)B.EB垂直與兩條直線，但是和異面，得不出線面垂直結(jié)論.通過找和的平行線，將